Das Relativitätsprinzip und seine Anwendung

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Textdaten
Autor: Hendrik Antoon Lorentz
Titel: Das Relativitätsprinzip und seine Anwendung auf einige besondere physikalische Erscheinungen
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aus: Das Relativitätsprinzip. Eine Sammlung von Abhandlungen. S. 74-89
Herausgeber: Otto Blumenthal, Arnold Sommerfeld
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Entstehungsdatum: 1910
Erscheinungsdatum: 1913
Verlag: B.G. Teubner
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Erscheinungsort: Leipzig und Berlin
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Originaltitel: "Alte und neue Fragen der Physik." Vorträge, gehalten in Göttingen vom 24.-29. Okt. 1910, ausgearbeitet von M. Born
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Originalherkunft: Phys. Zeitschr. 11 (1910)
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[74]
Das Relativitätsprinzip und seine Anwendung auf einige besondere physikalische Erscheinungen.
Von H. A. Lorentz.[1]

Das Einsteinsche Relativitätsprinzip hier in Göttingen zu besprechen, wo Minkowski gewirkt hat, erscheint mir eine besonders willkommene Aufgabe.

Man kann die Bedeutung dieses Prinzips von verschiedenen Gesichtspunkten beleuchten. Von der mathematischen Seite der Frage, die durch Minkowski eine so glänzende Darstellung gefunden hat und von Abraham, Sommerfeld u. a. weiter ausgebaut worden ist, soll hier nicht die Rede sein. Vielmehr sollen nach einigen erkenntnistheoretischen Betrachtungen über die Begriffe von Raum und Zeit diejenigen physikalischen Erscheinungen erörtert werden, die zu einer experimentellen Prüfung des Prinzips beitragen könnten.

Das Relativitätsprinzip behauptet folgendes: Wenn eine physikalische Erscheinung im Bezugssystem x, y, z, t durch gewisse Gleichungen beschrieben wird, so wird es auch eine Erscheinung geben, die sich in einem andern Bezugssystem x', y', z', t' durch dieselben Gleichungen beschreiben läßt. Dabei hängen beide Bezugssysteme durch Beziehungen zusammen, in denen die Lichtgeschwindigkeit c vorkommt und die ausdrücken, daß das eine System sich relativ zum andern mit gleichförmiger Geschwindigkeit bewegt.

Befindet sich der Beobachter A in dem ersten, B in dem zweiten Bezugssystem, und verfügt jeder über Maßstäbe und Uhren, die in seinem System ruhen, so wird A die Werte von x, y, z, t, B aber die Werte von x', y', z', t' messen, wobei zu bemerken ist, daß A und B sich auch desselben Maßstabes und derselben Uhr bedienen können. Wir müssen annehmen, daß, wenn Maßstab und Uhr von dem ersten Beobachter irgendwie dem zweiten in die Hände gespielt werden, sie dabei von selbst die richtige Länge bezw. den richtigen Gang annehmen, derart, daß B aus seinen Messungen die Werte von x', y', z', t' herausbekommt. Beide werden nun für die Lichtgeschwindigkeit den gleichen Wert finden und überhaupt die gleichen Beobachtungen machen können.

[75] Gesetzt, es gäbe einen Äther; dann wäre unter allen Systemen x, y, z, t eines dadurch ausgezeichnet, daß die Koordinatenachsen sowie die Uhr im Äther ruhen. Verbindet man hiermit die Vorstellung (die ich nur ungern aufgeben würde), daß Raum und Zeit etwas völlig Verschiedenes seien und daß es eine „wahre Zeit“ gebe (die Gleichzeitigkeit würde dann unabhängig vom Orte bestehen, entsprechend dem Umstande, daß uns die Vorstellung unendlich großer Geschwindigkeiten möglich ist), so sieht man leicht, daß diese wahre Zeit eben von Uhren, die im Äther ruhen, angezeigt werden müßte. Wenn nun das Relativitätsprinzip in der Natur allgemeine Gültigkeit hätte, so würde man allerdings nicht in der Lage sein, festzustellen, ob das gerade benutzte Bezugssystem jenes ausgezeichnete ist. Man kommt also dann zu denselben Resultaten, wie wenn man im Anschluß an Einstein und Minkowski die Existenz des Äthers und der wahren Zeit leugnet und alle Bezugssysteme als gleichwertig ansieht. Welcher der beiden Denkweisen man sich anschließen mag, bleibt wohl dem einzelnen überlassen.

Um die physikalische Seite der Frage zu diskutieren, müssen wir zunächst die Transformationsformeln aufstellen, wobei wir uns auf eine spezielle Form beschränken, in der sie schon im Jahre 1887 von Voigt bei Erörterungen über das Dopplersche Prinzip benutzt worden sind, nämlich:

x'=x,\ y'=y,\ z'=az-bct,\ t'=at-\frac{b}{c}z;

dabei erfüllen die Konstanten a > 0, b die Relation

a^{2} - b^{2} = 1{,}

welche die Identität

x'^{2} + y'^{2} + z'^{2} - c^{2}t'^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} - c^{2}t^{2}

zur Folge hat. Der Ursprung des Systems x', y', z' bewegt sich gegen das System x, y, z in der z-Richtung mit der Geschwindigkeit \textstyle{\frac{b}{a}c}, die immer kleiner als c ist. Überhaupt muß jede Geschwindigkeit kleiner als c angenommen werden.

Sämtliche Zustandsgrößen irgendeiner Erscheinung, in dem einen bez. dem andern System gemessen, hängen durch gewisse Transformationsformeln zusammen. Diese lauten z. B. für die Geschwindigkeit eines Punktes

\mathfrak{v}'_{x}=\frac{\mathfrak{v}_{x}}{\omega},\ \mathfrak{v}'_{y}=\frac{\mathfrak{v}_{y}}{\omega},\ \mathfrak{v}'_{z}=\frac{a\mathfrak{v}_{z}-bc}{\omega}{,}

wobei

\omega=a-\frac{b\mathfrak{v}_{z}}{c}

ist.

Wir betrachten weiter ein System von Punkten, deren Geschwindigkeit eine stetige Funktion der Koordinaten ist. Es sei dS ein den Punkt P(x,y,z) umgebendes Raumelement zur Zeit t; diesem Werte t und den Koordinaten [76] von P entspricht nach den Transformationsgleichungen ein Zeitpunkt t' in dem andern Bezugssystem, und jeder Punkt, der zur Zeit t in dS liegt, hat für diesen festgesetzten Wert von t' bestimmte x', y', z'. Die Punkte x', y', z' erfüllen ein Raumelement dS', welches mit dS so zusammenhängt:

dS'=\frac{dS}{\omega}.

