Elektrische Kraft Hertz:225

Heinrich Hertz: Untersuchungen über die Ausbreitung der elektrischen Kraft
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13. Ueber die Grundgleichungen der Elektrodynamik.

$(9_\text{a}) \left\lbrace \begin{align} A \frac{d\mathfrak{L}}{dt}= \frac{dZ}{dy}- \frac{dY}{dz}, \\ A \frac{d\mathfrak{M}}{dt}= \frac{dX}{dz}- \frac{dZ}{dx}, \\ A \frac{d\mathfrak{N}}{dt}= \frac{dY}{dx}- \frac{dX}{yz}; \end{align} \right. \qquad (9_\text{b}) \left\lbrace \begin{align} A \frac{d\mathfrak{X}}{dt}= \frac{dM}{dz}- \frac{dN}{dy}- 4\pi A u, \\ A \frac{d\mathfrak{Y}}{dt}= \frac{dN}{dx}- \frac{dL}{dz}- 4\pi A v, \\ A \frac{d\mathfrak{Z}}{dt}= \frac{dL}{dy}- \frac{dM}{dx}- 4\pi A w \end{align} \right.$

und die elektromagnetische Energie der Volumeneinheit eines beliebigen Körpers erhält durch Einführung der Polarisationen die Gestalt:

$\frac{1}{8\pi}(\mathfrak{X}X+\mathfrak{Y}Y+\mathfrak{Z}Z) + \frac{1}{8\pi}(\mathfrak{L}L+\mathfrak{M}M+ \mathfrak{N}N).$

In diesen Aussagen kommen keine Grössen mehr vor, welche sich auf einen besonderen Körper beziehen. Die Aussage, dass diese Gleichungen für alle Punkte des unendlichen Raumes erfüllt sein müssen, umfasst alle in dies Gebiet einzureihenden Probleme, und die unendliche Mannigfaltigkeit dieser Probleme entsteht nur dadurch, dass die Constanten der linearen Relationen (9_c), (9_d), (9_e), nämlich die $\varepsilon,\ \mu,\ \lambda,\ X',\ Y',\ Z'\ \,$ in mannigfaltiger Weise Functionen des Raumes sein können, theils stätig, theils unstätig von Punkt zu Punkt sich verändernd.

10. Elektricität und Magnetismus.

     Es sei ein System ponderabeler Körper, in welchem elektromagnetische Vorgänge sich abspielen, durch den leeren Raum abgegrenzt gegen andere Systeme. Differentiiren wir die drei Gleichungen (9_b) bezw. nach x, y, z und addiren, so erhalten wir für alle Punkte des Systems die Gleichung:

$\frac{d}{dt}\left( \frac{d\mathfrak{X}}{dx}+\frac{d\mathfrak{Y}}{dy}+\frac{d\mathfrak{Z}}{dz}\right)= - 4 \pi \left( \frac{du}{dx}+ \frac{dv}{dy}+ \frac{dw}{dz}\right).$

Wir multipliciren diese Gleichung mit dem Raumelement $d\tau \,$ und integriren über den Raum bis zu einer beliebigen, das ponderabele System vollständig umschliessenden Fläche. Das Element dieser Fläche sei $d\omega, \,$ die auf $d\omega \,$ senkrechte Richtung bilde mit den Axen die Winkel $n, x,\ n, y,\ n, z. \,$ Wir erhalten, da die $u,\ v,\ w\ \,$ an der Fläche gleich Null sind:

$\frac{d}{dt} \int \left( \frac{d\mathfrak{X}}{dx}+\frac{d\mathfrak{Y}}{dy}+\frac{d\mathfrak{Z}}{dz}\right)d\tau = \frac{d}{dt} \int \left( \mathfrak{X}\cos n,x + \mathfrak{Y}\cos n,y + \mathfrak{Z}\cos n,z \right) d\omega$