Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe

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Textdaten
Autor: Bernhard Riemann
Titel: Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe
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aus: Monatsberichte der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Aus dem Jahre 1859. S. 671–680.
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Entstehungsdatum: 1859
Erscheinungsdatum: 1860
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Erscheinungsort: Berlin
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Kurzbeschreibung:
Siehe auch das Manuskript bzw. Riemanns Gesammelte mathematische Werke (Hrsg.: Heinrich Weber) ab S. 136.

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[671] Meinen Dank für die Auszeichnung, welche mir die Akademie durch die Aufnahme unter ihre Correspondenten hat zu Theil werden lassen, glaube ich am besten dadurch zu erkennen zu geben, daß ich von der hiedurch erhaltenen Erlaubniß baldigst Gebrauch mache durch Mittheilung einer Untersuchung über die Häufigkeit der Primzahlen; ein Gegenstand, welcher durch das Interesse, welches Gauß und Dirichlet demselben längere Zeit geschenkt haben, einer solchen Mittheilung vielleicht nicht ganz unwerth erscheint.

Bei dieser Untersuchung diente mir als Ausgangspunkt die von Euler gemachte Bemerkung,[1] daß das Product

\prod\frac1{1-\frac1{p^s}}=\sum\frac1{n^s},

[672] wenn für p alle Primzahlen, für n alle ganzen Zahlen gesetzt werden. Die Function der complexen Veränderlichen s, welche durch diese beiden Ausdrücke, so lange sie convergiren, dargestellt wird, bezeichne ich durch \zeta(s)\,. Beide convergiren nur, so lange der reelle Theil von s größer als 1 ist; es läßt sich indeß leicht ein immer gültig bleibender Ausdruck der Function finden. Durch Anwendung der Gleichung

\int\limits_0^\infty e^{-nx}x^{s-1}dx=\frac{\prod(s-1)}{n^s}

erhält man zunächst

\prod(s-1)\zeta(s)=\int\limits_0^\infty\frac{x^{s-1}dx}{e^x-1}.

Betrachtet man nun das Integral

\int\frac{(-x)^{s-1}dx}{e^x-1},

von +\infty bis +\infty positiv um ein Größengebiet erstreckt, welches den Werth 0, aber keinen andern Unstetigkeitswerth der Function unter dem Integralzeichen im Innern enthält, so ergiebt sich dieses leicht als gleich

(e^{-\pi si}-e^{\pi si})\int\limits_0^\infty\frac{x^{s-1}dx}{e^x-1},

vorausgesetzt, daß in der vieldeutigen Function (-x)^{s-1}=e^{(s-1)\log(-x)}\, der Logarithmus von -x so bestimmt worden ist, daß er für ein negatives x reell wird. Man hat daher

2\sin\pi s\prod(s-1)\zeta(s)=i\int\limits_\infty^\infty\frac{(-x)^{s-1}dx}{e^x-1},

das Integral in der eben angegebenen Bedeutung verstanden.

Diese Gleichung giebt nun den Werth der Function \zeta(s)\, für jedes beliebige complexe s und zeigt, daß sie einwerthig und für alle endlichen Werthe von s, außer 1, endlich ist, so wie auch, daß sie verschwindet, wenn s gleich einer negativen geraden Zahl ist.

Wenn der reelle Theil von s negativ ist, kann das Integral, statt positiv um das oben angegebene Größengebiet, auch negativ um das Größengebiet welches sämmtliche übrigen complexen [673] Größen enthält erstreckt werden, da das Integral durch Werthe mit unendlich großem Modul dann unendlich klein ist. Im Innern dieses Größengebiets aber wird die Function unter dem Integralzeichen nur unstetig, wenn x gleich einem ganzen Vielfachen von \pm2\pi i wird und das Integral ist daher gleich der Summe der Integrale negativ um diese Werthe genommen. Das Integral um den Werth n2\pi i\, aber ist \,=(-n2\pi i)^{s-1}(-2\pi i); man erhält daher

2\sin\pi s\prod(s-1)\zeta(s)=(2\pi)^s\sum n^{s-1}\bigl((-i)^{s-1}+i^{s-1}\bigr),

also eine Relation zwischen \zeta(s) und \zeta(1-s), welche sich mit Benutzung bekannter Eigenschaften der Function \prod auch so audrücken läßt:

\prod\left(\frac s2-1\right)\pi^{-\frac s2}\zeta(s)

bleibt ungeändert, wenn s in 1-s verwandelt wird.