Denken wir uns mit den Punkten ein Agens (Materie, Elektrizität etc.) verbunden, und nehmen wir an, daß der Beobachter B Anlaß habe, mit jedem Punkte dieselbe Menge des Agens zu verbinden wie der Beobachter A, so müssen sich offenbar die Raumdichten umgekehrt verhalten wie die Volumelemente, d. h.

\varrho'=\omega\varrho.

Alle diese Beziehungen sind reziprok, d. h. man kann die gestrichenen und ungestrichenen Buchstaben vertauschen, wenn man gleichzeitig b durch -b ersetzt.

Die Grundgleichungen des elektromagnetischen Feldes behalten bei der Transformation ihre Gestalt, wenn man folgende Größen einführt[2]:

\begin{array}{ccc}
\mathfrak{d}'_{x}=a\mathfrak{d}_{x}-b\mathfrak{h}_{y}, & \mathfrak{d}'_{y}=a\mathfrak{d}_{y}+b\mathfrak{h}_{x}, & \mathfrak{d}'_{z}=\mathfrak{d}_{z},\\
\mathfrak{h}'_{x}=a\mathfrak{h}_{x}+b\mathfrak{d}_{y}, & \mathfrak{h}'_{y}=a\mathfrak{h}_{y}-b\mathfrak{d}_{x}, & \mathfrak{h}'_{z}=\mathfrak{h}_{z};
\end{array}

zwischen diesen, der transformierten Raumdichte \varrho' und der transformierten Geschwindigkeit \mathfrak{v}' gelten also im System x', y', z', t' die Gleichungen:

\begin{array}{l}
\operatorname{div}\ \mathfrak{d}'=\varrho',\\
\operatorname{div}\ \mathfrak{h}'=0,\\
\operatorname{rot}\ \mathfrak{h}'=\frac{1}{c}\left(\mathfrak{\dot{d}}'+\varrho'\mathfrak{v}'\right),\\
\operatorname{rot}\ \mathfrak{d}'=-\frac{1}{c}\mathfrak{\dot{h}}'.
\end{array}

Soweit genügen die Feldgleichungen der Elektronentheorie dem Relativitätsprinzip; es wird sich aber noch darum handeln, die Bewegungsgleichungen der Elektronen selbst mit dem Prinzip in Einklang zu bringen.

Wir werden, etwas allgemeiner, die Bewegung eines beliebigen materiellen Punktes betrachten. Hierbei ist die Einführung des Begriffs „Eigenzeit“, einer schönen Erfindung Minkowskis, von Nutzen. Danach gehört jedem Punkte gewissermaßen eine eigene Zeit zu, die vom gewählten Bezugssystem unabhängig ist; ihr Differential wird definiert durch die Gleichung:

d\tau=\sqrt{1-\frac{\mathfrak{v}^{2}}{c^{2}}}dt.

[77] Die mit Hilfe der Eigenzeit \tau gebildeten Ausdrücke

\frac{d}{d\tau}\frac{dx}{d\tau},\ \frac{d}{d\tau}\frac{dy}{d\tau},\ \frac{d}{d\tau}\frac{dz}{d\tau}{,}

lineare homogene Funktionen der gewöhnlichen Beschleunigungskomponenten, bezeichnen wir als Komponenten der „Minkowskischen Beschleunigung“. Wir beschreiben die Bewegung eines Punktes durch die Gleichungen:

m\frac{d}{d\tau}\frac{dx}{d\tau}=\mathfrak{K}_{x}\text{, usw.,}

wo m eine Konstante ist, die wir die „Minkowskische Masse“ nennen. Den Vektor \mathfrak{K} bezeichnen wir als „Minkowskische Kraft“.

Es lassen sich dann leicht die Transformationsformeln für diese Beschleunigung und Kraft ableiten; m lassen wir ungeändert. So hat man

\mathfrak{K}'_{x}=\mathfrak{K}_{x},\ \mathfrak{K}'_{y}=\mathfrak{K}_{y},\ \mathfrak{K}'_{z}=a\mathfrak{K}_{z}-\frac{b}{c}(\mathfrak{v}\cdot\mathfrak{K}).

Das Wesentliche ist nun folgendes. Das Relativitätsprinzip erfordert, daß, wenn bei einer wirklichen Erscheinung die Minkowskischen Kräfte in bestimmter Weise von den Koordinaten, Geschwindigkeiten usw. im einen Bezugssystem abhängen, die transformierten Minkowskischen Kräfte im andern Bezugssystem in derselben Weise von den transformierten Koordinaten, Geschwindigkeiten usw. abhängen. Das ist eine besondere Eigenschaft, die alle Kräfte der Natur haben müssen, wenn das Relativitätsprinzip gelten soll. Setzen wir das voraus, so kann man die auf bewegte Körper wirkenden Kräfte berechnen, wenn man sie für den Fall der Ruhe kennt. Bewegt sich z. B. ein Elektron von der Ladung e, so denken wir uns ein Bezugssystem, in dem es momentan ruht. Dann wirkt auf das Elektron in diesem System die Minkowskische Kraft

\mathfrak{K}=e\mathfrak{d};

hieraus folgt durch Anwendung der Transformationsgleichungen für \mathfrak{K} und \mathfrak{d}, daß die in einem beliebigen Koordinatensystem auf das mit der Geschwindigkeit \mathfrak{v} bewegte Elektron wirkende Minkowskische Kraft

\mathfrak{K}=e\frac{\mathfrak{d}+\frac{1}{c}[\mathfrak{v}\cdot\mathfrak{h}]}{\sqrt{1-\frac{\mathfrak{v}^{2}}{c^{2}}}}

beträgt. Diese Formel stimmt mit dem gewöhnlichen Ansatz der Elektronentheorie nicht überein infolge des Auftretens des Nenners. Der Unterschied rührt daher, daß man gewöhnlich nicht mit unserer Minkowskischen, sondern mit der „Newtonschen Kraft“ \mathfrak{F} operiert, und wir sehen, daß für ein Elektron diese beiden Kräfte folgendermaßen zusammenhängen:

\mathfrak{F}=\mathfrak{K}\sqrt{1-\frac{\mathfrak{v}^{2}}{c^{2}}}.

