Manuale Mathematicum

Kurzer Bericht von den Tabulis Sinuum, Tangentium und Secantium.

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Vorreden

Durchleuchtiger/ Hochgeborner Fürst/ E.[uer] F.[ürstlich] G.[naden] seyen meine vnderthenige dienste/ jeder zeit trewes fleisses/ gantz gehorsamlich zuvorn/ Gnediger Fürst vnd Herr. Nachdem dieses zwar geringfüge Tractätlein von den Tabulis sinuum also abgangen/ daß ich dasselbige nicht allein an nötigen orten corrigieren vnd verbessern lassen/ sondern auch mit deß autoris gutem vorwissen vnd willen/ zum andern mahl auffgelegt: Vnd dann der besondere hochlöbliche vnd rühmliche Lust/ Liebe/ auch bereits mit besonderm fleiß erlangte wissenschafft Mathematischer Kunst/ auffreiss: vnd in grundlegungen [8] der Vestungen vnd wehrhaffter Gebäw/ Schantzen vnd anderer darzu gehöriger nothwendigen Kriegsrüstungen/ sampt daran hangender Geometrischen Feld: vnd anderer abmessung/ ihrer ersprießlichen Vbung vnnd verstendigen Gebrauchs/ zu dern E.F.G. gantz geneigt/ auch darinnen bereits wol geübt vnd begründet/ mich bewegt/ solches kleine Büchlein oder Tabulas sinuum, deren verstand/ rechter gebrauch vnd nutzbarkeiten / wie nemblich alle winckel vnnd Ecken aller vorfallender Figuren/ sonderlich aber der Lehr von Triangeln/ die allein das Meisterstuck in solchen Mathematischen wercken ist/ zu suchen/ zu finden/ der linien proportz/ lenge/ deren inhalt vnd deßgleichen/ eigentlich vnd gewiß zuerforschen/ zuerlangen vnd zu resolviren: Darbeneben von den Quadrat: vnd CubicTafeln/ wie darauß so wol der flachen vierungen/ als gevierten [9] Corporum die Wurzel vortheilhafftig außzuziehen/ welches dann/ neben andern vielen nutzbarkeiten/ auch maßstäbe zum geschütz vnd visierruhten zu machen dienstlich/ E.F.Gn. hiermit widerumb vnterthenig zu dediciren/ vnd vnter derselben gnedigem patrocinio Schutz vnd Schirm außgehen zu lassen.

   Als ist hiermit mein gantz vntertheniges bitten/ E.F.Gn. geruhen solches geringe Werklin/ als die es zu ihrem vorhaben vnd hochrühmlich tragenden lust aller Mathematischen/ Mechanischen und Militarischen sachen vnd künsten sehr beguem vnd fruchtbarlich befinden werden/ auß angeborner Fürstlicher güte vnd gnaden in ihr Fürstlich patrocinium auff- vnd anzunehmen/ ihr belieben vnd wol gefallen zulassen/ vnd mein gnediger Fürst vnnd Herr zu sein vnnd zu bleiben. Das vmb E.F.Gn. vntertheniges gehorsambs zu beschulden/ will [10] ich mir/ auff alle zutragende gelegenheit meines vermögens/ trewes fleisses lassen angelegen sein. E. Fürstl. Gn. hiermit Göttlicher Allmacht/ zu beständiger guter Leibsgesundheit vnd aller glücklichen Wolfart trewlich/ derselben aber zu beharrlichen Gnaden/ mich gehorsamlich befehlend. Datum Straßburg den 8. Martii/ Anno 1619

Freundlicher lieber Leser. Vor sieben Jahren habe ich auff begeren einen geringfügigen bericht von den tabulis sinuum etc. vnd derselben gebrauch / in Teutscher sprach verfertigt / welcher nach dem er gleich ersten Jahrs abgangen / auch seithero vielfältige nachfrag drumben beschehen / bin ich instendig ermahnt worden / solchen andern mahls verbesserter in Truck kommen zulassen. Ob wolen aber nunmehr dergleichen sachen meiner Profeßion nicht seind^[1] / als von denen ich etlich Jahr hero mich abgethan: mich darneben auch billich dieses hett abschrecken sollen / daß es bey voriger edition an Zoilis^[2] nicht gemanglet: Jedoch hab ich solche mühe auff mich zunemmen / mich entlich bereden lassen / vnd den bericht an etlich wenig orten verbessert: insonderheit aber die tabulas auff einen grössern radium, vnd solcher gestalt verfertigt / das verhoffentlich nicht ein einziger fähler darinnen zu finden sein / vnd also Herr Crüger von Dantzig^[3] nicht mehr vrsach haben wirdt / mir meine errata (die ich zwar selbsten redlich angezeigt / da hergegen andere ihre Bücher bey ehren zubehalten / solche verschweigen) also fleißig nachzuzehlen/ vnd in offenem truck vorzuwerffen: da er doch selbst in seinen Taflen derselben nicht wenig begangen / vnangesehen er vermeint/ er sey der witzigen Gänse eine / deren nie kein Ey entfallen. In massen dann neben denen vielen erratis / so durch seinen amanuensem^[4] corrigirt worden / noch volgende / vnd so man fleißig suchen wolt / vielleicht noch mehr zufinden / die er auß dieser meiner edition / so es ihme beliebt/ corrigiren kan. Alls vnder den sinibus 10°.12'. 59°.40'. 63°.21'. 86°.9'. Item under den Tangenten 11°.54'. 52°.33'. 54°.17'.68° [12] 17'.68°.18'.81°.16'. vnd vnder den Secanten 11°.31'. 11°.32'. 12°.33'. 38°.8'. 45°.4'. 74°.43'. 75°.27'. 76°.52'. 81°.16'. 81°.19'. 84°27' etc. darinnen auch dieses zumercken / das er mir in secante 89°.27' ein erratum vorwirfft/ da doch nicht ich / sondern er selbst geirret. Was Herr Crüger ferners meldet / es seyen keine demonstrationes bey meinem vnderricht / seind dieselben auß der vrsach aussen gelassen / dieweil solcher bericht nicht für seines gleichen Hochgelehrte Leut / sondern allein dem gemeinen / der lateinischen sprach vnernfahrnen Mann zu gutem gestelt worden. Vnd gleich wie in der Arithmetick / deren ebnermassen sehr viel ohne demonstration in Teutscher sprach außgangen / dem gemeinen Mann gnug ist / das er wisse/ zum Exempel/ man soll in der Regel Detri^[5] das mitlere vnd letzte mit einander multiplcirn / etc. ob er schon nicht weiß / warumb solches geschehe: Also auch ist es meines bedunckens gnug/ das ein solcher wisse/ es stehen die seiten deß Triangels in solcher Proportion gegen einander / wie die sinus deren einer jeden gegenüberstehenden wincklen /etc ob er es schon nicht demonstrirn kan. Im übrigen will ich Herr Crügers werck nicht veracht haben: halte dasselb hoch / vnd pflegs auch andern zu commendirn. Bitte allein / er wolle meiner hinfüro schonen / vnd thue dem freundlichen Leser mich zu gunsten befehlen.

Kurzer Bericht von den Tabulis Sinuum, Tangentium und Secantium.

Vnder allen flachen Figuren ist der Triangel die erst vnd vornembste/ als in welche all andere mehrseitige flechen resolvirt werden / vnd darauß entspringen. Dannenhero die lehr von den Trianglen vnd ihrer dimension wol für den kern der Gometrei zuhalten / ohn welche weder die vbrigen theil der Geometrei/ noch andere von derselben herührende Künste/ als Geodaesia, Optica, Dioptrica, Meteoroscopica, Gnomonica, Geographia, Astronomia, Musica, etc. gründtlich erlernt werden mögen.

Es beruhet aber die dimension der Triangel auff dreyen stucken. Dann in denselben entweder die seiten / oder winckel/ oder fleche gemessen werden.

Die abmessung der flteche betreffend/ weil sie auch mit andern Figuren gemein/ vnd dem Triangel nicht eigenthumblich zugehöret/ sondern von den quadrangulis entlehnet wirdt/ wie auß der 41. vnd 42. propostion deß ersten Buchs Euclidis zusehen: wirdt allhie außgelassen/ vnd allein gelehrt wie die seiten vnd winckel deß Triangels zumessen seyen: welches dann geschicht durch die Regel Detri, die da lehrt/ wie man von vieren vntereinander proportionirten zahlen/ so die drey bekandt/ die vierdt vnbekandte soll erforschen: deren fundament ist in der 16. Prop. deß 6. Buchs Euclidis. [14] Dahero vonnöten / das die winckel vnd seiten/ als theil deß Triangels /in gewisser proportion gegen einander stehn / vnd mit einer bekandten zahl mnssen außgepprochen werden können.

Solche proportion aber (weil aller winckel mensur ein Circkeltruin (?) oder krmme lini ist / so auß dem spitzen deß winckels / als als Centro / gerissen wirdt zwischen beyden linien / so den winckel einschliessen : vnd man aber bißhero kein gewisse proportion der krummen linien gegen den geraden erfunden hat / auch vielleicht nimmer finden wirdt) kan man nicht wissen / es sey dann / das an statt gemelter krummen linien / als mensurn deß winckels / andere gerade zu dem Circkel applicieret / vnd deren grösse / so sie gegen dem halben Diameter desselben Circkels haben / gegeben werde. Solche gerade linien nun / die zu dem Circkel appliciert / vnd an statt der krummen masse deß winckels genomen werden, seind nichts anders / als die also genante Sinus, Tangentes vnd Secantes, von welchen in folgender kürzen instruction dergestalt soll gehandelt werden. Erstlich sollen die termini vnd wörter / so in dieser lehr gebreuchlich / beschrieben vnd erklaret: Zum andern / wie man die tabulas Sinuum etc. gebrauchen / vnd darinn nachschlagen soll / gewiesen: Endtlich gelehret werden / wie man alle vnd jede vorgebene Triangel auß gemelten tabulis sovirn, vnd ihre so wol seiten als winckel erforschen soll.

1. Ein iede Circumferentia, Cirkelrunder riß / oder Circkellini wirdt getheilt in 360. gleiche theil / so man gradus mennet: vnd 1. gradus wirdt widerumb in 6o. scrupula prima oder erste minuten: 1 scrupulum primum 6o. scrupula secunda oder andere minuten: 1. scrupulum secundum in 60. scrupula tertia oder dritte minuten / vnd also fort / einetheilt: wiewol man in gemeinem gebrauch nicht so genaw sucht / vnd gemeiniglich bey ersten / oder aufs höchst andern minuten bewenden lasset: Deren Logistische bezeichnuß ist/ das man ob den graden ein nulla / ob den ersten minuten ein ablang strichel / ob den andern mmuten zwey solche strichel vnd also fortan setzet. Zum Exempel / 16 grad / 23. erste mkinuten / 7. anderte/ 51. dritte / werden also geschrieben: 16° .23' .7 .5'.

2. Arcus, ein Bogen / ein Cirkeldrumm / wirdt genennet ein stuck oder theil der circumferenz: dergleichen vielerley / vnder welchen aber der Semicirculus vnd Quadrans die vornembsten seind.

3. Semicirculus wirdt genennet die halbe circumferenz, 18o grad in sich haltend. Als da ist GEC. in nachfolgender Figur.

4. Ein Quadrant ist der vierdte theil der circumferenz / 90. grad begreifend. Als FBC oder FIG.

5. Complementum ein ergenzung oder erfüllung / ist der jenige arcus, so dem vorhabende arcui, noch abgeht /

das er nicht gar ein Semicirculus, oder ein Quadrant seye. Ist also das complementum zweyerley. 1. Dann wann der auffgebene oder vorhabende arcus kleiner ist / als 90. grad / oder ein quadrant, so wirdt sein complementum genennet das jenige circkeltrumm / so ihme an 90. graden noch fehlet. Als deß arcus AC 50°. complementum ist der arcus FB. 40°. Vnd hergegen deß arcus FB. 40°. complementum vnd abgang an einem quadranten ist der arcus BC. 50°.

2. Wann aber der vorhabende arcus grösser ist / als ein quadrant, so wirdt der jenige arcus, welcher ihme an dem Semicirculo oder an 180 graden noch abgehet / sein complementum genennet. Als in diser figur / deß arcus CBFI. 130° complementum ist der arcus IG. 50°. Wirdt also das erste complementum erkündigt / so man den vorgebenen arcum von 90°. das andere aber / so man jhn von 180°. abziehet. Als wann 36°. 12' von 90° subtrahirt werden / bleiben 53°48'. welches ist sein complementum vnd abgang vom quadranten. Item wann man 121°.17'51 von 180°. abziehet / bleibt sein complementum vnd abgang vom Semicirculo, 58°.42'.9.

6. Ob ein vorhabender winckel rectus, acutus oder obtusus,

vnd wie groß er sey / wirdt erkandt /wann man deß Circkels einen fuß aufs die spitz, deß winckels setzet: vnd mit dem andern beweglichen fuß ohngeserd auß einander gestreckt/ einen arcum oder Circkltrumm / zwischen den zweyen zusammenlauffenden linien reisset / vnd sihet / wie viel grad derselbe arcus halte von dem ganzen Circkelriß. Dann so bemeltes Circkeltrumm ein quadrant oder viertel der ganzen Circkellini ist / so ist dervorhabende winckel ein angulus rectus, oder ein rechter Winckelhack. So aber gedachtes Circkeltrumm kleiner ist / als ein quadrant, so wirdt solcher winckel angulus acutus, ein enger oder spitziger winckel genennit. Wo entlich das Circkeltrumm grösser sein wirdt als. ein quadraut, so ists angulus obtusus,ein weiter oder stumpfer winckel. Daher zusehen / das alle anguli recti einerley / vnd allezeit von 90. grad: die acuti vnd obtusi aber vielerley seyen / vnd mehr oder weniger grad offenstehn. Als AEB. ist ein rechter winckel / dann sein mensur der arcus AB. ist ein viertel deß Circkels / wann er gant. außgerissen were. Item DEC. ist stitziger winckel dessen grösse allhie ist 36°. wie der arcus DC. anßweist. Vnd CEA. ist ein stumpffer winckel / 144°. eröffnet: dann so groß ist allhie sein mensur /der arcus CBA.

7. Die winckel haben auch ihre complementa, nicht anders als droben von den arcubus gemeldet worden. Alls in nechster Figur / deß spirzigen winckels CED. 36°.

complementum vnd abgang vom quadranten ist der winckel CEB. 54°. Item deß stumpffen winckels AEC. 144°. complementum vnd abgang vom halben circkel / ist der winckel CED. 36°.