Diese Eigenschaft der Function veranlaßte mich statt \prod(s-1) das Integral \prod\left(\frac s2-1\right) in dem allgemeinen Gliede der Reihe \sum\frac1{n^s} einzuführen, wodurch man einen sehr bequemen Ausdruck der Function \zeta(s) erhält. In der That hat man

\frac1{n^s}\prod\left(\frac s2-1\right)\pi^{-\frac s2}=\int\limits_0^\infty e^{-nn\pi x}x^{\frac s2-1}dx,

also, wenn man

\sum_1^\infty e^{-nn\pi x}=\psi(x)

setzt,

\prod\left(\frac s2-1\right)\pi^{-\frac s2}\zeta(s)=\int\limits_0^\infty\psi(x)x^{\frac s2-1}dx,

oder da 2\psi(x)+1=x^{-\frac12}\left(2\psi\left(\frac1x\right)+1\right), (Jacobi. Fund. S. 184)[2]

[674] Ich setze nun s=\tfrac12+ti und

\prod\left(\frac s2\right)(s-1)\pi^{-\frac s2}\zeta(s)=\xi(t),

so daß

\xi(t)=\frac12-\left(tt+\frac14\right)\int\limits_1^\infty\psi(x)x^{-\frac34}\cos\left(\frac12t\log x\right)dx

oder auch

\xi(t)=4\int\limits_1^\infty\frac{d\left(x^\frac32\psi'(x)\right)}{dx}x^{-\frac14}\cos\left(\frac12t\log x\right)dx.

Diese Function ist für alle endlichen Werthe von t endlich, und läßt sich nach Potenzen von tt in eine sehr schnell convergirende Reihe entwickeln. Da für einen Werth von s, dessen reeller Bestandtheil größer als 1 ist, \log\zeta(s)=-\sum\log(1-p^{-s}) endlich bleibt und von den Logarithmen der übrigen Factoren von \xi(t) dasselbe gilt, so kann die Function \xi(t) nur verschwinden, wenn der imaginäre Theil von t zwischen \tfrac12i und -\tfrac12i liegt. Die Anzahl der Wurzeln von \xi(t)=0, deren reeller Theil zwischen 0 und T liegt, ist etwa =\tfrac T{2\pi}\log\tfrac T{2\pi}-\tfrac T{2\pi}; denn das Integral \textstyle\int d\log\xi(t) positiv um den Inbegriff der Werthe von t erstreckt, deren imaginärer Theil zwischen \tfrac12i und -\tfrac12i und deren reeller Theil zwischen 0 und T liegt, ist, (bis auf einen Bruchtheil von der Ordnung der Größe \tfrac1T) gleich (T\log\tfrac T{2\pi}-T)i; dieses Integral aber ist gleich der Anzahl der in diesem Gebiet liegenden Wurzeln von \xi(t)=0, multiplicirt mit 2\pi i. Man findet nun in der That etwa so viel reelle Wurzeln innerhalb dieser Grenzen, und es ist sehr wahrscheinlich, daß alle Wurzeln reell sind. Hievon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indeß die Aufsuchung desselben, nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.

[675] Bezeichnet man durch \alpha jede Wurzel der Gleichung \xi(\alpha)=0\,, so kann man \log\xi(t)\, durch

\sum\log\left(1-\frac{tt}{\alpha\alpha}\right)+\log\xi(0)

ausdrücken; denn da die Dichtigkeit der Wurzeln von der Größe t mit t nur wie \log\frac t{2\pi} wächst, so convergirt dieser Ausdruck und wird für ein unendliches t nur unendlich wie t\log t\,; er unterscheidet sich also von \log\xi(t)\, um eine Function von tt, die für ein endliches t stetig und endlich bleibt und mit tt dividirt für ein unendliches t unendlich klein wird. Dieser Unterschied ist folglich eine Constante, deren Werth durch Einsetzung von t=0 bestimmt werden kann.

Mit diesen Hülfsmitteln läßt sich nun die Anzahl der Primzahlen, die kleiner als x sind, bestimmen.

Es sei F(x)\,, wenn x nicht gerade einer Primzahl gleich ist, gleich dieser Anzahl, wenn aber x eine Primzahl ist, um \tfrac12 größer, so daß für ein x, bei welchem F(x)\, sich sprungweise ändert,

F(x)=\frac{F(x+0)+F(x-0)}2.