Man wird annehmen, daß diese Beziehung für beliebige materielle Punkte gilt.

[78] Somit kann man die Bewegungserscheinungen auf zwei verschiedene Weisen behandeln, entweder mit der Minkowskischen oder mit der Newtonschen Kraft. Im letzteren Falle lauten die Bewegungsgleichungen

\mathfrak{F}=m_{1}\mathfrak{j}_{1}+m_{2}\mathfrak{j}_{2}{,}

und hier bedeuten \mathfrak{j}_{1} die gewöhnliche Beschleunigung in der Richtung der Bewegung, \mathfrak{j}_{2} die gewöhnliche Normalbeschleunigung, und man nennt die Faktoren

\begin{array}{rl}
m_{1} & =\frac{m}{\sqrt{\left(1-\frac{\mathfrak{v}^{2}}{c^{2}}\right)^{3}}},\\ & \\
m_{2} & =\frac{m}{\sqrt{1-\frac{\mathfrak{v}^{2}}{c^{2}}}}
\end{array}

die „longitudinale“ und „transversale Masse“.

Genau so wie die Minkowskischen Kräfte, müssen auch die in der Natur vorkommenden Newtonschen Kräfte bestimmten Bedingungen genügen, wenn das Relativitätsprinzip erfüllt sein soll. Das ist z. B. der Fall, wenn, unabhängig von der Bewegung, auf eine Fläche ein Normaldruck von der konstanten Größe p pro Flächeneinheit wirkt; im transformierten System wirkt dann auf das entsprechende bewegte Flächenelement ein normaler Druck von der gleichen Größe.

Da wir die Invarianz der Feldgleichungen bereits erkannt haben, läuft die Frage, ob die Bewegungen in einem Elektronensystem dem Relativitätsprinzip entsprechen, lediglich auf eine experimentelle Prüfung der Formeln für die longitudinale und transversale Masse m_{1}, m_{2} heraus; obgleich die Versuche von Bucherer und Hupka diese Formeln zu bestätigen scheinen, ist man zu einer definitiven Entscheidung noch nicht gekommen.

Bezüglich der Masse des Elektrons ist noch zu bedenken, daß diese elektromagnetischer Natur ist; sie wird also von der Verteilung der Ladungen innerhalb des Elektrons abhängen. Die Formeln für die Masse können daher nur dann richtig sein, wenn die Ladungsverteilung und damit auch die Gestalt des Elektrons in bestimmter Weise mit der Geschwindigkeit veränderlich sind. Man muß annehmen, daß infolge einer Translation ein Elektron, das ruhend eine Kugel ist, ein in der Bewegungsrichtung abgeplattetes Ellipsoid wird; der Betrag der Abplattung ist

\sqrt{1-\frac{\mathfrak{v}^{2}}{c^{2}}}.

Nehmen wir an, daß Gestalt und Größe des Elektrons durch innere Kräfte reguliert werden, so müssen diese, um mit dem Relativitätsprinzip verträglich zu sein, derartige Eigenschaften haben, daß sich jene Abplattung bei [79] der Bewegung von selbst einstellt. Hierzu hat Poincaré folgende Hypothese gemacht. Das Elektron ist eine geladene ausdehnbare Haut, und den elektrischen Abstoßungen der einzelnen Punkte widersetzt sich eine innere Normalspannung von unveränderlicher Größe. In der Tat genügen nach obigem solche Normalspannungen dem Relativitätsprinzip.

In derselben Weise müssen alle innerhalb der ponderablen Materie wirksamen Molekularkräfte, ebenso die auf die Elektronen wirkenden quasi-elastischen und Widerstandskräfte, bestimmten Bedingungen genügen, um mit dem Relativitätsprinzip im Einklang zu sein. Dann wird jeder bewegte Körper für einen mitbewegten Beobachter unverändert sein, für einen ruhenden aber eine Veränderung der Dimensionen erfahren, die eben eine Folge der durch jene Bedingungen geforderten Änderung der Molekularkräfte ist. Hieraus ergibt sich auch von selbst jene Verkürzung der Körper, welche schon früher erdacht wurde zur Erklärung des negativen Ausfalls des Michelsonschen Interferenzversuches und aller ähnlichen Versuche, die einen Einfluß der Erdbewegung auf optische Erscheinungen feststellen sollten.

Was den starren Körper anlangt, mit dem sich Born, Herglotz, F. Noether, Levi-Cività beschäftigt haben, so werden die bei der Betrachtung der Rotationen auftretenden Schwierigkeiten wohl dadurch zu heben sein, daß man die Starrheit der Wirksamkeit besonders intensiver Molekularkräfte zuschreibt.

Schließlich wollen wir uns der Gravitation zuwenden. Das Relativitätsprinzip erfordert eine Abänderung des Newtonschen Gesetzes, vor allem eine Fortpflanzung der Wirkung mit Lichtgeschwindigkeit. Die Möglichkeit einer endlichen Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Schwerkraft ist schon von Laplace diskutiert worden, der sich als Ursache der Schwerkraft ein gegen die Sonne strömendes Fluidum dachte, das die Planeten gegen die Sonne drückt. Er fand, daß die Geschwindigkeit c dieses Fluidums wenigstens 100 Millionen mal größer als die des Lichtes angenommen werden müsse, damit die Rechnung mit den astronomischen Beobachtungen im Einklang bleibt. Die Notwendigkeit eines so großen Wertes von c rührt daher, daß in seinen Endformeln die Größe \textstyle{\frac{v}{c}} in der ersten Potenz auftritt, wo v die Planetengeschwindigkeit ist. Soll nun aber die Fortpflanzungsgeschwindigkeit c der Schwerkraft den Wert der Lichtgeschwindigkeit haben, wie es das Relativitätsprinzip fordert, so kann ein Widerspruch mit den Beobachtungen nur dann vermieden werden, wenn in dem Ausdruck für das modifizierte Gravitationsgesetz nur Größen zweiter (und höherer) Ordnung in \textstyle{\frac{v}{c}} auftreten.