8. Chorda ein saiten/ ein sennen/ ist ein gerade lini / so in einem Circkelrunden riß mit beyden orten aurüret / vnd den gantzen circkel in zwey segmenta oder stuck theilet / welche sie beyde subtendirt. Daher sie sonsten subtensa das ist ein vnderzogene lini: Item inscripta, ein lini in den circkel gerissen / genennet wirdt. Die gröste chorda eines jeden Circkels ist sein diameter, mittelriß / oder durchzug durch das centrum oder mittel prunct lauffen / so den Circkel in zwey gleiche segmenta memblich in zwen semicirculos theilet. Als in dieser Figur ist/ GC. oder FH. Durch die andern chordas aber alle wir der Circkel in zwey vngleiche segmenta getheilet / deren eins grösser / das ander kleiner ist/ als ein semicirculus. Als die chorda IB. subtendirt auff der einen seiten den kleinern arcum IFB. auff der andern den grössern IHB

9. Sinus ist ein gewisser theil von der chorda dessen seind etliche arten / welchen diese beschreibiing allen gemein ist. Als [19] 10. Sinus rectus, ein rechter sinus, ist der halbe theil von der choda deß gedoppelten arcûs. Als in nechster figur der sinus rectus deß arcus BC. 50°. ist die linea BE. Dann gemelter arcus BG. gedoppelt / ist der arcus BCD. dessen Chorda oder vndergezogene lini ist BED. deren halber theil ist BE. welcher halbe theil dann / wie gemelt/der sinus rectus deß vorhabenden arcus BC. ist. Oder / noch deutlicher zusagen / sinus rectus ist ein perpendiculris linea, das ist ein waglini / so wagrecht / winckelrecht oder bleyrecht von dem einen ende deß varhabende arcûs herab fallt auff den diameter / so ausß dem andern ende desselben arcûs gezögen wirdt. Als in verigem Erempel der linus BE. fallt wagrecht auff den diameter GC. Das fundament diser beschreibring steckt in der 3. prop. deß 3. Buchs Enclidis.

11. Sinus versus, einverkerter sinus, ist ein segmentum oder stuck deß diameters / zwischen dem sinu recto vnd der circumferentz eingeschlossen. Als / sinus versus deß arcus BC. ist EC wirdt sonsten sagitta oder ein pfeil genennet / deme er sich der figur nach vergleicht.

12. Sinus complementi ist derjenige sinus rectus, welcher gebürt dem complemeto deß vorhabenden arcûs. Als BK. ist deß auffgebenen arcûs BC. sinus complementi. Dann arcus BF ist das complementum deß arcûs Bc. wie droben in der 5. definitioi zusehen: welchem complemento gebürt gedachter sinus rectus BK. Hiebey ist wol zumercken / das der sinus complementi allezeit gleich seye dem segmento oder stuck deß diameters / welches da ist zwischen dem centro vnd sinu recto [20] deß vorhabenden arcûs. Als / sinus rectus deß complementi BF. nemblich die lini BK. ist in gleicher grösse mit der linien EA. wie auß der 34. proposttion deß 1. Buchs Euclidis zusehen. Dernwegen eines für das ander gebraucht wirdt / wie hernach im drittem theil offt wirdt vorkommen.

13. Sinus totus, vel maximus, der ganze oder gröste sinus, ist der sinus eines quadranten, vnd ist allezeit der halbe diameter. Als FA. ist der sinus deß quadranten FBC. Dieser wirdt sonsten Radius genennet / Metaphorischer weiß. Dann gleich wie radius, das ist/ein Speiche deß Rads / auß der Nab in die Felge geht: also wirdt sinus totus auß dem mittelpunct biß zu der circumferemz gezogen.

Es wirdt aber der Radius,als der Hauptsinus / in etlich gewisse gleiche theil abgetheilet / vnd eben in solchen theilen auch die andern siuus, tangentes vnd secantes begeben. Als in vnserer Tafel wirdt der radius genommen von 10000000 theilen : vnd eben in dergleichen Partickeln die vbrigen zum Circkel applicirte linien angezeigt. Nicht ohn ist / weil fast alle sinus, tangentes vnd secantes gegen dem radio irrational seind (dessen vrsach Ramus^[6] elem. 8. lib 12. seiner Geometrei anzeigt) das man sie nimmermehr alle exactè geben kan: aber doch kan man sie so weit haben / das an allen vnd jeden zahlen in der Tafel gesetzt / auch nicht 1/10000000 deren theilen / die der radius hat / manglen thut / welches dann kleinen mercklichen irrthumb bringen kan.

14. Tangens, ein berührende lini/ ist die jenige /so

perpendiculariter vnnd bleyrecht aufgerichtet ist an dem ende deß diameters bey dem einen ort deß vorhabenden arcûs, vnd geht biß zu der secante, welche auß dem centro durch das ander ort desselben arcûs gezogen ist. Als LC. ist die Tangens deß arcûs BC. wirdt darumb also genennet / weil sie die circumferent, nur berühret / vnd nicht durchschneidet. Von andern wirdt sie geheissen Prosinus, vorsinus / dieweil sie von den sinu steht/ vnnd gegen demselben parallel das ist / in gleicher weit stehent: Item Adsctipta, ein hinzu gerissene lini: weil sie an/ vnd nicht durch die circumferenz gezogen wirdt. Die tabula tangentium wirdt sonsten tabula Adsctiptarum. Item tabula Faecunda genennet.

15. Secans, ein schneidende lini / ist die / so auß dem centro vberzwerch durch das eine ort deß vorgebenen arcûs hinauß biß zu der Tangente gezogen wirdt. Als AL. ist die Secans deß arcûs BC. Diese wirdt von andern genennet hypoteusa ,oder subtendens, weil sie einen rechten winnckel (als hie LCA.) subtendiret ,vnd gegen demselben vber stehet: Item Transinousa , ein lini / so vberort / vber den sinum rectum gezogen wirdt. Die Tafel der secantium wirdt sonsten genennet tabula hypotenusarum, Item tabula benefica.

Es seind die sinus, tangentes vnd secantes in folgenden Tafeln nit weiters / alsa uff einen quadranten oder 90. grad verzeichnet/ auß vrsach / weil die arcus, so grösser seind als ein quadrant, gleiche sinus haben mit den kleinern. Als die lini BE.ist sowol sinus deß gröstern arcûs BFIG. als deß kleineren BC. So können gemelte grössern arcus ganz keine Tangentes vnnd secantes haben / wie auß obgesetzter 14. vnd 15. definition abzunemen.

Diser Tafeln nun sich recht zu gebrauchen / ist vonnöten /das vorher ihr disposition vnd structur wol verstanden werde: die ist also beschaffen.

Zur lincken seiten der Taffen finden sich die sinus, tangentes, vnd secantes der ienigen graden / so vnter einem halben quadranten, das ist / von 1°. biß 45°. begriffen: zur rechten seit aber die jenigen so drüber / vnd von 45°. biß 90°. ansteigen / dergestalt / das zur lincken [23] hand die grad zu öberst mit etwas grössern ziffern / vnd nebens abwerz jhre erste minuten mit kleinen ziffern: bey der Rechten hand aber die grad zu vnderst / auch mit gössern ziffern vnd dann auffwertz die ersten minuten mit kleinern ziffern gesetzt werden: Vnd solches darumb / damit / es werde was da woll für ein arcus angegeben / man gleich darneben auff der andern seit sein complement. vnd demselben gehörigen sinum, tangentem vnd secantem haben möge.

Es besteht aber der gebrauch dieser Taflen auff zweyen stucken: das nemblich entweder eines jeden vorgegebenen arcus, so kleiner / als ein semicirculus ist / gebürender sinus tangens, secans: oder aber hingegen / eines jeden vorgebenen sinus, tangentis, secantis gebürender arcus daraust genommen werde: wie solches auß folgenden Reglen weiters zu vernemmen: in welchen / was von dem sinu gesagt wirdt / alles ebemmessig von der tangente vnd secante zu verstehen ist.

Ist der vorhabende arcus vnter 45°. so wirdt zur lincken: wo darüber / zur rechten hand gesucht. Zum Exempel der arcus sey 32°. 17' dessen sinum zusuchen / nimm die 32°. oben zur lincken: vnd in derselbe zeilen [24] abwerz die 17' fahr alsdann vberzwerch gegen der rechten / so wirstu den begerten sinum 5341064. finden.

Item es sey der vorhabende arcus 62°. 26'. Nim die 62° vnten zur rechten hand / vnd in derselben zeil auffwerz die 26'. fahre von den minuten vberzwerch gegen der rechten hand / so wirstu finden den begerten sinum 8864730.

Hiebey ist zu mercken / wann nur gradus vnd keine minuten darbey geben werden / so muß man nemen den vorhergehenden grad vnd 60'. Als der sinus für 27°. wirdt gesucht vnter 26°.60'. vnd ist 4539905.

Doch ist diß zuverstehn nur von den jenigen graden / die oben auff zur lincken stehn / vnd vnter dem halben quadranten 45°. seind. Die andern grad aber vber 45°. so vnten zur rechten stehn / werden völlig genommen. Als der sinus 76°. wirdt gesucht vnter 76°.0'. vnd ist 9702957.

Die Taflen seind allein auff grad vnd erste minuten gericht: so aber auch anderte minuten vorkommen / muß pars proportionalis gesucht / vnd zu dem sinu deß nechst kleinern arcûs addirt werden / wie solchs auß dem exempel deutlich zuverstehn.

Es seye der sinus deß arcûs 16°.38´.20´´. zusuchen. Erstlich nim den sinum deß nechst kleinern arcûs 16°. [25] 38'. nemblich 289458. deßgleichen nim den volgeden sinum deß nechst grösseren arcûs 16°.39' nemblieh 2865245. subtrahir jenen sinum von diesem/ restirt die differentz oder vnderscheid beeder sinuum 2787. Procedir ferners also nach der Regel Detri, vnd sage : die differentz beeder arcuum, 16°.38' vnd 16°.39' nemblich 60 (oder 1') gibt mir die differentz ihrer sinuum 2787 was werden mir geben 20

kommen mir 292 welches wirdt genennt pars prportionalis, das ist / ein proportionirter theil / weil er gegen 20. eben in der proportion steht / wie 27. gegen 60. Diese 292 nun müssten zu dem gefundenen kleinern sinu, als 2862458. addirt werden: so ist die Summa 2863387. als der eigentliche sinus deß vorhabenden arcûs 16°.38'.20.

Als complementum eines arcûs kan zwar (wie droben in der 5. definition gemeldet worden) durch subtraction von. 90° in den Taflen aber viel leichter / vnd stracks darneben auch sein sinus gefunden werden. [26] r^ Bericht von den Es seye der vorhabende arcus 41 . 52^. den stiche ziir llincken/vndvonden 5.^. fahre gegenüber vrider die mi-nriten ziir rechten/ da stndestir viid gleich darriiider .4-^. Jstalsodas complementum 4- dessen sinu-^446^. wirdt gesucht a.lermaff.n/wie droben in der ersten Regel gelehrt worden Jtem es werde gegeben der arcus ^..i^ defferil complemeiit zu dachen/ so fahre voii den 4^. zur rech,, teii/ stracks gegen ober ziir lincken/ da stehen 2^. viid oben 1^ . Jst also sein complementum t^ . 2o .desten linus 2^ ^3c,3. 4. ^^^trahi re d.n linuin complenienti von dein ^.-^l^adio od^r halben Diametro : det rest ist linu-versus ^ils iiider Figur d^ benam 1c,. Blat deß arciis B^.5^ .linum versum i-.C zu suchen/ so subtrahiere densinumcomplementi4.^.l^ ^dasist/AE. .Dm diese 2. linien einander gleich/wie drüben in der i-. dest-nition gemeldet rvorden ^ nemblich 642^-^ .^on dem ^adio --..-oo-,-.-,. so bleibt sinus versu- E C^ .^2124. ^ ^ege^ ll-nus re-.li^u erkundigen., ^. Er iinus wirdt in der Tasel aesiicht / vnd gleich ^ darneben ziir rechten oder lincken der ihm respon-dierende arcu.. in graden vnd minuten genommenes der d et ii ii b a^ vi n ol n g^ d^ n n l^ v d ii n v el [27] der linus 3^4t4^.in der Tafel gefucht/ gibt mir zur lm-ckeii den arcum -3^. -s. Jtem der sinus ^11283^. gibt nur ziir rechten/ den arcnm65 ^ . 4s. ,^b maii aberzirrlirickeii oder rechten hand fuchen soll/ wirdt dararrß abgenommen. Jst der vorhabende lmus kleiner als ^1c.6-. ^welches ist der linus deß hal-beii Quadranten ..r 5^ so sticht maii rhii sambt semein arcu ziir liiicken : wo grösser/ ziir rechten hand. ....ilsoauch wann die tangens kleiner/als r.-c...-..-,.::.-^ Jtem die secans kleiner ist als i4i421^6. st^ wenden ste^-vnd die ihnen reponierende arcus , ,znr lincken^ ^ gröffer/ziir rechten genommen. ^i.zann dervorhabende stnus nit eben gar eigentllel^ iri deii Tasten steht/ sonimbt man deß nechst kleinern oder riechst gröisern seineii arcum. Darin ob wol solche^ nit eben praecise der rechte arcus ist/fahlet er doch nie garvmbeiri erste minut/welches kein mercklichen n^ thumbverrirsacheri kan. ^ls^6-2.ist ..tvar nit eben, genawviider den snibus zristnden:derwegenderarcu-deß riechst kleinern sinus ^--^5-4.nemblich 45 ^ nemeri ist. ^arin man aber ie gar genaw arich mit anderten miniitenden atcum srrchen wolte/st^ wirdt widerumb ^ars proportional^ gesrrcht/vnd damit proeedirt/wie volgendesErempel arrßweiset.Der linu^, seye.i8634l^. dessen arcus zirsiichenist.^eil man aber solchen stnum nit pr.- cise stndet/ se, nltn^t nt^n ^n ne,^ klemern vn sechst gröstern/nemblich 2-6245-. vnd --65245. iener von diesem subtrahnt/ gibt ^ee^ere differenr^-^.wel-^ hernach in der Regel Deui. vornen geserit wirdt. [28] .re- Berichtvonden Darnach sribtrahirt man auch de nechstkleinernstnum 2-6245.^ von dem vorhabenden 286^4--,. ist die drffe^ reni^ tr-.:--:. welche in derRegel zu letzt gesetzt wirdt Jn derinrttenaber stehenallezeit 6.:^. Loders ^alsnemblrch die differeritzbeeder arcuum, so dem riechst gröffernvnd nechst kleinern linui gebüren. ^irdt derhalben als-: corieliidirt 2^. geben 6:^. derhalberi werden i^.. ge^ -.en22^. welches ist pars proportional^. ..:/^^---^o^.-.....-..--ro.:-,

. -

.-.^.-/.t -:.-^. .-^ Diese --^ addiere man zndemarcu, der dem nechst kleinerristnui2-6-45-.^esvondiret/nemblii^.z,ii r6 werden 16 . 38^. welches ist der eigentliche arcu-demvorgebenen l-nnil .---^..l-o. gehorig. ^l^^-l-,--iS ^^-^^^^^ sinus ^.-rli ^n ernennen., ^^Bbtrahrre densinum Dersum vom radio:derrest ^ ist linus complementi. Dise.^complementisein i-rcus ist der begerte. ^lls wann gefragt würde/ 35^2124. EC. sinus versus, i^ besthe die Frgrir arn 1.^. blat^wassür einen arcum er habe/ ziehe ihn ab vom l^.adio AC. -e^oc.-..^. bleibt 64-//-^ AE. oder .B.^ smus deß com.ple-