Ersetzt man nun in

\log\zeta(s)=-\sum\log(1-p^{-s})=\sum p^{-s}+\frac12\sum p^{-2s}+\frac13\sum p^{-3s}+\ldots

p^{-s}\, durch s\int_p^\infty x^{-s-1}dx, p^{-2s}\, durch s\int_{p^2}^\infty x^{-s-1}dx, \ldots,

so erhält man

\frac{\log\zeta(s)}s=\int\limits_1^\infty f(x)x^{-s-1}dx,

wenn man

F(x)+\frac12F(x^\frac12)+\frac13F(x^\frac13)+\ldots

durch f(x)\, bezeichnet.

Diese Gleichung ist gültig für jeden complexen Werth a+bi\, von s, wenn a>1\,. Wenn aber in diesem Umfange die Gleichung

g(s)=\int\limits_0^\infty h(x)x^{-s}d\log x

[676] gilt, so kann man mit Hülfe des Fourier’schen Satzes die Function h durch die Function g ausdrücken. Die Gleichung zerfällt, wenn h(x)\, reell ist und

g(a+bi)=g_1(b)+ig_2(b),\,

in die beiden folgenden:

g_1(b)=\int\limits_0^\infty h(x)x^{-a}\cos(b\log x)d\log x,

ig_2(b)=-i\int\limits_0^\infty h(x)x^{-a}\sin(b\log x)d\log x.

Wenn man beide Gleichungen mit \,\bigl(\cos(b\log y)+i\sin(b\log y)\bigr)db multiplicirt und von -\infty bis \infty integrirt, so erhält man in beiden auf der rechten Seite nach dem Fourier’schen Satze \,\pi h(y)y^{-a}, also, wenn man beide Gleichungen addirt und mit iy^a\, multiplicirt

2\pi ih(y)=\int\limits_{a-\infty i}^{a+\infty i}g(s)y^sds,

worin die Integration so auszuführen ist, daß der reelle Theil von s constant bleibt.

Das Integral stellt für einen Werth von y, bei welchem eine sprungweise Änderung der Function h(y)\, stattfindet, den Mittelwerth aus den Werthen der Function h zu beiden Seiten des Sprunges dar. Bei der hier vorausgesetzten Bestimmungsweise der Function f(x)\, besitzt diese dieselbe Eigenschaft, und man hat daher völlig allgemein

f(y)=\frac1{2\pi i}\int\limits_{a-\infty i}^{a+\infty i}\frac{\log\zeta(s)}sy^sds.

Für \log\zeta\, kann man nun den früher gefundenen Ausdruck

substituiren; die Integrale der einzelnen Glieder dieses Ausdrucks würden aber dann in’s Unendliche ausgedehnt nicht convergiren, weshalb es zweckmäßig ist, die Gleichung vorher durch partielle Integration in

[677]
f(x)=-\frac1{2\pi i}\frac1{\log x}\int\limits_{a-\infty i}^{a+\infty i}\frac{d\frac{\log\zeta(s)}s}{ds}x^sds

umzuformen.

Da

-\log\prod\frac s2=\lim\left(\sum_{n=1}^{n=m}\log\left(1+\frac s{2n}\right)-\frac s2\log m\right),\quad\mathrm{f\ddot ur}\;m=\infty,

also

-\frac{d\frac1s\log\prod\frac s2}{ds}=\sum_1^\infty\frac{d\frac1s\log\left(1+\frac s{2n}\right)}{ds},

so erhalten dann sämmtliche Glieder des Ausdrucks für f(x)\, mit Ausnahme von

\frac1{2\pi i}\frac1{\log x}\int\limits_{a-\infty i}^{a+\infty i}\frac1{ss}\log\xi(0)x^sds=\log\xi(0)

die Form

\pm\frac1{2\pi i}\frac1{\log x}\int\limits_{a-\infty i}^{a+\infty i}\frac{d\left(\frac1s\log\left(1-\frac s\beta\right)\right)}{ds}x^sds.