Beschränkt man sich auf Größen zweiter Ordnung, so läßt sich leicht auf Grund einer naheliegenden elektronentheoretischen Analogie eine Bedingung angeben, die das abgeänderte Gesetz in eindeutiger Weise festlegt. [80] Betrachtet man nämlich die Kraft; die auf ein mit der Geschwindigkeit \mathfrak{v} bewegtes Elektron wirkt,

e\left(\mathfrak{d}+\frac{1}{c}[\mathfrak{v}\cdot\mathfrak{h}]\right){,}

so hängen die Vektoren \mathfrak{d} und \mathfrak{h} noch von den Geschwindigkeiten \mathfrak{v}' der das Feld erzeugenden Elektronen ab; in dem Vektorprodukt [\mathfrak{v}\cdot\mathfrak{h}] kommen daher wohl die Produkte der Form \mathfrak{vv'} vor, nicht aber das Quadrat \mathfrak{v}^{2} der Geschwindigkeit des betrachteten Elektrons. Nehmen wir entsprechend an, daß im Ausdruck der auf den Punkt 1 wirkenden Anziehung, ausgeübt von Punkt 2, das Quadrat der Geschwindigkeit des Punktes 1, \mathfrak{v}_{1}^{2}, nicht auftritt, so muß in einem Bezugssystem, in dem der Punkt 2 ruht (\mathfrak{v}_{2}=0), jede Geschwindigkeit überhaupt herausfallen; das Gesetz wird sich daher in diesem System auf das gewöhnliche Newtonsche reduzieren. Geht man jetzt durch Transformation zu einem beliebigen Koordinatensystem über, so findet man, daß sich die auf den Punkt 1 wirkende Kraft aus zwei Teilen zusammensetzt, erstens einer Anziehung in Richtung der Verbindungslinie vom Betrage

R+\frac{1}{c^{2}}\left\{ \frac{1}{2}\mathfrak{v}_{2}^{2}R+\frac{1}{2}\mathfrak{v}_{2r}^{2}\left(r\frac{dR}{dr}-R\right)-\left(\mathfrak{v}_{1}\cdot\mathfrak{v}_{2}\right)R\right\}{,}

zweitens einer Kraft in der Richtung \mathfrak{v}_{2} vom Betrage

\frac{1}{c^{2}}\mathfrak{v}_{1r}R\mathfrak{v}_{2};

hier bedeutet r die Entfernung zwischen zwei gleichzeitigen Lagen beider Punkte, \mathfrak{v}_{r} die Komponente von \mathfrak{v} nach der von 1 nach 2 gezogenen Verbindungslinie und R diejenige Funktion von r, welche im Falle der Ruhe das Anziehungsgesetz darstellt (\textstyle{R=\frac{k}{r^{2}}} bei der Newtonschen Attraktion, R=kr bei quasi-elastischen Kräften). Zu beachten ist, daß hier unter „Kraft“ immer die „Newtonsche Kraft“ zu verstehen ist, nicht die „Minkowskische“. Übrigens hat Minkowski für das Gesetz der Schwerkraft einen etwas anderen Ausdruck angegeben. Bei Poincaré findet sich sowohl dieser als auch der oben hingeschriebene.

Es ist zu beachten, daß bei diesen Gesetzen der Schwerkraft das Prinzip der Gleichheit von Wirkung und Gegenwirkung nicht erfüllt ist.

Es sollen nun die Störungen erörtert werden, welche durch jene Zusatzglieder zweiter Ordnung entstehen können. Es gibt da neben vielen kurzperiodischen Störungen, die keine Bedeutung haben, eine säkulare Bewegung des Perihels der Planeten. De Sitter berechnet diese für den Merkur zu 6,69'' pro Jahrhundert.[3] Nun kennt man seit Laplace eine Perihelanomalie des Merkurs vom Betrage 44'' pro Jahrhundert; wenn diese auch das richtige [81] Vorzeichen hat, ist sie doch viel zu groß, um durch jene Zusatzglieder erklärt werden zu können. Vielmehr wird sie von Seeliger auf eine Störung durch den Träger des Zodiakallichtes zurückgeführt, dessen Masse man in plausibler Weise geeignet bestimmen kann. Hieraus kann also keine Entscheidung gewonnen werden, so lange nicht die Genauigkeit der astronomischen Messungen wesentlich gesteigert wird. Bei einer absoluten Genauigkeit wäre auch der Unterschied der „Eigenzeit“ der Erde von der Zeit des Sonnensystems zu berücksichtigen.

Eine andere Methode, die Gültigkeit des abgeänderten Gravitationsgesetzes zu prüfen, kann man auf ein Verfahren gründen, das Maxwell zur Entscheidung darüber vorgeschlagen hat, ob das Sonnensystem sich durch den Äther hindurchbewegt. Ist dieses der Fall, so müßten die Verfinsterungen der Trabanten des Jupiters, je nach der Stellung dieses Planeten zur Erde, Verfrühungen oder Verspätungen erleiden.

Denn beträgt die Entfernung Jupiter—Erde a und die Geschwindigkeitskomponente des Sonnensystems im Äther in Richtung der Verbindungslinie Jupiter—Erde v, so wird die Zeit \textstyle{\frac{a}{c}}, die das Licht im Falle der Ruhe zum Durchlaufen der Strecke a brauchen würde, verwandelt in \textstyle{\frac{a}{c\pm v}}; es kommt also durch die Bewegung eine Verfrühung oder Verspätung zustande, die bis auf Glieder zweiter Ordnung \textstyle{\frac{av}{c^{2}}} beträgt und die je nach dem Werte der Geschwindigkeitskomponente v, welche ja von der Stellung der beiden Planeten abhängt, verschiedene Werte annimmt. Nun ist klar, daß eine solche Abhängigkeit der Erscheinungen von der Bewegung durch den Äther dem Relativitätsprinzip widerspricht.

Um diesen Widerspruch aufzuklären, wollen wir uns die Sachlage schematisch vereinfachen. Wir denken uns, daß die Sonne S eine Masse habe, die im Verhältnis zu der des Planeten unendlich groß sei.
Lorentz1913a.png

Fig. 5

Die Geschwindigkeit des Sonnensystems falle in die z-Achse, die wir durch die Sonne gehen lassen. Die Schnittpunkte der Bahn des Planeten mit der z-Achse bezeichnen wir als oberen bezw. unteren Durchgang A bezw. B (Fig. 5).