-e..mplememi EB.4^. Dieseseomplements.l°B..-^ ^-isist BC.5o°.sodem arrstgebenensnui^ersorespotr-diret. ^ ^l^Ol^ ge^enen ar.-u- ^nflnden^ Der auffgebene arcus ist entweder kleiiier als eln ^^halberrirckeli^.odergröffer. Jst erll..iner/so .halbiere ihn/iiiin aiiß der Tafel den imum re^um dises halben theils/den dupliere/ sohastn die chorda.m de^ ganizen arcüs. Elises wirdt begert/die choidamdeßbogens BCD. 1^-, . zu stnden in, solchen theilen/der-gleichen der radius 1-,--^c.o.hat Der halbe theil dieses bo-gens ist B C. 5c.^ ^ deffen sinus rectum B E. 766-444. ge-doppelt/gibt die lini BED. 1532.^88-. welche ist die chor^ dadeßbogesBCD. ^m sall aber der vorgebene arcus gröffer were/ ali.e der halbe eirckel18^. sosubtrahirihn von dem ganzen eirckel 36e.i° . deß rests chordam stich a.llermas^ m/ wie ^en gelehrt. ^ls eswirdt begert ^ besthe die vorhabende '^ ^ia^

sigur ) die cn0rda de^ grössern bogens B C D. 260^. den subtrahier von ^60^ . bleibt der kleinere bogen BCD.. 100^. dessen obgesundene c^0rda BED 1532^888. ist aiich die cl^0rda deß grössern vorgebenen bogen^ B ^ D. wiedrobenauß der8. definiiion zusehen. ^^^^ ^oracaebenen C^r^ ^nd^ ^^Ieoperation kan außvoriger^egel/vn^ ^^..^ dem Erenipelerl^.rnt werden. E^wirdt gefragt^ was die vorgebene c^rda BED^ 1532^. sin einen bogen subten^iere^ Ihr halber theil ist E. 7660 ^44^ die- ser nach der 5. Re^ gel in den tabulis l^nuu gesucht/gibt den bogen B C 50^ welcher gedoppelt/ gibt den gesuchten arcum B CD 100^. so anders außge- dingt werden/ das der arcus solle kleiner sein/alsein semicirculus:solteer aber grösser sein/ so subtrahiere gemelte 100^ von 3^ ieest.^60^ . welchsist der grössere begebe arcus I^CD. [31] ^ee dritte ^eii ^ ^eeie.ht^ wil. durch hil^fnachvolgender ..^en dic^riaitgelziisolviren^ vnd dann von der resolution jeder triangel in-^s^iderheitgehandlet p^sitionde^ 1. ^uchs^uCndi^ wolinacht genommen werden/al^ welche in ^^^^ met. Darinnen ^ir^tgel^hret/ das in einein jeglichen triang^ die drey Buckel zugleich/sie seyen wie sie wollen/ allezeit zwen R.chte ^mckel/ ^ ist ^0. grad e^ ^in demtrian^ gel ABC. wann t^er wmckel A. 41^. 10. J.temderwmckelB.. ^ i08^ . ^. vnd C. ^ 48' zusammen abbirt wci.dcn/so inachen ste get.^d 1^ . oder .^ven augul0s re.^0s. ^nd ulso in allen ^endetn triangleu. .^arauß folget bauii/ 1. in euicut ieden triaiigel nicht iiiehr/ ^lseli. einiger Rechter/ oder ^uich stundet wmcke^ s^.. ^n. 2. ..^er dritte wiuckel ist allezeit der ..iudei.n ^..e^ei.i jhr cc.m^lemei^m oder abgaiig voin s^icircul.^ ^.unneuhero/ w..nn m einen. t1.i..ngel dle ^.se . winckcl bekaudtist/intin daraiißal^id .eucl. deß delt.. ten vubckaubten wmckels gt^se ersten ^in/durch subtraction von 1.^0°. [32] Als der winckel C.ist der an- ^ dern zweien A vnd C..^0m^ ^ mentzun^sel^icircu^0. ^nd ^ alsowann A.60^. vnd ^4^. bekandt/ C. aber vnbekandtwere: so addier jehnezw^n.-werden 144^ .Diese stimm subtrahir vom lemicircul0 ^0 . bleiben 36 . welches ist die grosse deß gesuchten winckels C. 3. Iii einem re^angul0 oder winckelrechten trian- gel ist allezeit der eine spitzwinckel deß andern comple- ment vnd abgang ziim qiiadranten : viid ^an derwegen/ so dereiiiespitzwii^ckelbekan^^ durchab^iehnng dessen v^n . aiich deraiidere bekandt werden^ A ls ^n dem triange lABCam 24.blat/wan de^ acit.. tu^ ^ 5^ .bekandt/vn von ^ . abgezoge wirdt/bleibe sein c ^ vl^ment5^. ^. welche^ i^ der andere a0u^us B.^ .^ut min zur Hat^tsache geschrittenwerde/i^ zu wissen/ das in einem ^edentri^gel sechs dmgßyen/ ^eii ^li ch dreys.iten/vnd drey winckel: aiiß welchen ^ ^cken/sodrey bekandt/ könnenal^eitaiich dievbrigen ^. ch vnbekandte drey diirch anleitiing nachvolgendev R^len^rkiindig^ gen casu^ ^o n^r die dre^ win^l ^and^ we.^ ^a.^ ^aransi kein seite kan forscht werden: sintemal dre.^ winckel eines triangi.ls dreyen wincklc.n eine^ ande.^ eriangels gantz gleich sein können.. da doch beede^. se^t- ^A teii einander ganl^ vngl^ich^ .^^^ ^ Al.^beede triangel AB E vnd ^ ^ ^ ACD. sein.^/was diewinckck ^ ^ l ^^ali^ngt/alle^dings gleich(wie [33] ^ißdcr29 vrovosition deß 1. ^iichs ^uclidis l^is hen) dic sciten aber betreffent/ vngleich i vnd a so diese etul^ .ichucnnit.u erfahren. Mandern casibusabera.lcn/wiegeinel^^/t.uiin^ t.nß dreien vorgebeiien oder bckaudten ^.cke.^.i^r.. drcr. vnbekandte/ als aiiß 3wei^n wmcklen vnt ..l...r sctt/dcn dritten winckel vno vdrige ^..oo seit tn . oder^l.i ^wcycn seiten vnd einem winck.l.. die dritte seit .....d au.. .dcrczwcn winckel. oder aiiß alten drei. seueu ^i.. d...... winckel dirrch dre Regel ^eeri .vnd diese ^n ..^ ren/un maßen anßvolgenbenReglcuvnd^^^. ' ^rempleit ^uverneminen. 1 . .^egel. Wann in eineni t.rl.^l^ 1^^...... oderwinckelreehtein triangel./ die z^.oen wiuckel^viival oauch der dritte/als der iel.uer .n.elen eomplementist)msainbteinerseiteubc^ndtseln^ . wic man daraiiß die vbrigen .avo vnbe.. kandt.e seiten erfahren solle. ^'..^Ach dem .woa.etender triangel s.uid/Al^ 1. ^ ..c...... ^ ...ngirlum. so einen rechteu/vnd zweii s.^ii.wmckell l)at: 2. ^l.nli.e..u....^..lum , .von stimmen wincklen/ darinnen ent.ve.^c ein winckel e^tirsu.. oder stumpf/ dic andern zwen ^.nn ^.d s^ie . oder ^ ..^ d...^ spitzig leir.d i ist vuter .leiten die erste . u.. .eu.. vorucnib^ei.. vnd gebr^ich^ Da^rva^chre^^ilun.^.1... l.^ ^tl^... einreistet der ^atheistischen ^uitste gcueuiiet wicdt. [34] Dessen resl^ition ist vmb so viel desto leichtere anderer triangel/ dieweil darinnen ein ^ede vn^r den dreien seiten/ für den Radium oder smu..^ t^rtnn ge- nommen/ vnd also ein einiger triangel auffdreyerle^ artsi^lvirt werden kan. Als der einige triangel ABC. w^rdt auffdreyerl^ weiß zii dem ^irckelappl^iert^ Dann erstl^chwirdi die ^ tent^a^ lst/die luu/fo vber ^ ort geht/ vnd vber den rechten ^ wu^^el gestreckt ist) neulich ^ die lini AB. sur den .^a^i^m ... ^ gen^ mmen : vnd seind alsdann die andern zwo leiten/ so ^en .rechten wiiickel C. einschlössen/ die l^nus dero gegen ^hnen vberstehenden s.^winckten. ^ls BC ist l^nus deß winckels A vnd AC.istnnus deß winckels B. als da geschicht m beygesetzter ersten figur. '^um andern kan die B^ ^ das ist/die vnderst/oder grund- .lim / darauff das re^angulum sieht )nembl ich die lini AC. an .-^ statt deß Radi^ genommen wer- den. Vnd ist alsdann BC. die vndAB. die ^ecan^ deß winckels A. '^e ui der audern figur ^usehe.^ ^ ^um dritten kaii auchC^ t^etus^ ( das ist/ die gesenckte lini/ dieanssrecht oder wagrecht seiten deß winckelrechtentrian^ gels^ [35] ..^nl^sinnntn. ^ gels/ welche cinen rechten wmckelhacten mit ^ ma. chet ) itemblich die lnu B C. l^li^ sein i ^nd ist a.^ daun^C.die^ang^n^vndAB die de^win-ckels B. als erscheint an^ der driteen stgur. welches daitii aiiß der ^rsach ivol ^nmercken/ damit mau^u^erincibiiiigdcrbeschwcrllchci^wlston^l^ei^ nach beschuhen dcr ..tnffgebenen ^rag/den l^1diu^ .uauf.tug tu die Regel l^errisetzen möge. . ^ h.at .aber diese Regel ^wcn C^. .^ann neben den dreien wittckiett entweder die ln./l^inrnla . odee aber eute.auß den .weyettseiien/s.^ den rechten wiiiekel begießen/ bekaitdt/vud daraiiß dieandcrnl.wo vnbc.. taudtcu scitcn ^ucrsuchen seine. e.^ont ersten c.eln. .^m jetztgemelbtcm triangel A B C.wcrden a.sbe^ ^aufgenommen erstlich ^wm winckel/ neiublich de^ ree^.as C. so ai^en 9^. grad helt/vnd der elne a.^t.^A 36^. 52. durch deff.m ab^ichung daim von aiiei sein comvleiuent/alo derdrittewinckel B 5^ . 8.bekand^ wirdt. Zum aitderit wirdt aiich als belandt angenom mendie ln^0tenusa AB. 15 schuch i vnd begert/aul diesen datis oder bekaudten dlttgen/ die ^wo noch Vnbc kaubte fetten AC. viid CB. ^erkundigen. Welche aiiff dretnerlch weiß geschehen kan/ nach de^ triangeb obgemelter dreierlei. apviication. [36] ^er^^nden Vnd erstlich zwar die seite C B. ziierkundige/schliesset man nach der ersten application also. ^ie sich verhelt der Radius AB. 10000000. gegen BC^ 59995^9 (welches ist der sinn.^ deßwmckelsA.36^.5^.)^ ^ v^rh^t sich aiich die seit AB. 1^ schuch/ ge^.n der leiten BC. .^.schuch. ^NB. Die brnch so ^n diesen^ vnd volgenden Exem.. ^en ^rammen/werden knrtze hatten/ vnd weil sie ^-nenmerckli^en ^^thiimbbringeii/aii^el^^n ^ ^dcr nach der auderten a^ .^ication/alsot Wie sich vcrhelt dcli winckcl^ A. 36° . 52^. sein secans A B. 1 2 4 4 7 1. gegen seiner ^an.. . gente .... G. ...49^1 19. Also Per.. ^elt sich bic scltc AB 15. gcgeu der seuen B C. 9. ^dcr nach der dritten also. Wie sich verhelt AB. 666^920. ..^die secans desi n.un^ . ckels B . 53° . ^. ) gegen deni d^ B G. 1.^.0000. ^ilso .....er.. ^ltsichdieseiteAB. 15.gegcnberse.tcn BC.^.. ..^ombt also nach all brcycnartenemerlci^cit. ^s .ist aber bie erste am füglichsten/ well der i^i..^ ..... ^n.. sang in der R.gel L^etri steht / ^nd eilso l^e di^ißon schüttet wirbt/dabei. dan sonderlich auch dieser vortel/ da. [37] .^00000^0 ver.^.^^ ^tlt .^ecansBA 16^6^2^ gege .^em ooer ^ D. RadiAC 10000000 Tangen^ te AC. ^33^49^0. ^llsover- helt sich die seite BA. 15. schuch / gegender seite AC. 12. schu.. ^as man zii vcrmeidiing der bruch/ ohne weitere n^., ^niing. neben den gautzcn schuhen alsbald aiich der.. le.bcn zehcntheilige zoll vudmiuiitenl^en^n/d^on dtunden kurtzeaudeutung gesehen svll. ^bcnmcßig die sotte A C. zue^undigen . ^llelsee mananff^ reuap^eatioiieii ^vorhabenden tri^n^l^ AB.C ^appllc.) s j^adiiisBA.^ s.^AC.^ ^ Vnter welchen breiten rn0^ ^ de.. e.. ^e ^ ^ uchstcn/ wegen erst angezeigter ^s..e... ^onr änderten c.1sn. .^m fall aber nebcn den wincklch/auch eine .eus den wenigen setteii/ die den .teeren wmckel ems^n^ wcre/vnd die andernzwo ^nbeteindt .u..udi. s^er ^.e.. ^altvrocedirt. ^nd erstlich^arsoll ^e l.e^ud..^^ cen sem A C. 12. ß.hue.e. ^.^1. ^. ..^ ^en.el^. dreyerlchapi.^cationen deß surh.abchden .rl^ ABC.allo schließe. [38] sl^adi. AB.^ '..llsover- helt steh be- .Allhie vnd im vorigen ist der andere m0dus der beste vndleichtiste. ^um andern/soll die bekandte seiten sein nc. e^. schuch/darauß neben den andern datis wideriinib aiiff 1 .applic.) s ^nu^ C A.^ .^000^8. Radi CA. .^0000000 e^ie .^.) sich^ ver^ helt s^.adi. AB.^ ^lsovc^ helt sich be.. 10000000. i .saugen.. CA. ^1333490^ gege dem ^ecante A ^ i2^ 4^1 .^ecante AB. ^16^/20^ 15 e^ie kante st ie CA 12. ^schuhge^ g.n der n^0te^ nusa AB Item die andere seiten ^ C ^rdt au^ v.^en den datis also gesiicht. ^ie ^ fich ver^ helt. l^inusAC ^0003^8. Radi.AC. 10000000. .^gcgc ldcm 5^54'^. ...c.an^en.. reC ^nu CB.^ Als^cr^ hcit sich die bc.. kaiitc seit AC. 12.. l 133349.^. l s schuh ge ^adic.. CB. l gen dcr l sciten ^CB ^. ..... 1.....e:.00c.00.^ schiih [39] .1al..nli^ e^nnnrn.

derlei. wcl^^. ^ ^ also.^ ^ie

.... ^ s.^ ve^ c^ i.^ge BA ^ l)^ (d.in l

Radius C^. ^10000000.^ ^llo^er- helt sch die be^ kante seit CB. 9. ^hge^ ^en der gesuchte seiteBA. 16^67.^.0.^ 15.sche^

BA. Darnach die seiteAC a^. t^

.^it ^ii.u^ l^ C .^/^. .^iuu C A^. ^l.o ^

.vet^ ^ C.