Nun ist aber

\frac{d\left(\frac1s\log\left(1-\frac s\beta\right)\right)}{d\beta}=\frac1{(\beta-s)\beta}

und, wenn der reelle Theil von s größer als der reelle Theil von \beta ist,

\begin{align}
\frac1{2\pi i}\int\limits_{a-\infty i}^{a+\infty i}\frac{x^sds}{(\beta-s)\beta}
& =\frac{x^\beta}\beta &=\int\limits_\infty^x x^{\beta-1}dx, \\
& \;\text{oder} & =\int\limits_0^x x^{\beta-1}dx,
\end{align}

je nachdem der reelle Theil von \beta negativ oder positiv ist. Man hat daher

\frac1{2\pi i}\frac1{\log x}\int\limits_{a-\infty i}^{a+\infty i}\frac{d\left(\frac1s\log\left(1-\frac s\beta\right)\right)}{ds}x^sds
[678]
=-\frac1{2\pi i}\int\limits_{a-\infty i}^{a+\infty i}\frac1s\log\left(1-\frac s\beta\right)x^sds

=\int\limits_\infty^x\frac{x^{\beta-1}}{\log x}dx+\text{const. im ersten}

\text{und}=\int\limits_0^x\frac{x^{\beta-1}}{\log x}dx+\text{const. im zweiten Falle.}

Im ersten Falle bestimmt sich die Integrationsconstante, wenn man den reellen Theil von \beta negativ unendlich werden läßt; im zweiten Falle erhält das Integral von 0 bis x um 2\pi i\, verschiedene Werthe, je nachdem die Integration durch complexe Werthe mit positiven oder negativen Arcus geschieht, und wird, auf jenem Wege genommen, unendlich klein, wenn der Coefficient von i in dem Werthe von \beta positiv unendlich wird, auf letzterem aber, wenn dieser Coefficient negativ unendlich wird. Hieraus ergiebt sich, wie auf der linken Seite \log(1-\tfrac s\beta) zu bestimmen ist, damit die Integrationsconstante wegfällt.

Durch Einsetzung dieser Werthe in den Ausdruck für \,f(x) erhält man

wenn in \sum^\alpha\, für \alpha sämmtliche positiven (oder einen positiven reellen Theil enthaltenden) Wurzeln der Gleichung \xi(\alpha)=0\,, ihrer Größe nach geordnet, gesetzt werden. Es läßt sich, mit Hülfe einer genaueren Discussion der Function \xi, leicht zeigen, daß bei dieser Anordnung der Werth der Reihe

\sum\left(Li\left(x^{\frac12+\alpha i}\right)+Li\left(x^{\frac12-\alpha i}\right)\right)\log x

mit dem Grenzwerth, gegen welchen

\frac1{2\pi i}\int\limits_{a-bi}^{a+bi}\frac{d\frac1s\sum\log\left(1+\frac{\left(s-\frac12\right)^2}{\alpha\alpha}\right)}{ds}x^sds

[679] bei unaufhörlichem Wachsen der Größe b convergirt, übereinstimmt; durch veränderte Anordnung aber würde sie jeden beliebigen reellen Werth erhalten können.

Aus f(x)\, findet sich F(x)\, mittelst der durch Umkehrung der Relation

f(x)=\sum\frac1nF\left(x^\frac1n\right)

sich ergebenden Gleichung

F(x)=\sum(-1)^\mu\frac1mf\left(x^\frac1m\right),

worin für m der Reihe nach die durch kein Quadrat außer 1 theilbaren Zahlen zu setzen sind und \mu die Anzahl der Primfactoren von m bezeichnet.

Beschränkt man \sum^\alpha\, auf eine endliche Zahl von Gliedern, so giebt die Derivirte des Ausdrucks für f(x)\, oder, bis auf einen mit wachsendem x sehr schnell abnehmenden Theil,

\frac1{\log x}-2\sum^\alpha\frac{\cos(\alpha\log x)x^{-\frac12}}{\log x}

einen angenäherten Ausdruck für die Dichtigkeit der Primzahlen + der halben Dichtigkeit der Primzahlquadrate +\tfrac13 von der Dichtigkeit der Primzahlcuben u. s. w. von der Größe x.