Den Beobachter verlegen wir auf die Sonne. Bei jedem Durchgange des Planeten durch die z-Achse möge ein Lichtsignal zur Sonne hineilen. Die Umlaufszeit sei T. Wenn die Sonne ruht, wird bei der als kreisförmig vorausgesetzten Bewegung die Zeit zwischen oberem und unterem Durchgange \textstyle{\frac{1}{2}T} betragen; desgleichen auch die Zeit zwischen dem Eintreffen der [82] beiden Lichtsignale. Bewegt sich dagegen die Sonne in der z-Richtung, so muß das Lichtsignal vom oberen Durchgange eine Verfrühung um \textstyle{\frac{av}{c^{2}}}, das vom unteren Durchgänge eine Verspätung vom selben Betrage erleiden; falls die gleichförmige Umlaufsbewegung (wie Maxwell als selbstverständlich voraussetzt) ungestört erhalten bleibt, würde das Zeitintervall zwischen dem Eintreffen der Lichtsignale zweier aufeinanderfolgender Durchgänge abwechselnd um \textstyle{\frac{2av}{c^{2}}} vergrößert und verkleinert erscheinen. Die hierbei vorausgesetzte Erhaltung der gleichförmigen Kreisbewegung bei einer Translation im Äther ist aber nach dem Relativitätsprinzip unmöglich. Beschreiben wir nämlich den Vorgang in einem Koordinatensystem, das an der Bewegung nicht teilnimmt, so wird das modifizierte Gravitationsgesetz anzuwenden sein, und dieses ergibt eine Ungleichförmigkeit der Planetenbewegung, infolge deren die Verschiedenheit der Zeitintervalle zwischen dem Eintreffen der Lichtsignale gerade aufgehoben wird.

Es kann daher die Feststellung, ob eine Verfrühung oder Verspätung der Verfinsterungen wirklich eintritt, zur Entscheidung für oder gegen das Relativitätsprinzip benutzt werden. Allerdings sind die numerischen Verhältnisse wieder recht ungünstig. So schätzt Herr Burton, dem 330 photometrische Beobachtungen zur Verfügung stehen, die an der Harvard-Sternwarte über die Verfinsterungen des 1. Jupitersatelliten angestellt worden sind, den wahrscheinlichen Fehler des schließlichen Resultats für v auf 50 km/sec; andrerseits hat man Sterngeschwindigkeiten von 70 km/sec beobachtet und die Geschwindigkeit des Sonnensystems gegen den Fixsternhimmel wird auf 20 km/sec geschätzt. Durch Burtons Berechnungen wird also das Relativitätsprinzip schwerlich gestützt, höchstens zu Fall gebracht werden können, nämlich wenn sich schließlich z. B. ein 100 km/sec übersteigender Wert ergäbe.

Lassen wir es dahin gestellt, ob die neue Mechanik durch astronomische Beobachtungen eine Bestätigung erfahren wird oder nicht. Doch wollen wir es nicht unterlassen, noch einige ihrer Grundformeln kennen zu lernen.

Definiert man die Arbeit als das skalare Produkt aus „Newtonscher Kraft“ und Verschiebung, so ergeben die Bewegungsgleichungen das Energieprinzip in der gewöhnlichen Form, daß die pro Zeiteinheit geleistete Arbeit gleich der Zunahme der Energie \varepsilon ist:

\mathfrak{F}_{x}\frac{dx}{dt}+\mathfrak{F}_{y}\frac{dy}{dt}+\mathfrak{F}_{z}\frac{dz}{dt}=\frac{d\varepsilon}{dt}.

Dabei hat die Energie den Ausdruck:

\varepsilon=mc^{2}\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\mathfrak{v}^{2}}{c^{2}}}}-1\right);

[83] das stimmt für kleine Geschwindigkeiten mit dem Wert der kinetischen Energie der gewöhnlichen Mechanik

\varepsilon=\frac{1}{2}m\mathfrak{v}^{2}

überein.

Ferner kann man aus den Bewegungsgleichungen das Hamiltonsche Prinzip

\int_{t_{1}}^{t_{1}}(\delta L+\delta A)dt=0

ableiten; hier ist \delta A die Arbeit der „Newtonschen Kraft“ bei einer virtuellen Verrückung und L die Lagrangesche Funktion, die folgendermaßen lautet:

L=-mc^{2}\left(\sqrt{1-\frac{\mathfrak{v}^{2}}{c^{2}}}-1\right).

Aus dem Hamiltonschen Prinzip kann man umgekehrt wieder die Bewegungsgleichungen gewinnen. Die Größen

\frac{\partial L}{\partial\dot{x}},\ \frac{\partial L}{\partial\dot{y}},\ \frac{\partial L}{\partial\dot{z}}

werden als Komponenten der Bewegungsgröße zu bezeichnen sein.

Alle diese Formeln kann man an den elektromagnetischen Bewegungsgesetzen eines Elektrons verifizieren; man hat dann für die „Minkowskische Masse“ m den Wert

m=\frac{e^{2}}{6\pi Rc^{2}}

zu setzen und zu der elektrischen und der magnetischen Energie die Energie jener inneren Spannungen hinzuzufügen, welche, wie wir sahen, die Form des Elektrons bestimmen. So kann man aus dem allgemeinen Prinzip der kleinsten Wirkung für beliebige elektromagnetische Systeme, welches in dem ersten Vortrage besprochen wurde[4], durch Spezialisierung auf ein Elektron das eben angegebene Hamiltonsche Prinzip für einen materiellen Punkt gewinnen, doch muß wieder die Arbeit jener inneren Spannungen berücksichtigt werden.

Wir gehen jetzt dazu über, die Gleichungen des elektromagnetischen Feldes für ponderable Körper zu betrachten. Diese sind rein phänomenologisch von Minkowski aufgestellt worden, dann ist von M. Born und Ph. Frank gezeigt worden, daß sie sich auch aus den Vorstellungen der Elektronentheorie herleiten lassen; auch ich selbst habe auf letzterem Wege die Gleichungen in einer formal etwas abweichenden Gestalt erhalten.

Um Beziehungen zwischen beobachtbaren Größen zu bekommen, muß man durch Bildung von Mittelwerten über große Mengen von Elektronen die Einzelheiten der von ihnen herrührenden Erscheinungen verwischen. [84] Man wird so auf folgende Gleichungen geführt (die mit denen der gewöhnlichen Maxwellschen Theorie gleichlauten):

\begin{array}{l}
\operatorname{div}\ \mathfrak{D}=\varrho_{l}{,}\\
\operatorname{div}\ \mathfrak{B}=0{,}\\
\operatorname{rot}\ \mathfrak{H}=\frac{1}{c}(\mathfrak{C}+\mathfrak{\dot{D}}){,}\\
\operatorname{rot}\ \mathfrak{E}=-\frac{1}{c}\mathfrak{\dot{B}}.
\end{array}

Hierin ist \mathfrak{D} die dielektrische Verschiebung, \mathfrak{B} die magnetische Induktion, \mathfrak{H} die magnetische Kraft, \mathfrak{E} die elektrische Kraft, \mathfrak{C} der elektrische Strom, \varrho_{l} die Dichte der beobachtbaren elektrischen Ladungen. Deutet man die Mittelwertbildung durch Überstreichen an, so ist z. B.