Radius BC. 10000000. ^ Radi0 gege ^ ^ ^ 10000000 ^ Tangen... i^e C A. h^lt sich die be- kante seit ^BC ^. ^schuhge- gen der ^13334900. ^ Al^hievndim vorigen rst derdrnten^^ vnd leichteste [40] .^^ander^e^e^ ^ ^^^^^^^^ ^ neben der be^and^en s^en d.e ^en s^.^ .winckel .^war nit bekandt/ aber doch deren Proportion ^ gegeneinander angezeigt wurde . wie darauß ^ grosse/ vnd dann ai.ich die vbrigen seiten ^uerkimdigen. vorigem Tempel wann die zwen spitzwinckel vnd B^ i^warnit bekandt^ aber doch angezeigt .^nrdedassie in solcher Proportion/^ wie die ^vo Dahsen ^53. vnd 7.^ .^en einander. stehen/ wirdt nach ^ gel von verschafften ( deren fiindament steht in de^ 18. Proposition deß 5^ Buchs 1^uc1idis ) also pro^edirt. .^ierdie z^o proportiomrtezahle.ii^ ^eSumm 13^ ^etze anfangs in d^ ^n die mitten aber gehoren a^eit 9^. ( dann so vie. thun die ^n ^pitzigewinckel in einem 1e^angul^ wie drobenam 20^ blat gelehrt worden. ) ^u letzten setz vnterschiedlich ge.^ melte zahlen ^. vnd 7^7. so kommen snr den wiuckel A.. ^.5^vndsurB.5^^. A.553^ B. ^ ^ann nun die winckel erkundiget/ wirdt mit er-sorschungdervbrigen .^weyen seiten ^h^iideltallermas-sen wie in voriger '^egel belehrt. [41] ^ di^rvo eitert de^ndt/'iv^ n^ ^ dritt vnbekandte/ ^n sambt beeden i^pi^igen winckelii erfahren soll. .Jese Regel hat ^wen Casus. Dann pnee^ ^ ^wo bekandten seiten entweder ni^ elne^ 0de^e^ alle beydeden rechten wirickel einsaffen. ^orn ersten e^asu. Jii dein triaiigrrlo ABC. sollen dle ^0 ^ een ^ein/die h^potenula A B. t5^ pn^ ^ul^ ^ ^ schrih/denrechten wirickel C. fasten^ ^ ^e^ ^ werden die zwen Spreckel ^ ^ B.gesircht/en^ ^eder nach dieser itaur/also ^ ^elichverheltAB.15schn^ gegen B C. 9. sthnh. ^0 ^.l^ stch^er^adiusABtoooo^-^ gegen dein Smu B C. 6ooo^ Welchen .Sinum s0 m^n ^ der 5. Regel deß Andern T^ tn den Tasten sticht/ gibt e^ nahe den arcum 36^. s^. welchem ist -ie ^roffe d^ ^ suchten winckels A. vnd gleich ge^n vher^n bindet man sein eomplement welche^ ist der a^ der winckel B. ^ d^lB. Wann man vorhabenden '^nmn .^oe^. nach der e. Regel de^ ^udei.'n su'^ [42] solte/wirdt er geben ^ .52. 11^. viid absein comple- mentum5^ .7^4^. Aber zu Vermeidung weiilau^g- k.it wirdt solches vmbgangen/ welches auch mvolgen- den Eremplen geschehen ) ^d^na^ dieser figur also. '^iesichverhe^tCB 9. .^egen B A. ^5. also helt sich ^er Radius CB. 10000000. gegen deß win^els B. seiner e^ecante ^ B A. 166^6666. welche in der Ta^en gesucht/gibt beyuaheden .1rcum ^.^: die grosse deß ivin.^^^B.vii^ also gegen-nber^.iiicomp^em^nt A. 36^.5^. D^ßgleich^n/ sodiebe^ui^te.^wo seiten werenn^^ ten.^aA.^ vndbasisAC 12.pro^edirt mansch dieser figur aso: ^ie sich verhalt ...........^^ .... ...................... ..... ..^ ^ .i ........ ... ^ .... B A. i5. gegen A C. 12. also ver-.^haltet sich Radi.BA.10000000. gegen desi winckels B. seinem ^ .^inu A C. 800t^000. welche in ^ denTasieng^t53°.8'diegrösse .-^ deß winckels B vnnd also sein complementA.36^.52'. ^der aber na^ dieser figuralso . '^ie sich haltet CA. 12 gegen AB ^5. ^lso haltetsich der Radius C A. 10000000. ge- gen deß winckels A. seiner ^ cante AB. 1250^000. welche A secans inden .^a angibt beyna.^ he 36^. 52 die grösse deß gesucht ten winckels A. vnd gleich gegenüber seincomplement [43] Vom anderen Casu Diebekandtenseiten/beede den rechten winckelein^ schließende/ seindAC. 12 vndCB 9 schuh. Darauß werden die zwen spitzwinckel A.vnd B.gesiicht/wider- umbauffzweyerleywei^. 1. ( ^esihe die dritte figur am vorhergehenden 30. blat:) WiesichheltAC12.gegenCB.9 Soheltsich Radius AC. 1000000.^. gegen der Tangente C B^ 7500000. die gibt in den Tasten 36°.52'.alsdenwinckell A vods.il. complementiim B. 53° .8'. 2. ( Besihe die erste figur am vorhergehenden 3^. blat: ) Wie sich helt B C. 9. gegen C A. 12.Als0 Radius B C. 10000000. gegen der Tangente C A. 1 3 3 3 3 3 3 ^ die gibt in Tasten denwinckel B. 53 . 8'. vnd sein com- plement A. 36° . 52'. Sonun meinem vnd anderm Casu die zwen spitzi- ge winckel also gefunden worden/ kan man darnach auch leichtlich die dritte vnbekandte seit suchen/ nach der Lehr der1. Regel. Hierbey zumercken/ das gemeldte dritte vnbekandte seit auch ohne vorhergehende wissenschafft der zwen spitzwinckel kan gesucht werden/durch die 47. Proposi- tion deß 1. Buchs Euclidis. Als wann A B. vnbe-kandt were/soaddirt man dasquadrat von AC. 12.vnd cB. 9. nemblich 144.vnd81.Suma 225. dessen radix 15. ist die seit AB. Item so BC. vnbekandt/so subtra- hiert man 144. dasquadrat der seiten AC. von 225. demquadrat der seiten AB. bleibt das qiiadrat 81. des- sen [44] 32 ^eri^tvon den sen radix9.ist die gesuchte seit B C. Als^^it..^^ vnbekandt/ subtrahier 81. vo.i 225. ^l.ven 14 . dessen eadixAC.12. D ie vierdte Regel. Wann in eine ^l winckeieechten trian- gel nicht zwo/ wie in vorige. Regel/ sondern nur ein seiten bekaii dt were/vnd doch die pro- portion angezeigtwürdc/ so zivo seiten de^-ben triangels/( sie icyen welche sie wollen ) ge- gen einanderhaben/ wie da^anß nitallein diezwovnbekandten seiten/ son-dern auch die zwen Spitz-winckel Verfahren. ^ vorigem trlangel A ^ ..... sei. die eimg bek.iiidte ..^senBC.9 schih. Darn^eit werde angezeigt... da^ BC.vndCAiu ..^....1^ tst/uue ^.viid 4.geg-n ..inaiider ^ hii. ..^.esee ^chen zahlen ^.vnd4 ihre Quadrat 9.r..^.^ adbirt/ inachen da... Quadro 2^ deileur.......^ 5 .u^ die leite A^.deu.u^ geg..bcncn ^v..r. i ^ii^l ^.i ^. vud4. rest.ondierene. Dam.t man aber die .n.o vnbekandte seiten A^. ^ud C A mich in si^chnt tollen/ bereit bte bekaudte ^ C. 9. l.at/uemblich ln schiihm haben möge/ n^irde alsoeon^ ciiidtrt t [45] ^ie sich verhalten ^ 3. als die Proporz tionae )al der seiten B C gege 4^ der Proporz tional zahl der seiten CA. 5. der propor. tional zahl der seiteii B A. Also vcrhelt sich aiich dic ..bekandte sctt. BG .9 schuh gegen CA. 12.. schiih. BA 15. schiih. i^o nun die seiten bekandt/ werden ^ol^nt^ aiich die winckel durch vorige 3. Regel leichte begleichen aufgaben aiich durch ^de^ ^ ^ s^die Vbung au die hand gil.t/.^d i)ie ol.n n^ ^ ^ bißher von dcn^e^lis oder wmckel..^ ^ angeln folgen die Cl.li^i.n^ se..li.^ eintweder alle drei) winckel schärf / ode^. .^n d stumpf haben. ^iefn^te Regele ^in einenl ^iii^^t.^ ^ .vinckel(vndalsoanehder^ Komvlement zu ^0 . . ) zu stinkt einer l^en ockand^ wtc darauß die zwo andern vnbckanten leiten zii stnden. ^.^c selten eiues jeden Triangels stehnin derpro^or.. .^.....tion gegen einander/ wie die ...iuus der gegeit il.nen .oberstehenden winckel. W^nn nun die n..inck^l dckeued.^ weiß man auch der seiten Proportion . ^nd etlso t^inn ein scitc iii ciiier gewiffen maß bekandt/ wirdt aiich die grosse [46] der anbcrn ..wcycn/ eben ln derglelchen mai^/durch dte ^ege. Detri erkundiget/ wie ani.ivolgendcm^^empel leichter^- vernehmen. ^ .... ^^^.^ ^n diesem s.harnectenden ^ri.u.^i ^ e.^e.r e^i....^ diesen AB. 1^. schiih. darnach^ winckel A. ^° .vnd B. 84° vitd al^ soaiich bccdcr compicment C. dreier dreycn winckel .hre l.un.^ ...... schreibe inan ^ii ihren enl.c^ oder vmer..ogenen selten . .^den l^ de^ i.oincke^ A 8^c4. ^iir seiten ^ G. den nnuin B 9^i9 m A C .^tein den i.^nir. G. 5^^. ^n A B. so hai man der drti.^n seiten propornonm dergleichen theil..u/ deren ^e^.^.derradl.^ hat. '^l.l inannnnfer.. ner die .wo vi ^b.. kaiidten selten A G. viid B G. m der ma^so di.. gegebene seit A C. hat/nenibilchtn .chiihen bekandt ma.. ..^en/ so s...tze in^in in der ^egel .^.etrl anfangs den .^i.n.^ deß roinekels C. deme die bek.andte seit A ^. viiteri.ogen ist . in die mitte wirbt gemelteseltA^. ..0. schnh^vndm letzt die su.^ der andern ......... .... ^ Deß winckcis C . ^ . nnn^ 58^852. gibt gegen vber die seit A B. 1^. schiih. Dtrhalben/ .^^^^ ........ .... l.^ ^.^8^4. ^ ^chiih. .^aim dcr Triangel stiimpffectent ist/ well eln stiimpff vnd scharffer winckel einerlei haben/ wie droben ^n ^iifaiig deß andern theils gemeldet worde/ so snbnahlrt man [47] den stiimpffen winckel von 1^ v^d mmb^ de^ ^ ^u1^ viidprocedirtal^ermassen wie fetzt gelehrt. Als ii^ beystehtmder si^iir so der winckel B. 10^ ^ vo^ 180^. abgezogen wirdt^ gibt der restoder comple^ ment7^.5^. den^nu1^50^. Som.n ^ ^. schuh bckandt^ werden di^n.^ z.voBA. ^d ^ ^ sticht/ n^ droben/^ nemblich .^tso . ^esich halten 65^.^. ^de^wint^ ^uderbekand^en^t^^. ^chuh^ .^50.^66. .i1nus de^ Buckels B.71 512042.^. ^nus desi winckelsC.30^.^ AC. 13. schuh. Die ^empeldieser ^egel m^enaiich/wie^olmitm^ rerweitleuffigkei^ das man vorher von l.m.^ spitzen deß Triangels emPer.^ pendicular o^er ^vagrecht^ lmi auff die vnbekandte seilen herab sallen lasse. .clis das crstgehabte ^remvel wirbt nach dies^ .itgiir aiso sowirt. Die bekaudte seit ist A B. ^ schuh. die bekaiibtc ivin.^ ekei semt A. 41° . 1^. 1^. 1^ C. . 4^. die ^trv.mbieuiav auffbievub..kanteseite AC. ge^ sc.iiekt/ist B .^.baraiiß wird nach [48] der ersten Regel erstlichen die vnbckandte seit B ^. alsoge- sticht/ diirch diese zwo anal^gia^. 1. ^ie sich in dem Triangel verhelt AB. radiu.^ .^00^000^ e^en de^ n^inck^ ls A. 41^. ^. seinem linu B i^. 65^251^. ^lso verhelt sich die bekaudte seit A B. 7^ schuh/ge- genderperpendicularB.l^ 4.^. schuh. 2. ^ernerin dem Triangel ^B C.wie sich verheltder ra.^ dius 1^B 10000000. ge.^en BC. 1^5.^6^. als der secant^ deß winckel l^BC. 5^ . 1^. ( B. Diesen winckel ersehrt man/^so man C^ 30^ 4^. vom .^11.1d1anten subtrahirt. da.in er del^ winckels C. conplement ist) ^llso verhelt sich auch die Perpeudicular 1^ 4^. schuhe gegen dergesuch- tenseitBC. ^.schuchse^. ^um aiidern wirdt ebenme^ig durch zwo anal^giasdie andere vnbekandte seit AC^esticht. Dann es wirdt von demfpitzen A di^ Perpendiciilar A^ auchauff die vnbe^ kandte liniB C ( die doch vorh^mi^sam erleugert werden nni^ ^ gesenckt vnd darnach also beschlossen. 1. ^iesichindemTriangelAB^.verhelt Radius AB.. ^0000000. gegen A E. ^5^766. als dem .^innde^wmckels ABE. ^.58' (welcher winckel gefiinden wirdt./ so man den bekandten winckel ABC. 108 . 2 . abziehet vom ^enri^ ^1cul0 180 . weil er dessen complement ist) Also verhelt sichauch die be kandte seit BA. 7 schuh gegen der Perpendi.