Die bekannte Näherungsformel F(x)=Li(x)\, ist also nur bis auf Größen von der Ordnung der Größe x^\frac12 richtig und giebt einen etwas zu großen Werth; denn die nicht periodischen[6] Glieder in dem Ausdrucke von F(x)\, sind, von Größen, die mit x nicht in’s Unendliche wachsen, abgesehen:

Li(x)-\frac12Li\left(x^\frac12\right)-\frac13Li\left(x^\frac13\right)-\frac15Li\left(x^\frac15\right)+\frac16Li\left(x^\frac16\right)-\frac17Li\left(x^\frac17\right)+\ldots

In der That hat sich bei der von Gauß und Goldschmidt[7] vorgenommenen und bis zu x= drei Millionen fortgesetzten Vergleichung von Li(x)\, mit der Anzahl der Primzahlen unter x diese Anzahl schon vom ersten Hunderttausend an stets [680] kleiner als Li(x)\, ergeben, und zwar wächst die Differenz unter manchen Schwankungen allmählich mit x.[8] Aber auch die von den periodischen Gliedern abhängige stellenweise Verdichtung und Verdünnung der Primzahlen hat schon bei den Zählungen die Aufmerksamkeit erregt, ohne daß jedoch hierin eine Gesetzmäßigkeit bemerkt worden wäre. Bei einer etwaigen neuen Zählung würde es interessant sein, den Einfluß der einzelnen in dem Ausdrucke für die Dichtigkeit der Primzahlen enthaltenen periodischen Glieder zu verfolgen. Einen regelmäßigeren Gang als F(x)\, würde die Function f(x)\, zeigen, welche sich schon im ersten Hundert sehr deutlich als mit Li(x)+\log\xi(0)\, im Mittel übereinstimmend erkennen läßt.

Anmerkungen (Wikisource)

  1. Leonhard Euler:WP Introductio in analysin infinitorum. Bd. 1. Lausanne 1748, S. 221-252, Kap. 15 (De Seriebus ex evolutione Factorum ortis). Digitalisat (Euler Archive), übersetzt von H. Maser, Berlin, 1885
  2. Riemann bezieht sich auf Carl Gustav Jacob Jacobi:(WP) Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum. Königsberg 1829, S. 184, § 65, Nr. 6. Die verwendete Formel ist dort allerdings nicht explizit angegeben, Jacobi folgert diese aber an anderer Stelle in seinem Aufsatz Suite des notices sur les fonctions elliptiques. In: Crelle’s Journal für die reine und angewandte Mathematik 3 (1828), S. 303-310. Digitalisat GDZ, französisch
  3. In den Monatsberichten beim ersten Integral (x)\psi\, statt \psi(x)\,:
    \prod\left(\frac s2-1\right)\pi^{-\frac s2}\zeta(s)=\int\limits_1^\infty(x)\psi x^{\frac s2-1}dx+\int\limits_0^1\psi\left(\frac1x\right)x^{\frac s2-\frac32}dx
  4. Das Manuskript (S. 4) und die Gesammelten Werke (S. 141) fügen vor dem zweitletzten Logarithmus noch ein \sum^{\alpha}\, ein. In den Monatsberichten fehlt das Summenzeichen:
    \frac s2\log\pi-\log(s-1)-\log\prod\frac s2+\log\left(1+\frac{(s-\frac12)^2}{\alpha\alpha}\right)+\log\xi(0)
  5. Riemann schreibt fälschlich \log \xi(0)\, anstelle von -\log 2. Da er \xi\, für die Bezeichnung einer anderen Funktion verwendet, bedeutet sein \xi(0)\, eigentlich \xi(\tfrac12) \neq \tfrac12\,. Dieser Fehler wurde zu Lebzeiten Riemanns entdeckt von Angelo Genocchi (1817–1889): Formole per determinare quanti siano i numeri primi fino ad un dato limite. In: Annali di Matematica Pura ed Applicata 3 (1860), S. 52-59. (Digitalisat, italienisch) Vgl. Harold M. Edwards: Riemann's Zeta Function. New York: Academic Press, 1974, S. 31.
  6. Genaugenommen sind die Terme Li(x^{\frac12 + \alpha i}) nicht periodisch, sondern oszillierend.
  7. Carl Wolfgang Benjamin Goldschmidt (1807–1851), ein Gauß-Schüler.
  8. Brief Carl Friedrich GaußWP (1777–1855) an Johann Franz EnckeWP (1791–1865) vom 24. Dezember 1849. Vgl. Tafel der Frequenz der Primzahlen (Nachlass). In: Carl Friedrich Gauß Werke. Bd. 2. Höhere Arithmetik (Google). Hrsg. von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften. Göttingen 1863, S. 435-443 (Tafel), 444-447 (Brief).