\mathfrak{E}=\mathfrak{\bar{d}}, \mathfrak{B}=\mathfrak{\bar{h}}{,}

wo \mathfrak{d}, \mathfrak{h} die frühere Bedeutung haben; ferner ist

\begin{array}{l}
\mathfrak{D}=\mathfrak{E}+\mathfrak{P}{,}\\
\mathfrak{H}=\mathfrak{B}-\mathfrak{M}-\frac{1}{c}[\mathfrak{P}\cdot\mathfrak{w}]{,}
\end{array}

wo \mathfrak{P} das elektrische Moment, \mathfrak{M} die Magnetisierung pro Volumeinheit und \mathfrak{w} die Geschwindigkeit der Materie bedeuten. Bei der Ableitung dieser Formeln sondert man die Elektronen in drei Arten. Die erste Art, die Polarisationselektronen, erzeugen durch ihre Verschiebung das elektrische Moment \mathfrak{P}; die zweite Art, die Magnetisierungselektronen, erzeugen durch ihre Umläufe das magnetische Moment \mathfrak{M}; die dritte Art, die Leitungselektronen, bewegen sich frei in der Materie und erzeugen die beobachtbare Ladungsdichte \varrho_{l} und den Strom \mathfrak{C}. Letzterer ist noch in zwei Teile zu trennen; denn ist \mathfrak{u} die Relativgeschwindigkeit der Elektronen gegen die Materie, so ist die gesamte Geschwindigkeit der Elektronen \mathfrak{v}=\mathfrak{w}+\mathfrak{u}, also der von ihnen transportierte Strom

\mathfrak{C}=\overline{\varrho\mathfrak{v}}=\varrho\mathfrak{w}+\overline{\varrho\mathfrak{u}};

\bar{\varrho} ist die beobachtbare Ladung \varrho_{l}, \bar{\varrho}\mathfrak{w} der Konvektionsstrom, \overline{\varrho\mathfrak{u}} der eigentliche Leitungsstrom \mathfrak{C}_{l}.

Für alle diese Größen existieren Transformationsformeln, von denen einige angegeben werden mögen:

\mathfrak{C}'_{x}=\mathfrak{C}_{x},\ \mathfrak{C}'_{y}=\mathfrak{C}_{y},\ \mathfrak{C}'_{z}=a\mathfrak{C}_{z}-bc\varrho_{l},\ \varrho'_{l}=a\varrho_{l}-\frac{b}{c}\mathfrak{C}_{z}{,}
\begin{array}{l}
\mathfrak{P}'_{x}=a\mathfrak{P}_{x}-\frac{b}{c}(\mathfrak{w}_{z}\mathfrak{P}_{x}-\mathfrak{w}_{x}\mathfrak{P}_{z})+b\mathfrak{M}_{y}{,}\\
\mathfrak{P}'_{y}=a\mathfrak{P}_{y}-\frac{b}{c}(\mathfrak{w}_{z}\mathfrak{P}_{y}-\mathfrak{w}_{y}\mathfrak{P}_{z})-b\mathfrak{M}_{x}{,}\\
\mathfrak{P}'_{z}=\mathfrak{P}_{z}.
\end{array}

[85] Ferner sind folgende Hilfsvektoren von Nutzen:


\begin{array}{cc}
\mathfrak{H}_{1}=\mathfrak{H}-\frac{1}{c}[\mathfrak{w}\cdot\mathfrak{D}], & \mathfrak{B}_{1}=\mathfrak{B}-\frac{1}{c}[\mathfrak{w}\cdot\mathfrak{E}]{,}\\
\mathfrak{E}_{1}=\mathfrak{E}+\frac{1}{c}[\mathfrak{w}\cdot\mathfrak{B}], & \mathfrak{D}_{1}=\mathfrak{D}+\frac{1}{c}[\mathfrak{w}\cdot\mathfrak{H}].
\end{array}

Die angegebenen Feldgleichungen müssen jetzt noch ergänzt werden durch Aufstellung der Beziehungen, die zwischen den Vektoren \mathfrak{E}, \mathfrak{H} und \mathfrak{D}, \mathfrak{B} bestehen. Man kann diese Relationen auf zwei Weisen gewinnen.

Die erste phänomenologische Methode verfährt so: Man betrachtet einen beliebig bewegten Punkt der Materie und führt ein Bezugssystem ein, in dem dieser ruht; dann wird, falls das den Punkt umgebende Volumelement in dem Ruhesystem isotrop ist, z. B. zwischen \mathfrak{E} und \mathfrak{D} die für ruhende Körper zutreffende Gleichung gelten

\mathfrak{D}=\varepsilon\mathfrak{E}{,}

oder auch

\mathfrak{D}_{1}=\varepsilon\mathfrak{E}_{1}{,}

weil die Hilfsvektoren \mathfrak{D}_{1}, \mathfrak{E}_{1} für \mathfrak{w}=0 mit \mathfrak{D}, \mathfrak{E} identisch sind. Nun transformieren sich aber \mathfrak{D}_{1} und \mathfrak{E}_{1} in gleicher Weise, und daraus folgt, daß auch im ursprünglichen Bezugssystem die Gleichung

\mathfrak{D}_{1}=\varepsilon\mathfrak{E}_{1}

gültig bleibt. Entsprechend ist

\mathfrak{B}_{1}=\mu\mathfrak{H}_{1}.

Was den Leitungsstrom betrifft, so bemerken wir nur, daß er von \mathfrak{E}_{1} abhängt.

Die zweite Methode geht auf die Mechanik der Elektronen zurück. Ebenso wie sich für ruhende Körper die Gleichung \mathfrak{D}=\varepsilon\mathfrak{E}, als Folge der Annahme quasi-elastischer Kräfte erweist, die die Elektronen in ihre Ruhelagen zurückziehen, wird man bei bewegten Körpern die Gleichung \mathfrak{D}_{1}=\epsilon\mathfrak{E}_{1} erhalten, wenn man den quasi-elastischen Kräften diejenigen Eigenschaften zuschreibt, die das Relativitätsprinzip verlangt. Letzteres wird erfüllt sein, wenn man für diese Kräfte den Ausdruck des verallgemeinerten Attraktionsgesetzes ansetzt, wobei R proportional r genommen werden muß.