^ eularA^..^. schuh. 2. ferner in dem Triangel A l^. wie sich verhelt radm.^ ^A . ^....c^c.. gegen ...C. 19..29..cir. al.^der ...^a...^ de^ winc.e^ l.. A C. 5^ . 12^. t^ ^ . dieser winctcl ivird also criahrcn. [49] erfahren ^an addirt bcn gcgebcnen winctel C A B 41'. . 1c/. zu dcm winckel BAL 18 .2'. Alsder dc^ obgcmelten winckels ABL comvlcmcnt zum ...uadrant^ ist/'.^umm^ ^.12.) Also verhelt sich die vorher gefundene ^.dervcndt- eular l.A6^ gegen der gesuchten scttcn A C .e... Dieseehlte'Regel. ^ ^ie ^rei/winckei nichts ^.ee^^ehi^ Proportion ^egen einander c.nzei^t wnrde / wii. darauf ihrgr.^sc/vnd voigei.dsanch^emscu bekandt/ die vbrigen seuen zuerkündigen schein. i^^e Proportion dcrwwctelwirdtgegebenin zahlen/^ eintweder ce.nrin.a..:. oder aber dis.....:...^ proportional seiut. e^ont ersten c.1sn. .^cint sie e^ntln.^ proportional/ so geschicht die0p^.. ri^n nach der 18. proposmon deii 5. buchs Eucüdis/ wte dro^ bcii iii l^er anbcrn Regel gelehrt. Als dic 3. winckel dieses Triangels stehn gegen etnandee wie 5. ^. also das A.gegenB tst/ wie 5. gegen vndB. gegen C. wie 9. gegen 3 werden derhalben die ..^e winckel gesticht/ wie dr oben ge lehrt/ [51] ^ ^er^^onden Vom andern Cas^. So sie aber disc1et^ proportional seine / werden sie zit .^ni^inue proportional zahlen gemacht durch die 4^ Pro.^ positionde^ buchs^uclidis. Alswaun in vorigem Tri^ augel gesagt wmde/ der winckel A. halt sich ge^m B ^vie 1^ ^egen 2. .^tem B gegen C. wie 7. gegen 3. hat man vier discret^ Proportional zahlen/ 1^ 2^ ^. ^. diewerden i^u drey c0ntinue^ proportional .zahl^ir also gemacht^/ das nian miiltipliciere die erst mit der drittel/ die andere mit derdritten/vnddie andere mit der vierter: kommen 10. 14. 6. oder ( so man sie diirch den gemeinen Theiler 2. in kleinere zahlen bringen will) 5.. 7. 3. wie allhie Zusehen A. B. B. C. l ^ ^ ^ ^. ^ ^ A. B C. ^eil man niin die winckel in c^inu^ proportional zahlen hat/ wirdt ^hr grosse allerdings wie im ersitz Ca^ vnd dann die vbrigen z^o seite^ nach vorgehender Re^ gesucht^ ^^e^bend^e^. ^nrdener^lie^^o sei.^darna.^ ein^m^s^ der einena^si gemelten z^o sei^eir e^t^^.^^ ^^^t^rrr^e .e wie man darauf die andern winckel/ vnd dritte seit er kundigen solle. [51] .^^Iese Regel gründet sich auch aiiff das tl^e^ma^ ^^drobeninder fiinfften .^egel anfangs gemeldet wor-den : dasnemblich ineinemjeden Triangel die sckteneben in der Proportion gegen einander stehen/ wie die .^inusjhrer gegenüberstehenden wincklen. Derhalben setzet man in die Regel Detriansangsdiejenig bckandte seit/ so dem bckand-tenwinckel vnterzogen: indiemuteaberden linumdeß be-kandten winckels/ vnd zu lel^t die andere bekandie seit . s^ kombtherauß der^inus deß winckels/ soder gemeltenande- ren bekandten^eit entgegen steht . welcher zum vorigen be- sandten winckeladdirt/vnddieSiimvoii le^. siib^rahwt/ gibt den dritten winckel. So nun die winc^el a^ be^andt/ wirdt nach der sunfften Regel die dritte se^t auch te^ich gefunden. Es begeben sich aberallhie ^wen Casus. Dann de.^. ^ kandte vnd gegebene winckel ist entweder Clausus stumpff/ oder acutus scharff. ^om er^en Cas^. .^n diesem Triangel ABC. feye bekandt erstlich die seie AB. 7. st^h/darna^ die seit A C.. 13. vnd dann der stu^pffe winckel ABC. 108°. 2'. Auß diesen dreyen datis seint. die vnbekandten zwen winckel A.C. vnd die seit BC. zu-erkundigen solchergestalt: Wie sich verhelt AC. 13 schuh gegen 9508766 (als dem sinu deß gegenüberstehenden winckels B 108°. 2'. dz ist / seinem com- plementi 71°. 58'.) also verhelt sich auch die seit AB.7.schuh [52] .....c. ^e.riehtvonden ......... ^ ^ ^ ^ . .lll... ........ ^ ^ ^ ...^............^.^ .gegen 5t...0tc.4. dem luntt deß gegen verstehenden winctcls C welcher sunusurdcn.^astcngcsticht/wcisct dicgröffcdcß winckels C. nemblich 3e^. 48'. e^onun C. ^. 48'. zu B. 1c..:l° . 2 . addirt / vnd die'.^umma 1^. 5.^'. von 18^. ab-gezogen wirdt/ bleibt der winckel A. 4t . t0 . ^s könncn abcr dicsc winckel aiich mit hilffder ersten vnd dritten Regel/..warmüh^ülaug^meralsdiirch vorhaben- de Regel gelinden werden: doch das manvorhervonelnem der vi.b^audten wincklenein perpeudtcitlar ^iffdle Vnter.io- gcne seit fallen laffe. Als in vorigem Krempel sollen vorge^ melte data bleiben^ vnd die Kerpen. dicular Al^. gezogen werden. Weil nun der winckel ABC. te.8^ . 2'. be. kaubt/ so kan man auch selln com.. ..r.. ^ . ^ vlcment AB..... ^. 58' wiffen/vnd daraiiß die gröffe der 5..dcrvendie1uar A....mach derersten Rc... .gel solchergestalt erfahren: Wie sich helt radiusB A.tc^...^^^.gegcn Al^. 95c8...66. .^als dem lunu beß ictzgemelten winckels AB^. '/1'^. 58'.^ Also hclt lich die seit B A. schiih gegen der '^erpendiculae A l^. schiih Werners nach der brittcn .^cgcl schlicht man also : Wie l.lch verhelt C A. 1^. schiih gegen A l... schiih i Also verhelt sich r.tdln.. C A 1 .^^.^cc.. gegen dem l.nn A l:... ^12c^00. wacher in fallen gesucht/gibt den winckel C. .30^ . 4^'. wie vor/ vnd also auch A. 42° . 1c/. t'.^o min ble winckel also nach einem ober dem andern weg gesunden/ so kan darauff aiich die noch vnbekandte tele [53] BC. du^ech die sim^te Regel also ersahren werden: ^ie sich verhelt 51204^. der nni^ deß winckels C 30^ . 48^. ge-gen der ^hm vntergezogenen seiten A B ^. schuh ^ oder aber^ wie sich verhelt ^5087.^6. s..^de^ w^ckel^ B. 108^. 2. ge- gen der seite A C. 13. schuh. ) Also verhelt sich auch 658^516.^ der ^nus de^ winckels A. 41° .e 10 . gegen der seite BC. 9.. schuh. Vom anderen Cas1^. sall aber der gegebene winckel scharss .vere/^ nm^ ^angezeigt/oder aberausisteisiigemabri^ de^ Tria.^s besehen werden/ ob einer auf^ den vnbekaudt..^ ^m^^ stumpssoder nicht sey. Daun wann der wenige n^i^^^ ^ man erstlich suchen will/auch spitzig ist / wirdt allerdm^ procedirt/ wie droben im ersten Casu: so er aber stumpff were/wannmanimoperirn seinen l^i^u^ findet/ miit^mai.. nicht nemen denselben arcun^so solcher s1nus in den Tasten hat/sondern dessen complement/wieau^volgendem ^em-pel klarlicher zuverstehn. In vorigem Triangel ABC.l^ besih die sigiir am 4^ blat)seyen bekandt erstlich die stit AB. 7. schuh/ ^arnae^ AC 1 ^. schiih/vnd dann der scharsswiuckelC. 30^ . 48^n^ diesen dreyen datis werden die andern lzweiiwiuckel vnddi..t seit B C also erkundigt. .. .......... Fiestel. verhelt A^../ scl.iih gegen .tt2^9.al^ dei^ l..n1lde^ gegenüberstehenden ivincte^ C. ^. Also ...ctheit sicl. die seit AC. ^ scl...h/ ^. .bel. ^.cgciivbcrstehen. dcn winetei^ A ^ C. seinen. l.nn 9^9^. welcher nr den ^ fallen [54] ^ .^er.^ond^n gasten gesiicht/ gibt den a1 cu^r 71^.58^. weil aber de^ gesiich- .tewinckelstiimpffist^miist mansolchen ai.cuirr von 1^ . ab.^. ziehen/ bleib.^in complementum 108^. 2 .welches ist die ei- gentlich.^^^^ 30^ 4^. addirt/ vnddie Siimma 1^. 50^. von 180^. subtrahirt/gibt den winckel A. 41^ . 10 . Darauf wirdt die seit B C. gesiicht/ ^ wie droben zu ende deß ersten Casus vermeldet. ^nd di^ ist zwar der richtigste weg. ^o aber jemand beliebte weiter heriimb ziischweiffen ./ de^ procediere also. .^iirtz vorgemelte data in dem Triangel ABC.^ welchs am 40. blat zu sehen ) sollen bleiben/vnd die Perpendicular A .gezogen werden : dardiirchdannzwey te^angula^ nemblich A C B. vnd A B ^. gemacht .verden. 1. ^nd ist erstlich die grosse der Perpendiciilar A.^. wie aiichder lim C^. durch die erste Regel also zii suchen. ^n dem 1e.^angul0 A.^c. ^n erstlich den gegebenen winckel C 30^. 48'. vnd also si^in complementCAl^. 12 . derhalben wie sich helt radu^ CA. 100.^0000. A ^. 512042^ dem srnu defi winckelsC. Also die bekandte ^eitCA.13. schuh gegen der Perpendicular AE Darnach eben im selbenret^angul0 wie sich helt radius A .10000000. gegeir ^ C. 1 6 7 7 5 5 6^ als der Tangente deß ^vinckels^AC. 5^ . 12 . ) Also verhelt sich die Perpendicii- ^aris A ^ gegen der lini.^C. r^ 1^. schuh. ferner/ weil in andern re^an^ul0 A ^ B. die zwo se^ tenAB. 7^ schuh/vnd A^. 6^^. schuh bekandt/ wirdt ^arau^ durch die dritte Regel der winckel AB^. also ^ suchte [55] sticht/ wie sich verhalt B A ^. schuh ^egen A^. schuh/also heltsichradius BA 10000000^ ^.m d^ ^ A E ^508571. welcher in den Tasten gesucht^ ^ibt den ^vmt^ A B E. ^ . 5.^ dessen complemem i^ d^ richte ^imi^ff winckelABC. 10^ 2. welcher zu dem gegebenen ^vi^.l C. 30 ^ . 4^. addirt./ vnd die Summa 13.^ . 50 . vom 1^1^ cucul0 1.^. subtrahirt/gibt den aiidern gewichten .^mck^ BAC.^.1 .10. ^. ^um dritten wirdt die lim B durch d^ ^ e^.^ also gesticht : wie sich helt 1adius A 100000e^ ^ 1^ ^255630 als der Tangente de^winckel^^A^ ^ ^ cherist das complemem deß vorgesiind^^.^ ^ln^ ^ r^ 71^. 58^.) Also helt sich diePerpendicular ^ der lim ^B 2^. welche/so sie von der vorgestind^ .^antzen lim ^ii^. abzogen wir^dt/bleibt die gesucht dritte seit BC. 9. schuh. ^ae.^e^ ^en ^leie^en ^t^ d^ sollen n^m^el be^ schlössen/ geben wurde : wie darauf die andern ^wen winckel vnd dritte sett .zu erkundigen. ^rglcicl^n vorgaben niniscn aiiis solcl.it wclii solvire i.ocrden . 1. A.ddire inandlc iivobckan^tcseltcu/vnd seile die c^iini ..insangi^ in die .^ege.^tn. [56] .^4 ^er^^nd^ 2. ^eme man ^hr differentz diirch abziehung der kleinern von der grossern/ solche differentz gehort in die mitte de^ Regel. Der bekandte winckel werde vom sei^icire.^l0 180^. abgezogen/ vnd der restha^birt/ auch solchen halben theils sein Tangens genommen/ vnd in die Regel Detri zu ende gesetzt . So wird herauf kommen ein Tangen^ welche an-zeiget einen gewissen ar^un.^ der zii vorgemelter halbem Siim der zweyen winckel addirt/ gibt den grossern: abe^ subtrah^rt/ den kleinern der zweyen gesiichten winckel/ wie solches auß beygefugtem Tempel leichter zuverstehn ^n diesem Triangel ABC seye bekandt der winckel A. 41^. 10 .vnd die zwo^hnbeschliessende seitenAB.7.schuh/vnd AC^13.schnh. ^iif^.. chendatisdievbrigen zwenwinckelB. C. vnd die seiteBC^ alsoer^hrenwerden^ ^. Die Suma der gegebenen selten A ^ ^ vnd A C 13^ ^st20^ .2. Darnachsoman die kleineren der grossern 13.sub-erahirt/ bleibt ^hr differentz 6. ferner diirch abziehiing de^ winckels A 41^. 10 . von

180°. bleiben 138^. 50 . welche ist dieSnmmader winck..^ .B.vnd C. deren halbtheilist69^ 25^ welchem halben t^ei. Geburt die Tangens 266.r8085. daraiiß schliessealso: ^ie

^ch verhelt die Summa der begebenen seiten 20. zii dero differen^ [57] ^^.1l^ .^1^^.

differentz 6. Also verhelt sich 26628085. die Tangens der hal- ben Sumder ^weyenvi^bekandten winckel/ gegen der Tan.. gente 7^884...5. die gibt in den Tasten den arcun. 38^. 37 ... welcher .1rcus so er m obgemeltemhalbentheil6^ ^ addirt. wirdt ^ kombt der grosser gesuchte winckel B. 1^8. 2. so er aber davon wirdt subtrahirt/ kombt der kleinere winckel C.^ ^mlich diesen BC wirdt nach derfunssten Regel als^ glicht : roie ^.ch helt desi .vinckels C 512042.^. gegen A B.7.schuh^also helt sich der s^ .de^ wiiickels A. 65^516^ gegen BC. 9. schuhe ^nnd diß ist die richtigste ^nerati0n : d^ ^ ^ durch die erste vnd dritte Regel/ aber etwas weitteussi^ veruchtet wirdt ^ wie au^3 beigesetztem Tempel ziiverii^ men.^ In dem Langel AB Cseye bekandtder winckel C.30^.48^ sambt beeden seiten/ so ^hn be- schlössen CB 9 schuh/ vnnd C A 13. schiih. Darauf die drit-^ te seit vnd .zwen winckel zuersah- ren/ ziehe man die Perpendicul^rA^ ^u dl.m bekaiidten winckel C. vber^ vud ^.ch.^ Erdings /^it droben gegen dem ende der sibendenRe.^ ^eschehen^ die Perpendicular ^ schuh/ vnd die seit C^ 1^^. davon sub- ^rahir die bekandt seit CB. ^. schuh/bleibt BE^ Aul3 diesen schliesset man also: ^iesichhaltBE^ 2^.^. gegen^A also ....i 1..^.^^ der Twente [58] ....c^ ^eri.^tvonden ......... ^ ...^ ^ ..^ .... Tangente ^A. 30715274^ welche Tangens m Taflet ^ sucht/gibt den winckel ABE. 71^ . 5.^ desseir complem^it ist der gebuchte winckel A BC 10.^ 2 . welche.. zii di.m ^ gebnen winckel C. 30^.48' addirt^vnd dieSnm 1^^ 50.^ von 180^. subtrahirt/ gibt den dritten winckel ^A^ ^ 10. ^ntlich die dritte seit AB wirdt also gesucht :^iestch helt ..adius EB. 10000000. gegen B A. 313028 ^6.(d^r. ^..e ^ante deß winckels A B l... ^1° .58'.) also hel t sich B..2 ^ ^ schuh gegen der seite B A ^. schuh. ^u mercken/ das derentwegen im Titel dieser Regel ge.. meldet wordene es mussen die zwo den bekandt.^n ^vinckck einschliessendeseitenvngleichsein/ d^eweil nach der sunff..en Proposition de^ ersten Buchs ^urlidis/in einem ls0scele.^ oder ..e^uic1u10.(dasist/^in einem Triangel von gleichen schencklen ) die zwen wincke l bey der ^ od^ grimdlmi em.. ander gantz gleich/ vndal^ ^sticht n..^n . .^en gegebnen winckel/ als allhie den winck.. ^. 4^. siibtrahir von 1^0^ bleiben 135^. dessen halbertheil 67 ^ 30. i^ d^ grosse so wol desi winckels B. als C. So m.i^ auch diesen AB. oderAC.bekandt/^ als/ziin.t Tempel /^ von 10. schulen were: erkimdi^tt man die dritte seit B C nach der suussten Re^ck also: wie sich helt de^winck.lsB^ linu.^ .^7^ geaenAC^10^ schu^. Als^ ^t ^ch ^ winckels A sin^ 7071068. gegen der sene C^ ^ . schuld [59] ^ieneundteRegeL ^in eineni^eial.^eiaii^r^ ^ angeben werden./ wie darai^ diedreee wmckcl dclselben zueri^nen. ^ l^ hat diese Regel drei^ ^ . n^ de... dre.^en art dcr ^riaiigel. Daun em iede.^ .^.^ ..... en..^ wcdc.c a^uilaterum^ gleichseitig.. odcr ts0sceles. glelel^ l.g/ von gicichcn scheiicklen i oder se.aleinum, vnglcichseitig... ..^ont erlien 0tsn^ .^st das vorgebeuc ^rian^ von gleichen leiten/ so scint aiich die drei. gleich/ nach dem c0r.0llario der s^en ^ro^s^n ersten ^uchs ^ieli^ Vndu^l ^ so viel vermogen / als ^wen ree^ee ^n^el ^..^ ^ dcr ^ prcpc.luion deß ersten .^ucl.s ^. ^ cm jeder derlei insonde^en von1^d^s l^ vcrmogeu. ^. ^ i i^ont andere^ c^sn. Ist aber dasTriangulum ^sceles,vnnd von ^wen^ gleichen schencklen / so wirdt die balis oder grnndlm. durch ein Perpendicular vom obstehenden spitzen herab ni zwen gleiche theil getheilet : vnnd als dann diirch die dritte Regel die wmckel gesucht. Als in dem Is^scel^ ABC^ [60] ABC. sollen die zwen gleichen schenckel l^B. vndAC. jeder 10. schuh/ vnd diebai^s BC 6^ schuh halten. So nun vom spitzen A. auffdu bal^n B C. die Perp.ndicular A D. se.lt/ ihei^ let sie die^elb in zwen gleiche theil B D viid DC jedes 3. schiih. Weilnunindemwinckelrech ten Triangel A B D. .wo seiten bekandt/ nemb lich AB. 10. vnnd B De 3e schiih/ werden di^ winckelalso gesucht : Wie sich verh^t die seit A B 10 sch.i^ gegen B D. ^ schiih/^also verhelt sich rad1us .e^ B 10(^00000 gegen dem linu B D ^000000. welcher in den Tasten gibi den winckel BAD. 17^. 2^. dessen complement istder wini ckel B. 7.^. 3^. vnd so groß ist aiich ^ bedachte 17^. 2^ geduplirt/ geben den gaiitzen winckel A 34 e 56'. '^omdr^enCal^. ^ie .^calen^ da ali^e drey ^an^ee seiten vngleich/ wer- dengleichs^l^wie imanderen Casu geschehen/ durchein Perpendiciilar ( so von dem grossen wiiickel aiiff die grö^ seit mnß gesenckt werden ) in zwey Langula getheilt : je-doch weil solches in basi^igleiche theil gibt/ mnß zuvor derselben grosse aiiff solche^eiß ersahren werden. ^ Diegröste seitsetzean^ngsindie RegelDetri. ^ 2. Die andern zwo seiten/ so den gröstenwinckelbeschlies- ^n/addire/vnd setze die Siim in die mitte. ^. Eben derselben zwo seiten jhr differentz(die man . durch abzug dei^ kleinern von der grössern ersehrt ) setz zn [61] ende. toinbt diirel.i die eii^rati^ ein ^.u^tu^ ...der stue.l.... n..eicne^ so e^ von der grosten lin./ al^ voii der l^li .^der gruiidiuu abgezogen ivird t/so seilet dieveri)eiidieular in die nntte de^ii..ei. ^i..^i.^ireiideu^....i^ieii^... .^iiin ^.rtnwel/in dein ^al^.. ne.. Al.C. sti.e die seit C. 2t.. scl.uh/^ A. 2^. viid A C. 1... vnd. ircrde voudein grasten tviuetel ^. auis die groste seit ^.i t^. die ^er.. .... vendienlar t.^. gtseue^t dle ^iuact.t ^n.ei. l..^u^ ^ r^ 1.iC. deren grosteaisv ..nsucnen. Fiestel. verhelt dieg^ste seit i^C sen..h gegen ^. (^alc. der ^uinuia der ^ud....n ...v^.enseitc..^^.^.^.^dAC. .... .^so verhelt strudle dilseren.l gedachter beederseiten) g..gendeni ..^eginent B^ 1t. si.l.iih/ welcl.e^ so et^ von der ganzen luu l^ C. 2t sel.u^ abgezogen ivirdt/ bleibt da^ .^egnieiit ^C. 1^.. sel..uh.. it. deisen iiutte ^. die ^.ervendiciilar A l^. sellet. .^elt alst.. datt kleiner .^egnient C ^ 5 sel.iiih/ vnd dai^ grolsere l.i. .i^sct...h. ..i.^arau^ dann serner nael.. anleitiing der dritten e^egel t.ie ..oinctei also gestielt i.verdeu. ^rstliel.. in dein r.^u.. ^ ..... l.^. .^ie ste.e helt da^ ..^eguient l^ ^ 1i^. sel.uh gegen der seit ^ .A 2^. sel..iih. Aiso helt stel.. radiu.. ^ ^. 1^^.^. gegen der ^e.ai.t^ A. 12.^^. irelel.ie in den gasten gibt denivinetel i.. ^ . .....^arnacl. in dein r^ari^ule. A l.^ C. ...^ic stcl. helt da^ ...^eginent l^ C. gegen der seiten C A r.i. Aiso helt stcl.. dei.. i.adiu^ ^ C^ ie.^............^^. gegen der le.^ariee C A 2^e..e^e... [62] welche luden Ta^ngibt den winckel C. 67^ . 23^. wckchen si^ man zu demwmckelB. 36^. 53^. a.^dirt/vnd die Sum .i04^ ^6.von180^. subtrahirt/bleibt der winckel BAC75°.44.^ ^n vorigem Triangel ABC^ sollen die seiten nicht selbst ^ son^ dern nur .hr proportion gebend vnd an^ezei^t werden ^ das A ^ gegen AC. sich halte ^ ^0..^ gen 39. vnd A C. gegen BC. n^ ^39.gegen ^3. D^ese drey c0m1nu^ .proportional zahlen 60. ^ 63. werden an statt der seiten benommen/ vnd die groste darunter/ nemblich BC.63 an-^angs in die Regel Detri geatzt. .^n die mitten gehoren ^. als die Summader andern beyden AB. 60. vnd AC.. 39^zu letzt setze inan 21. die differentz erstgemelter zwo seiten (dam. soviel bleiben^ so 3^ von 60. abgezogen werden ^ ^achvollendter 0^ati0n kombt das sacit 33. welches ist^ das stgment B E. das^ so es von der gantzen lim B C. 63. ab- ^m fa^l aberdieseitenan^hnenselbstuicht/sondernnur ein gewisse gegen einander tragende proportion derselben ^.igeben/vnd diewiiickel darauß zuerkundigen begert wurden so norden dieselben proportional zahlen ( doch so fern sie ^0n^il.u^ proportional. So sie aber d^rei^ proportio-^rir^ mussen sie vorher iiach der lehr der abgesetzten 6 Rege.l ^ir c^n^inu^ proportional zahlen verwandlet werden^ an ^att der seiten selbst genommene vnd damit nach anleitung .vorhabender Re^ck gehandlet ^ Unmassen aii^ volgendem Krempel abzunehmend [63] gezogen wirdt/ bleibt das scgnient l^C. 30. m dtlsen tmtte die pcrv.iibicular A^ sellee/ vnd ^. zu..e.. segnete macht/ neuwlich Bl... 4....s^C. 15. vnd vorhabendes ^ri. angel/in zwei. rec.^ulatheilet/ darauf die winckel/ wl. droben/ also gesucht werden . .^n ABl.... wie sich helt ^ B. 4.3. gegen B A. 60. ^lso radius l^B.1c0000.^.^ursecauee1^c00000.36°. 53... B. . .^teni in A l^ C. wie sich helt ^ C 15. gegen C A. 3.^. ^l. so radius .l.^C. 10000000. ziir se^.ni.e... .^60000^. 23'. C. Welche zwen gesiindene winckel 36. 53'. B .vnd ^ . C addier: die .^nm 1c.4^. 16'. subtrahier von.1^. reit de.: dritte winckel A../5°. 44. Dergleichen so geuielte seiten in dis^ret.^ vrol^ortion^ zahlen angeben/ vnd zum Tempel/ gemeldet wurde/es te sich A B. gegen AC wie 60. zu 3^. .vnd A t^. ^en B C^ wie 26. zu 42. so werden solche rier termiui zudrehen ^01.1.. cmn..:. proportional zahlen auff solche weiß ge AB. AC AC. CB.