Ähnliches gilt von der Erklärung des Leitungswiderstandes. Eine befriedigende elektronentheoretische Erklärung der magnetischen Eigenschaften der Körper ist zurzeit nicht vorhanden.

Zum Abschluß soll die Bedeutung der vorstehenden Gleichungen au drei bemerkenswerten Fällen erläutert werden.

Die erste Bemerkung knüpft an die Gleichung

\varrho'_{l}=a\varrho_{l}-\frac{b}{c}\mathfrak{C}_{z}

an. Zufolge dieser kann \varrho'_{l} verschwinden, ohne daß \varrho_{l}=0 zu sein braucht, [86] wenn nur ein Strom \mathfrak{C} vorhanden ist; d. h. ein Beobachter A wird den Körper für geladen erklären, den ein relativ zu ihm bewegter B für ungeladen halten muß. Man kann das verstehen, wenn man beachtet, daß in jedem Körper gleich viele positive und negative Elektronen vorhanden sind, die sich bei ungeladenen Körpern kompensieren. Bewegt sich der Körper mit der Geschwindigkeit \mathfrak{w}, so werden, wenn ein Leitungsstrom vorhanden ist, beide Elektronenarten verschiedene Gesamtgeschwindigkeiten erhalten, also wird für beide Arten auch die Größe \textstyle{\omega=a-b\frac{\mathfrak{v}_{z}}{c}} verschiedene Werte haben. Berechnet nun ein mit dem Körper bewegter Beobachter B den Mittelwert der Ladungsdichte \overline{\varrho'}=\overline{\omega\varrho} für beide Arten von Elektronen, so kann er die Summe Null erhalten, auch wenn sich für einen Beobachter A, in dessen Bezugssystem der Körper sich bewegt, die Mittelwerte \bar{\varrho} der positiven und negativen Elektronen nicht kompensieren.

Dieser Umstand ruft eine Reminiszenz an eine alte Frage hervor. Um das Jahr 1880 gab es unter den Physikern eine große Diskussion über das Clausiussche Grundgesetz der Elektrodynamik. Man wollte damals einen Widerspruch dieses Gesetzes mit den Beobachtungen herleiten, indem man schloß, daß nach dem Gesetze ein auf der Erde befindlicher stromdurchflossener Leiter auf eine mitbewegte Ladung e infolge der Erdbewegung eine Wirkung ausüben müßte, die man hätte auffinden können. Daß das Gesetz tatsächlich diese Wirkung nicht fordert, hat Budde bemerkt; es rührt das daher, daß der Strom durch die Erdbewegung auch auf sich selbst wirkt und eine „Kompensationsladung“ auf dem durchflossenen Leiter hervorruft, die jene erste Wirkung genau aufhebt. Zu ähnlichen Schlüssen führt die Elektronentheorie und ich finde für die Dichte der Kompensationsladung, wenn die Geschwindigkeit die Richtung der z-Achse hat,

\frac{1}{c^{2}}\mathfrak{w}_{z}\mathfrak{C}_{z};

diese muß ein an der Bewegung der Erde nicht teilnehmender Beobachter A als vorhanden annehmen, während sie für einen mitbewegten Beobachter B nicht besteht. Der angegebene Wert stimmt genau mit der aus dem Relativitätsprinzip abgeleiteten Formel überein; denn ist \varrho'_{l}=0, so findet man aus dieser Formel

\varrho_{l}=\frac{b}{ac}\mathfrak{C}_{z}{,}

und da \textstyle{\mathfrak{w}_{z}=\frac{bc}{a}} nach dem im Vorhergehenden (S. 75) Gesagten die Geschwindigkeit der beiden Bezugssysteme gegeneinander ist, so findet man in der Tat

\varrho_{l}=\frac{1}{c^{2}}\mathfrak{w}_{z}\mathfrak{C}_{z}.
[87] Die zweite Bemerkung geht von den Transformationsgleichungen für das elektrische Moment \mathfrak{P} (S. 84) aus, welche dadurch, daß in ihnen die Magnetisierung \mathfrak{M} vorkommt, die Unmöglichkeit erkennen lassen, scharf zwischen Polarisations- und Magnetisierungselektronen zu unterscheiden. Vielmehr kann in einem magnetisierten Körper (\mathfrak{M}\neq0), von einem Bezugssystem aus beurteilt, \mathfrak{P}=0 sein, während in einem andern Bezugssystem \mathfrak{P}' von Null verschieden ist. Es soll das nun auf einen speziellen Fall angewendet werden, wobei wir uns auf Größen 1. Ordnung beschränken. Der betrachtete Körper (etwa ein Stahlmagnet) enthalte nur Leitungselektronen und solche, die, wenn der Körper ruht, ein \mathfrak{M}, aber kein \mathfrak{P} hervorbringen; er habe die Gestalt einer unendlich ausgedehnten ebenen Platte, begrenzt von zwei Ebenen a, b; die Mittelebene machen wir zur yz-Ebene (Fig. 6).
Lorentz1913b.png

Fig. 6.

Wenn er ruht, möge in der y-Richtung eine konstante Magnetisierung \mathfrak{M}_{y} bestehen, während \mathfrak{P}=0 ist. Bekommt der Körper in der z-Richtung die Geschwindigkeit v, so wird ein an der Bewegung nicht teilnehmender Beobachter die elektrische Polarisation
\mathfrak{P}_{x}=-\frac{v}{c}\mathfrak{M}_{y}

wahrnehmen. Jetzt denken wir uns zu beiden Seiten des Körpers zwei Konduktoren c, d, welche mit ihm zusammen zwei gleiche Kondensatoren bilden, und diese mögen durch einen Draht (von c nach d) kurzgeschlossen sein. Bei der Bewegung werden auf c nun d Ladungen entstehen, die sich so berechnen lassen. Da offenbar ein Strom in der x-Richtung unmöglich ist, ist \mathfrak{E}_{1x}=0 oder \textstyle{\mathfrak{E}_{x}=\frac{v}{c}\mathfrak{B}_{y}}. Da der Vorgang stationär ist, wird \mathfrak{\dot{B}}=0; dann folgt aus \operatorname{rot}\ \mathfrak{E}=0 die Existenz eines Potentials \varphi. Ist \Delta die Dicke der Platte, so hat man

\varphi_{a}-\varphi_{b}=\frac{v}{c}\Delta\mathfrak{B}_{y}.