Al^. AC C^ ^it diesen gebundenen dreien proportionalsten derse^ ren / werden die drei) wilietel gestickt allerdings ivie kiir^ ^wor. [64] se^ei.n^ ^on nac^o^enden ^is l1nuum^vnd wie daranßa^e 1e^1lineat^iangulaznsi.^- .virn/bericht: daraiiß hoffentlichen einer/ soaiich derlei-nischen Sprach viiersahreii(doch das er zuvor die .^atet- ^ nischehieriiin gebrauchte termin0s aiiß dem ersten thei^ die- ^ Tractat.^wol versteh lerne)ohn fernere anleitnng leicht-llich fortkommen mag. ^ann es das Format dieses H^ndbüchlins hette leiden .nögen/were aiich v.^n der ^ivnd gebrauch dieser lehr in ^atl^ematica. vnd derselben anhangenden Gunsten ge^ ^i^et worden/solle aber doch zur andern ge^egenh^it den ^n^liebenden zn gntem/bevorab sovermerckt wurden ^n solch mein geringfügig a^eit nicht vnangenehm/ di.^sin einem sondern Tra^at bi^sch^n. Damitaber doch de... gnnstig^e^r^ vonaiich indiesein ^ract^leinetwa^ ^ab^w^n wn.a^ie zneinem.^^ ^u n^r zwey Krempel einfui.^ enie^ .in. A^n^^ mi^tari^da^ ander zur Al.imet^ia gehörig. ^iirs erste/ soll mm die eigentliche leng dev Print^a^ vnd Ha.^pilimen in b^ygesiigtem grundriß/^der zwe^ ^ ben Beluarden aii^ vorgegebenem bericht vnd tal^l^ ^ nuum ersahen. ^he man aber zii solche außrechni.^g schreitet/ist vonnöten/das man vorher a^e wine^/die in solchem grundriß vorfa^len^ erknndige : we^che^ vo^ende^ gestalt beschicht. ^ Hiebeygefe^te zwey halbe Belnarden A C K. seint ^ eine^ achteck^ Derha^en helt ^ de^ winckel im cent.^0 4^. ^ann diesem i^ d^ ^tl^t so ^ie gan^ circiimferen^ ^ . m^t ^ di^idn.t wirdt^ nun [65] nun d^ese 45^ . von dem ^emic.rcul^ das ist/von ^0^ ^e^gen werden / so bleiben ^ 35. sür den winckel in der ^ ^ .^reumseren^ [66] ^ ^ertc^ Bonden ^ircumserentz/ dessen halber theil 67^ 30. ist der winck^ A.^E. diesen von 18^ . al^ von zweyen rechten winden ab-.gezogen/bleibt sein c.^mplement E B C.11..^ . 30.^ Derwin-ckel deß Be^uard oder ^ollwercks Spitz ist e^. vnd als^ sür den winckel deß halben ^eluardsDC B. Sonnn ^ndem Triangel CC B. die erst genielte zwen winckel ^ .vnd112^.30.addirt/gebeii sie157^30. solchevoii^.^ ^zwen rechten winden abg^gen/^ bleibt ^ihr Komplement ^im .iemi.^ircul0^ nemblich C ^ B. oder D ^ E. ..^ 30^ Dieses winckels complement zum^nadranten/ist C.DE. ^.^'. dessen complementzum halben circkel1^. g^bt deniuwend^^ Viid weil ivn^DE. paral^l linien seint/ so ist der winckel den^ ^tern0 ^DE. gleich i^ dnrch die 2^. Prop: deß ersten ^nch.^ ^nilidis)^nd alse^ aiich voii 30^ Solchen dnplir/ so kombt N.^D. ^ angu^us Cancans der streichwinckel^ .^dertena^dasist die zang ^:n^net wn.dt. Soviel nun fürs ander die dimension der Linien bet^isst/ werden allhiesürbelaiidt geben/erstlich die Kortin Ruten/(die Riit zu 12. schuhen gerechnet.) Darnach die ^la oderachselD^. 12. Ruten. ^um dritten der^na^ ^n gesicht DC. 24. Ruten Auß welchen d.^ d^. w^ ckel vnnd luiien/ die andern limen also bekandt gemacht werden. Anfangs in dem ^riaiigei L.^G. wie sich helt .l^ 1^000^ gcgeii^ G.2^142^6.^wtlcheist^g^ ...eß winckels G L^ L. ...7 . 30'.) ^lso verhelt sich die i^ [67] 12. Rut g^gen ^ C. 29. Rut. die ziehe ab von de^ gantzen C^tin E H. 36. Rut: bleibt H ^ 7. Rut/ auß wck-c^en dasgesichtdeß ^eliiards gezogen wirdt. [68] Weiter in gemcltem .^riange lwie sich halten i..^ l.. ^. 1.^000000. gegen L. G. 2 6 1 ^1 2 9. ^ welche ist l^^^.^ de1^ winckels LG l.^. 67'... 30/ )^so h.elt sich die i^ l^ ^. 1^. Rut / gegen G L... 31. Rut / 4. schiih / ^. Zoll . ( oder in buchen/ so wegen ssiglicher rechniing allhie zubehalten ^ ^ .^ent) barzn so man dasgesicht deß ^5eluar.. den Gl..... 24. Ruten thut/ so l.oinbt die grosse der ..^un.en tini CG 55. Rut. 4 schiih ^ ^. Zoll/ /oder in gebrochenen ^ahscn/^^^^.Rut.) ^erner^in dem Triangel B CG. wie sich deß winckels G B C. 112^ . 30' sin ^l.^.. 9238795. gegen der gegenubern ^e^en gelten G G. .55 .^ut. 4 schiih/ ^. Zoll l.oder ^^.^^^^...).:ut.) vcrhalict/also auch vcrhaltet sich deß .^^.^^^^ ^einn^ ^deranch gc- ....^ ....... .... ^ ..... .....eut. ) weiche ist die .^ui^uui deß ^ tiiaids. '^tcm cbeuim selben ^ugel/^ie sich hultete...^ .gcmcltcrlmus 9238795. deß wiuck..ls GBC. zu der..ie^.. erstehenden seit C G. Riit. .^.^ wiiickels G C B. 45° . iiinus 7071068. zu der aiich ent.^en.. gehenden seit GB. 42. Rut. 4. schuh/ 5^.Zoll/^der i^^..^.^. ^ut...davou ziehe man ab die vorgefunden nelimGL. 29. Rut/ bleibt fur die kehllini LB. 13. Rn... 4 schuh/5.'.. Zoll Zu dieser lini sB. addier die hull. Co^ LL 18. Rnt gibt31.Rut.4 schnh/5.^.Zoll/welchesilidie tini LB. dic dubliere/ kombt die g.in^e lini zB.^.. c^.... .3 schuh/1^. Zoll. .t [69] Volgt jetzt das tr.iangulum A B I^. ^n re^I.^n. solcher Gestalt: Wie sichhelt radius I^B. 10000000. gegen BA.^ 261 ( welche ist ^ecans deß winckel^ ^ B A. e^ ^ ^ Also die vorgckundene seit ^. 31.Rnt. 4.schnh/^ ^oll/ ^ oder ^ ^ ^ Riit. ) gegen BA.81. Riit^ 11. schnh/ ^ ^/ ( oder ^^e^. Riit.) dar^ii addiere die droben gesundeneBC. ^ Riit.. 11. schuh/ . ^. ^oll./erwech^ die gantze A C. .04. Rut. 10. schuhe ^/ ^ ^der .^stalsoziisolvirn noch übrig der winckelrechte Triangel A C ^. in welchem wie sich haltet radius A ^. 1000^.^ gegen C.^ ^6834. dem sinn deßwinckels CA^ ^0 also haltet sich die erstgesuchte seit AC. ^^^^..^ Riit/ gegen C ^. 40 Riit. 1. schuh/ 7.^ ^ welchem plier/ so kombt i^ C 80. Riit. ^. schuh// ^ ^ ^ Wie iiiin alle linien deß halben Belnards beschaffen/ einer ebenmeßigen grösse seind auch die andern : a^ da^ CD.vnndNK. deßgleichenBC.vnndlK. Item BE. vnd I H. &c. einander gantz gleich : Vnd wie diese/ also auch die anderen wöhren/ geordnet vnd angelegt werden ,üssen. Vnd obwolvielvnterschiedliche meiniingen/wie solche Haupilinien zn ziehen/^ auffdas sie zn notwendiger desension recht eniandercorrespoi^dirn/^ damit je ein wehr die andere desendiere: Jedoch wird ein jeder dißvnserExem-pel mutatis mutandis^ leichilich aiiff sein art zu fortisi-cirn/ zu richten wissn/ vnd in wa^heit ersahrn/ das solche außrechuug/ so diirch die tabulas Sinuum,vnd solietion der .... . [70] ^ Bericht von den Triangel bcschicht / sehrgenaw/ vnd vicl gewiffer .mtreffc/ als wann man nur dcr gemeinen mechanischen art/ die offt vmbvicl paurenschuch fehlt/ sich gebrauchet . bardurch bau m weilen grosser schab verursacht/ vnd vnuützcr ^awkostcn angewendet wiirdt. .^ieiieben zu mercken/ das man in bcrglcichc.. rcchnun^ gen/ in denen radln.. voruen in dcr ..)eegel ^etri/ Vnd also theiier ist/ ciucn sondern vortelhaben würbe/so man an statt der Rut von 1.... schuhen /cin decem^edam^ das ist/ cin maß von 1c.. schuhen nemc/ vnd den schnch in 1.^. Zoll thel^ tctc. .Dann man also durch cm cinige divisiou ohne mühe. samc außrechnimg der brüche / ln gleich die decem^eda.^ schuhe vnd zoll haben kan. Als invorhabendem grundriß/ wann iii dem Triangel l.^GLbie seit l.d ^. r4. d^n.^da.^ .hielte/ wirdt ^.nach der Regel Detrl also gcsiicht. Zn ^infuitg steht der radius r.^. 10000000. in der mitte Gl... 24 142 136. als '^ang^ deß winckels G^B. zu letzt sichte .14. decemr.edre . als dic bckandtc seit 1^ Auß miilti^ Nation deß letzternmit dem mitlern kommen .3^98^4. dieselben mit 1c.^^. dem vordcrn zudivibirn/ werden mir dic sibcnlctztcn.zi^cr barvonabgcschnntcn/wcilb.^ visor soviel milla hat/ also : ^ l^ ... .... ... ..... ... ... . ...^ommcn also zum. .^.uoticntcn crstlich ^. d^nn^d^.. darnach vnbcr dcn abgcschmttenen zahlen die erste zur lin-cken/ nemblich .....weil sie 1^. vnder sich zum Nenner hat/ be.. deutet sie ..^ einer decennv^ das ist/ schuch. ^tem die vol^enb anbcrc ^ahl 9. weil ste/ als Zehler/vnter sich .re^. lum [71] ..nm Weimer hat / btdciitct stc ^ einer d..^.^ d^ lst/9. ^ll. ...^o man aiich noch genawer sucheu/ vnd emi e^ den^oll/ in ^. erste scruvei/ ein ied erstem ^ andere. cimheiientvolte. soivurdeii.^.a^ die dt.itte ^ifeem de..^ g^schiiitteueii ..^bedeuten von emer da^ selnt erste seruvei eiiie^ ^tembievolgchde^. weren clncr d.^^da.. ^ ober 9. andere sorget elne^.oi^/ vnd so sortan. Aiso da^ die seit G^. ctuss.^ ge^ naiveste gerechnet/ helt ^.d^^e..^. schuhe. .^l. ^ ..^ .4 . ^ ^^^^ ^ ^ ^ ^^^^^^^ ^ ^on dieser rechuung durch zehentheili^ vi^^ tinui^tebruchfiiidet man aii^suhrlichen b.^r.ich^ ^ ^Hartman Beyern newen vollkommen ^isier^nsi^ mi ^ahr 16^ .^u ^rancksurt am ^ayn au^gan^en . vnd i^ nicht allein .^^^ leicht vndrichiig. viid weil sie keinnewe ^i^centa(aii^eirom^ men die bezeichne der Skrupeln belaiigent) ersord^rt^n-dernmit gemeiner rechmmg vberein kommet/ ^r ^strono-mischen L oi^i stic n.^it vorzuziehen/ als die vmb viel lan^v^ muh^amer/ aiich ^lmehnlff der so sandten ta^u.l^ gena^ nicht ma^zverncht werden. also das diese viel^ich^ -^ar sa^en mochte/ ivann ^ne/ eils noch ^r. ^it new vn.^ bisher vngewohnliche art^ mehrers in ubiing kommen wu^ ^iim andern/ das Altimetrische Tempel belangen^ n^ogenin beyge^gter sig^ etliche vnterschiedliche di^ei^ is^ne^ geivisen werden. ^ls [72] erstlich/ wan A a^ d.e ho^ ^ ^nr.^ ab^umeffen Etgert/ vnd die weite BG. ^ ^chneh ^iir bekandt angeben .w^rdc mu^ man erstlich d^ emen Quadranten/ ( s^ entweder llgent / wie allhie vorgebildet . oder hangent/wie .^onstcn übltch/ mag gebraucht werden) die groffe de^ wm-.1meis AGB. ober l G ^ crforschcn/ dic sepe 44^. 8'. ^ ^sosein Komplement B A G oder l G ^ 45'^ .52' darnach echlieffct man eintweder nach der 5. .^ege.^ alfo . '^2^.. ^ der ..^ dc.^ wn^e^ ^ A G. 45^ ^. ^ gibt die en.^ [73] anstehende seit B ^.150 schiih/derhalben werden 6963305^ als der linus deß nunckels A.i^B. 44^ .e ^. ^ geben die auch entgegenstehende seit A B. 1 4^. schuh. ^der aber^ nach der 1. Regel vmb viel leichter/ also : wie sich verhelt radin.^ C B. 10000000^ gegeu B A ^701^1. der tangente deß win- ckelsA^B.^.^ .^lso haltet sich diebekandte seit^ ^0. schiih/gegen der gesuchtenhohe B A 14^. schiih. ^um andern kanaiiß obgemelten dati^die lr.^0tenu^ A^. aiich auffziveyerley iveiß gesiicht werdeu: nemblich entwederdiirch die 5. Regel also.^ie sich^erhalte 7177213.^ als der .1nus deß winckels B A ^. 4^. 52 . ^ ^ ^ 150. schiih/also halten sich 1^c^c.^c.c^. radi..... oder l.^^de.l. geraden ivinckci^. A^ ^ 9.... gcgcn A ^. 2.^9. se...uh. .....der aber viel leichter diircd dtc1. ..^egel/ also.. ......adii..... B e..... ........^c.e^. gibt .....A. 1.i9.298c. dic se.eau^tr. l.^ .a.iiierelt. At..^. ..l^. ^. i.^o ivirdt bie bekaiidte ivelte BC. scl.ithgcbcn die .^t..uus..in C ....... 2^9. sel.uh. ^int dritten so dic hohe AB. 145^. bekaiidt/vnb dar. an^dici^citeB .C. ..iiersorst^enn.ere/ tvndt niir die^.... steii dii^orilic.i.. vinbgekehrt/ vnd aiiel.. aiiis..ivei). ^ lu... dest tviiice. ^A^

gcgcn i^ ^

150. schi^

....ntn [74] Zum vlcrbtcn/ so ble bistantzBG. nicht gantz/ sondern nur ein theii derselben/ als CG. 80.schnh bekandt/ vmid man biirch B C. wegen pfützen/ gräben oder ander ver.^ derniiß nicht köndte kommen/wlrdt solcher vbrige theil B C. also in knndtschafft gebracht Ersteh beybeeden stenden C.viibG. ncmc mandlc winekel mit dem Quadranten/ die tommen bcydcm ersten stand G wle droben: Nemblich/ A G B 4 4° . 8'. vnb G A B 45° . 52'. Be^ dem andern stan d C. aber soll dcr winctel AG B.( oder auff dem Quadranten [75] ^ern und ^C. iden /die ich^ ^nd iten

^a^nl^ ^i11^1in^ lsost .^C^. ) ^einvon64^. 15^. vnd also sein complement CA^. ..^oder E ^.)25^5'. Darnach subtrahir man BC.4.^23427.^ als die tangentenr deß winckels CAB. 25^. 45^. ^on i^ ^ 103071^4. als der ta^gente deß winckels CA1^. 45^ 52^ restieren 548376^. welches ist CC. die differentz dieserzweye tangt^ten. .^iiilich wirdt also geschlossen :^ie sich halten

haltet sich bekandte theilC C.80 schii^ gegen dem gesuchten C B 70.^ schuh. So nun C C 80 zu C B addirt werden/ komb^ die gam.e dis^.utz C B. 150 sch^h/darai^ßdannherii^chd^ h^heBA. nach obstehenderersten dimei^sion^siud^. ^iewolsur^^ casu nicht ebt^uv^ uoten/ die gan^e distantz C B. zu wissen : sonderu dit^ h^ B A auch ohne wiss..nschafft deßrbrigen theils C B. solche d^ sich halten C C

.... ....^ ........ ^ ^ ^ ^. ^ ^ ............... ...^....^ e^C .80. schuh/ ge^eu^A. 1.^. schuh. '^um sechsten/ aiiß dem bekandten theil CC. 80. si.hii^ wirdt die ^0tt^nulaAC. oder AC. also gesucht. Dt^ winckel verbleiben ^ wie droben: vnnd si.btrahiret ma^ erstlich . 64^ . 15^. ^on dein sen.ici1cul0 1^ . re.t stieret ACC. 115°. 45^. darzii addiere A C C. 44 . ^ Summa 160°. 53^. die ziehe ab vom sen.ici^nl0 1^0^ restieret der dritte winckel CAC. 1^. 7^. ^eil nun it^ Triaugel A C ^. alle winckel/ vnnd darneben auch di^ seit^ CC.bekandt/ werden nach der ^. Regel aiich die an- dern [76] deru zwo scitcn also gesucht . Wie sich halten 327492'^. der ^uus C A G. 19° . 7. gegen C G. .^0 schuld s^c.^82. dcr iiuus A C G. ^ Als.^ halten ^ich auch ^115^. 45^. (das ist./ schieb gegen ^ Komplements 64°. 15^) ^der^

AC. 220... schuch^ 696^305. der .linus ACC. 44^. 8^ n0te.. nul.a

A C. 1^. schuch. Vud sovicl sch di^mal gemtg von den i^ni.l.. ..'.luuut..... vnd ihrem gebrauch berichtet. ^bs^cheszwar cta.^ auß. suhrlichcr h:tte beschehcn sollen lim tonen. jedoch ist dic form deß .^audbiichlius in acht zunchmen geilst . Vud wirbt ijoffentlich aiich anl^ dlcscr kürtzc der .^ünstltebende günstige eecser sovicl vcrncmcn küimcn/ das cr anleitnng hab. / dcn sachcn weiter nachzublicken . wirdt ihme auch die l.^.ei.s vnd tägliche vbnng e..ii.:rhaub vörtel an dic .^and geben. .Davon zwar aiich ebverst.andener m.als.:n .air ai ibcrn g.'egen.. lheit mit mchrcrm sollc gehandlet werden . damit/ wie beij vnsin vnscrcr Dittersbach begleichen nntzlichc .bimste t.iiitag/vnddenlcnigcnandte^altd gereicht werden/ so ln mangclzcit vnd vukosten/ oder anderer vcrhiuberjiiis.. sen halber audere ..^ prachen/ vnd die darmn bcschribene ^cieunas nicht erlernen mögen. [77] ^a^ene .rriiiiidte sandte ^t^. cantes begriffen^ ^^^^^ ^ ^c.ru.^u^a deß .i^.^ad.^a^ tengerichtet. Antoninm Bertram/ inverlegnng Pauli ^edertz/ .^nno 161^.