Aus der Symmetrie der Anordnung folgt offenbar

\varphi_{d}-\varphi_{a}=\varphi_{b}-\varphi_{c}{,}

und weil die Platten c, d kurzgeschlossen sind, muß

\varphi_{d}=\varphi_{c}

sein; daraus ergibt sich

\varphi_{d}-\varphi_{a}=-\frac{v}{2c}\Delta\mathfrak{B}_{y}.

Ist \gamma die Kapazität eines der beiden Kondensatoren, so wird die Ladung der Platte d gleich

-\frac{v}{2c}\gamma\Delta\mathfrak{B}_{y}{,}

und c bekommt den entgegengesetzt gleichen Betrag.

[88] Jetzt vergleichen wir diesen Vorgang mit dem umgekehrten Fall, daß der Magnet ab ruht und die Platten c, d sich mit der entgegengesetzten Geschwindigkeit bewegen. Dann müßte nach dem Relativitätsprinzip alles ganz ebenso sein, wie im ersten Falle. In der Tat findet man sofort aus dem gewöhnlichen Induktionsgesetz genau den oben angegebenen Betrag der Ladung auf der Platte d. Aber es muß jetzt diese Ladung auf d eine entgegengesetzt gleiche auf der Ebene a des ruhenden Magneten influenzieren, und Entsprechendes muß für b und c gelten. Da ein Strom nicht fließen kann (\mathfrak{C}=0), müssen in beiden Fällen, ob der Magnet sich bewegt und die Platten ruhen, oder umgekehrt, dieselben Ladungen auf dem Magneten bestehen. Wir haben uns also zu überlegen, wie es kommt, daß in dem zuerst behandelten Falle auf der Ebene a des bewegten Magneten die entgegengesetzte Ladung wie auf der Platte d auftritt; es wird dies nur möglich durch jene bei der Bewegung entstehende Polarisation \textstyle{\mathfrak{P}_{x}=-\frac{v}{c}\mathfrak{M}_{y}}. Denn man hat

\mathfrak{D}_{x}=\mathfrak{E}_{x}+\mathfrak{P}_{x}=\frac{v}{c}\mathfrak{B}_{y}-\frac{v}{c}\mathfrak{M}_{y};

da hier \mathfrak{P} in der Geschwindigkeit von der ersten Ordnung, also das Glied [\mathfrak{P}\cdot\mathfrak{w}] zu vernachlässigen ist, wird

\mathfrak{B}-\mathfrak{M}=\mathfrak{H}{,}

\mathfrak{H} aber ist Null, weil die Platte unendlich ausgedehnt angenommen wird. Daraus folgt

\mathfrak{D}_{x}=0{,}

in der bewegten Platte findet keine dielektrische Verschiebung statt, also entspricht die Ladung auf a der auf d, wie es das Relativitätsprinzip verlangt.

Die letzte Bemerkung betrifft wiederum den Umstand, daß nach dem Relativitätsprinzip die Bewegung der Erde einen Einfluß auf die elektromagnetischen Vorgänge nicht haben kann. Es ist aber von Liénard auf eine Erscheinung aufmerksam gemacht worden, wo ein solcher Einfluß, und zwar zu einem Betrage 1. Ordnung, zu erwarten sein soll; auch Poincaré hat diesen Fall in seinem Buche Electricité et Optique diskutiert. Es handelt sich um die ponderomotorische Kraft auf einen Leiter. Um diese zu bestimmen, wird man für die auf die Leitungselektronen wirkende Kraft pro Einheit der Ladung den naheliegenden Ansatz machen:

\mathfrak{E}_{1}=\mathfrak{E}+\frac{1}{c}[\mathfrak{v}\cdot\mathfrak{B}];

dann ergibt sich die durch die Erdbewegung hervorgerufene Kraft auf den Leiter in Richtung der Bewegung vom Betrage

\frac{1}{c^{2}}(\mathfrak{C}_{l}\cdot\mathfrak{E})\mathfrak{w}_{z};

[89] da (\mathfrak{C}_{l}\cdot\mathfrak{E}) die vom Leitungsstrom \mathfrak{C}_{l} entwickelte Wärme ist, ist dieser Ausdruck leicht numerisch zu berechnen (wobei sich freilich ein der Beobachtung unzugänglicher Wert ergibt).

Fragt man sich nun, wie dieses dem Relativitätsprinzip widersprechende Resultat zustande kommen kann, so sieht man, daß man in Wirklichkeit nicht die Kraft berechnet hat, welche auf die Materie des Leiters wirkt, sondern die, welche die im Innern des Leiters beweglichen Elektronen angreift. Letztere Kraft muß erst durch Kräfte, die uns im einzelnen unbekannt sind, auf die Materie übertragen werden, und das geschieht nur dann ohne Änderung der Größe, wenn für die Kräfte zwischen Materie und Elektronen Gleichheit von Wirkung und Gegenwirkung besteht. Für bewegte Körper ist aber in diesem Fall nach dem Relativitätsprinzip die Wirkung nicht gleich der Gegenwirkung, und dieser Umstand kompensiert gerade genau jene Liénardsche Kraft.




Zusammenfassend kann man sagen, daß wenig Aussicht besteht, das Relativitätsprinzip experimentell zu bestätigen; es kommen außer einigen astronomischen Beobachtungen nur die Messungen der Masse der Elektronen in Betracht. Doch darf man nicht vergessen, daß der negative Ausfall verschiedener Versuche, wie des Michelsonschen Interferenzversuches und der Experimente zur Feststellung einer durch die Erdbewegung hervorgerufenen Doppelbrechung, nur durch das Relativitätsprinzip erklärt werden konnte.


  1. Aus: Alte und neue Fragen der Physik; Vorträge, gehalten in Göttingen vom 24.—29. Okt. 1910, ausgearbeitet von M. Born (Phys. Zeitschr. 11 (1910)).
  2. Vgl., was die Bezeichnungen betrifft, Mathematische Encyklopädie V 14.
  3. Dies war eine erste Annäherung. Bei einer neuen Berechnung hat de Sitter den Wert 7,15'' gefunden (Monthly Notices of R. A. Sc. 71 (1911) S. 405).
  4. Phys. Zeitschr. 11 (1910) S. 1235.