Bericht von der Tetragonischen Tafel

Wie nit allein hochnützlich/ sondern auch ganz notwendig die erfindung der Quadrat- vnnd Cubicwurtzel in allen Mathematischen Künsten seye/ ist genugsam bekandt/ vnd also diß orts zuerweisen ohne not. Gleich wie aber in andern stucken der Rechenkunst allerhand nützliche Compendia, zur behendigkeit dienstlich/ erfunden worden: also haben sich auch hierinn etliche bemühet/ einen leichtern richtigern weg beyderleyer extraction zuersinnen. Wie dann vor diesem Joannes Antonius Maginus in einem sondern Buch von behender erfindung der Quadratwurtzel: Christophorus Clavius aber zu ende seiner geometria practica von erforschung der sowol Quadrat- als cubicwurzel/ auß gewissn Taflen/ berichtet haben. Vnd ob wol die Rechenkunst in vnser Muttersprach sehr hoch kommen: ist doch meines wissens von diesem Compendio niemalen ichtes in derselben geschrieben worden. Ist derwegen vor gut eracht worden/ denen Teutschenliebhabern der Mathematic zu nutz/ gemelte Taflen diesem Handbüchlein beyzufügen: auch derselben gebrauch mit kurtzem/ vnd/ soviel müglich/ deutlichem bericht vor augen zustellen.

Was nun erstlich die Tetragonische oder Quadrattafel belanget/ (welche in obgemeltem tractatu Magini von R.1. biß R.10000. steht: allhie aber/ das vacierende Papier zufüllen/ biß auff R.11100. hat müssen außgerechnet werden) ist anfänglich mit wenigem zumelden/ auß was fundament dieselbe gerechnet worden: Damit/ wann es einem beliebte/ er dieselb zu seinem nutz continuirn, vnd auff grössere wurtzlen erweitern möge. [263] Vnd ist zwar nicht ohn / wann man ein zahl / als wurtzel / in sich selbst multipliciert / das jhr quadrat darauß entspringe. Weil aber solche multiplication / bevorab in grössern zahlen/ nicht wenig beschwerlich ist / mag nachvolgendes Compendium an statt derselben gebraucht werden. Setze anfenglich in der ersten zeil (wie in beygesetzem täflin zusehen) die wurtzlen in natürlicher ordnung nacheinander / so viel man deren begert. Darnach in der andern zeil setz die Progression der vngeraden zahlen 3. von an / mit der differentz 2. anffsteigent. Welche zahlen nichts anders seint /als Gnonomes, vnd differentien / zwischen zweyen nechst- oder benachtbarten quadraten.

Daraus dann fürs dritte die Quadrat (so in der dritten zeil ) also gesfnden werden. Zu dem ersten quadrat 1 addier den in der anderen zeil neben ihm stehenden Gnomonem 3. darauß entspringt das andere quadrat 4. darzu addier den anderen Gnomonem 5. gibt das dritte quadrat Vnd also fortan / so man ein quadrat mit dem nebenstehenden gnomone addirt / erwechst allezeit dasn echst volgende quadrat.

Zwar nicht eben vonnöten / das die gnomones neben den Quadraten stehn: sondern man kan sie füglicher addition halber also vntereinander setzen/ wie hieneben zusehen.

Wann mun einer die nachgesetzte Tetragonische [264] Tafel auff solche weiß vber 11100. hinauß weiter fortrechuen wolte / muß er erstlich gnomonem finden / der zu dem letzten quadrat addirt / das nechst grössere gibt. Es haben aber die quadratzahlen ne^n so^ art/ wann ma ^hrwurtzeldup^ert vnd:iu^em du^ 1 ^^i.^^ i^l^^^ i^ ^1^^^^.^^ darzuaddirt/das ne ^si^r^req.^ratg^et. '^eil nun in diesen ^a^en ^ ^. ^ letzte wn^el ist/ so ^iiplier diesem/ Vnd addiere 1. w rden ^01. iolch^rgn^^^n^^ ^em letz^quadra^ 1.^1000^ a^ t^ i^ d^ volgen^e quadrat 123^32201. dessen wlir^e^ 22201.conti- nnire/iu seiner vngeradeii m^ 2. au^st^enden Pro-gressio^/vndaddi^es^^^ ^m^e^ zu den qiiadra- ten/^ie ^rob'^n/vndaus dieser t.^lla. zusein. ^urtze ^ . t^ ....... ^ ...l^e^ ..... ^ l^ ^n0m. .......... &c. ^na^rat. ^er u^.^.^^ ^^^^ ^^343^ l^ ^ ^ t^ .hievon aber scy gcuug. Volgcn etliche Gan0n^. wic ^lchc ^astcnnutzllch zugebrauchen. Die er.'le Regel. Wie lnan dal^ ^nadeat einee ^eden zah^/so nieht vber 1 1 1c^. i^/clu^ der ^ tragmischen ^afel suchen soll. ^ ^ ist die uru^nra vnd außtheilimg dicscr ^afel ....^alsoangestclt/da.^ ^ii öberstvbcr^wcrch/vnb aiiff der liucten [265] tlncken seiten abwertz bic ^.uadratwmtzeln dergestalt ^ ver^ichuet stehn/das ob^i die e^nc^.ar.^ ( das ist. die ..in ienige ..ahleti/ so mit 1e^.c.l^ehn)vnd anff der seit^ iit l wa.^ vuter 1c^. 1st / ^lc.le wudt . .^n der ^af l abeit hc sclbstcn / oder 1u der feldnng / stehn die Qu 1drat a^l..n ac derselben w1u^tzlen. ^o dcrwcgcn cm Quadratwurtzet as . vergeben/ vnd dcffcn ^nadrat ^ wtffcn begert wlrdt/ cn '. souiinde.^lb.uii^ ..ce i 10^. ist/ anff dcr lnicken seircn so wlrstn tn .emeiu.m at

iti- ^ . süreinqiiadrath.^e. ^ieC^^t^.^i^^uembl^ch1^^. ro- ^ ra- ^ cken absteigenden seit . Vnd wo ^ ^ en^ von denCente^ati^ 120^. vnterweris/d^ anderen 40. vberzwerch gebogen wirdt/ zusammen stossen/ allda ^st der gemeine winckel/ so das lagerte quadrat/neml^

^o aber lichl lichh

dcr seit 63. so wirdt dcr gemclnc winckel ^ ben das a.ila- brat 3969. ^m fall die vorgebene wnrtzel gröffcr ^ tee als111^. m^ ihr Quadrat durch mulnvl.eanonmiich s.lbst/wic fitsten gebrcnch^ch: oder abcr an^ diesen ..^en so.. chergestait gesucht werden. ^icv^rg..beue wnrtzel dl-vidier mit 2.3. 4. vder einer andern ^ahl dardurch ste auffgeht. ..^es. ^ioti.:uten^.uadcatniinai^der solches guadrat multiplicier nut dem o.nadratde^ chet-lers. was kombt/ist das anazider v.^raebenen ^ahl. Als/ wcilblc wiirtzel 2^685. nicht m der ^afel begrmen/ [266] so dividiere sie mit 3. deß quotienten 7895 quadrat wirdt in der Taf.l gesinden6^310..5. dieses muliiplicier mit dem quadra. d^ß iheilers ^ nemblich mit 9. kommen 560^.^25. welches ist das eigentliche quadrat der vor.^ gebenenwurtzel 23685^ ^ic ander Re.^. ^ ^ ^^^^^ ^ .^ner ^eden ^l so mc.^ ^er 1 2^2 1 ist/ solle aufziehen. In jede zahl ist entweder ein persect vndvollkom-menes Quadrat/dessen eigentliche gewisse wurtzck maii haben kan : oder aber sie ist ein surdu^ nume.rus^de-ren rechte vnsihlbare Quadratwurtzel man nicht kan ^ ^nden/ sondern man muß sich mit einer wurtzel begnü-^ gen lasse'n/ die sich der rechten zimblichen nachöhmet. ^. In beeden arten wirdt also Procedirt. Erstlich theile dievorhabende zahlabin st^re begriff/ also das zurrech- i ten hand angefangen/ vnd je nach zweyen Ziffern ein ^ strichlein gemacht werde. Welches darzii dienet/damit man inderTe^ragonischen Tafel desto behender nach-schlagen m^e.Dan soviel derselben begriffe seind sovick ziffer wirdt aiich die Quadratwurtzel habe. ^um andern vorhabende zahl suche in der feldung der ^etragonischen Tas'l/ vmb dieselbe gegend / da die wurtzlen von sovii... Ziffern stehn.^al.^ viel man begrisshat : oder/da die qua-drat seint/^ die eben von soviel Ziffern vnd deß anfangs/ wie das dei.uge. So nun eben dem zahl in der Tafel steht/ ist sie ein rechtes Quadrat : dessen wuri^el ist die .^ahl/ so zusammen gesetzt wirdt au^ denzn oberst stehen- ^den Cent^nari^. vnd der andern zai^l ^nte^. 100.sone- ^au^sder l.nck^n ^iten steht. ^uln [267] rbt uit ien or. m^ ^dc. gn uü . .tct. ilc .ch-cin mit ich. crn .den .vt..l

Zum Krempel/ cs wirbt bcgcrt/an^ 14/^25. ble ^iiadratwiirtzcl^n suchen. ^hciler^ch die ...^ m il./re begriff als.^ . 14 ../8 . 4^ l 25/ ^ell ste iiiii .vier begrm v^ .... Ziffer hat/ so snchc sie vmb dieselbe gegend/ d^ die wiirtzcl von 4. Ziffern/ r^nd die aiiadrat von ^ ^iern mit 14. aiiiangmd stehen/ se. wirstnvorhabende zai..l nist. stchend studen/ vnter deii C^t^il^ vndann der luickcn scit neben sich habend 45. ^ lche ' wo ^ .^'n/ ncmblich vnd 45. ...usanunen ges..et ' ^.eben die eigentliche wnrtzel dei.. vorhabenden Quadrat 14^4c.25. ....... Wann aber die anffgeb^ne zahl nlcht kommen m ber ^asel gesunden würde/ ists eln a^eignng^ de^ solches euisurdii^numeru^vnd nicht recht geviert sei/e. besten ncihcne wnrtzel ( danndieeig.niliche iiinimer ge-funden werden kan .i zu suchen/ halte volgenden prore^. ^uudasucchstkülnere Quadrat/ iambt seiner wnri^ solcher gestalte wie vor. dieser ges.uidenenwur^ ^ cin^raction angeheneki . die also znsuch.n ^ubtra- hicr ictzt genielteonechstkleüiercs^ia^at v^ndemdei. nigen. ^as bleibt/ ist der Dehler. ^a. na^. diwl^.r ^ gedachtcwurtzel . vnd zudem dnp.at addiere ^olch^ siunina ist dcr Neuner. dieser briich ^u der Urgenin-deneuwur^lv^. ganzen zahlen g^hau/inachtdtewnr- tzel der auffg ebenen indischen .^ahl . die ^.war gautz vnd ciaeml.ch/svndern allezeit vmb etwas ^nwe.. nig ist. ^wegm dann auch/ wann ste in ^ multivucieret w.rdt daovre^biictallc.zclt etwas kleiner/ als die an.^bene ^l/ befunden wlrdt. aber der ab^ gang se. gering/das er keinen merklichen jrnhumb^m-gen kan. Alscswirbtmsuchenbegertdlenahnewnr. ^dieser smbischen .ahl 18./8135^nb well diese i^cht selbst [268] felbstmder Tafel steht/sonime das nech st kleinere qua- drat/sodarinn begriffen/nemblich 18974^ 36.dessen wurtzel ist 4^56. Darnach subtrahiere solch nechstklet-.nl.res quadrat von deiner vorhabenden zahl : restieren 6621. welche ist d^rzeh^r. Enilich duplier die gesund denewur.^el 4^. vndzu dem diiplat 8712. additre 1^ werden ^713.derKeuuer : vnda^so dieser bruch:^.^ welcher zu gemelten 43^.get^^ die nahenewurtzel d .r a issgebeue surdische zahl 1^98135^ So man aber solche gebrochene zahl in einer andern benenn^ng./alsvon 100^1000. rc. haben wolte/ so mul^ tiplicierdenzel^lermit dem begertennewen Kenner/als tnit 100. oder 1000. ..c.das prodnct dividiere mit dem Gilten Kenner : der Quotie.it ist der newe zehler/ vn1^ ..oder 1000. ode^^ Kenner. ^ls in vorigem Exempel/der zehler 6621.mit 1000. mnlnplicnt/ ist 66^1000. diß dividiere mit dem Kenner ^713. kommen 7.^. (was in derdivision vber^ bleibt/ ist nicht zu achten ) Ist also die newe/ der vorigen .^leich^ltende/viid .^urbenennung von1^00.reducirte ^action diezuden gantzen zahlen gesetzt/ bringt .-...^ ^ d^e na^ene ^u^.ck vorhabender surdi-Anzahl. ^ ..... ^^.i....,........^ ^ ^ Die dritte Reget. Wiean^eine^^elnen tischen ..a^i die nahene wurtzel zu linden. ^^Er a.^d.re theil abgesetzter Regel kan zwar aiich ^^^e.zu^ braucht werden. Aber doch kan man die ^m^i^ i^^^v^eigentlicher bekommen aiiffnach- volg.nde [269] volgende weiß. 1. Vorgebene kleine zahl mehre m^ einem/zweyen oder mehr par cn culn od.^r nul.a/ a^s ^0.. 0000. 000000. doch also^ da^ die zahl nicht vl^er 12^210000^welchs ist das gröste quadrat dieser Tasel^ erwachse. 2 Die Quadra.wurtzel dieser vermehrten ^l s^i^ d^cr ^seI^ ^^^^^^t^ ^^el. 3. Von solcher geslindenen wurtzel r.^ff ^r rechen hand sov^l siguren hinweg/ alsviel par cuculn ^uvor zurauffgeb^ nen zahl hinzu gesetzt worden seint. Di..se hinweg ge-worffene zahl ist der '^e.er . der Kenner aber ist entweder 10. so nur ein par/oder100. so zwey/oder 1000. so drch par circuln hinzu gethau worden stint. Es sey die anffgebene zahl 8. dara^ die Quadrat^ wurtzel zwar nach der obstehenden 2. Regel gezogen/ist 2^. Abersoman zusolcherzahl noch dre../ ^ar circuln setzt/ also/ 8 ^ 00 ^ 00 ^ 00 ^ vnd in der Tasel die nahene wurtzel dieser vermehrten zahl suchet/ welche al^hie ist -^28. (NB. den rest der Siibtraction der nechst kleinern zahlvoiid^orhabeiidenpstegt man in dieserOperation als die .vurtzel/dann in solchem fall kan man die wurtzel vmbeinvnitet vermehren ) von solcher wurtzel die drey letzten figurn 8...8. abändert/ vnd an statt deß Dehlers. an deß Kenners aber 1000. setzet: ( weildreyparcirciiln zuvor hinzu gesetzt worden) vnd solche sraction zn der vbrigeiizahl2.setzet/so bekommet man viel einnehneve vnd eigentlichere .Quadratwurzel der vorgebenen siir.^ dischen zahl 8. als durch vorige Regel/nem lich ^. Darbey zu mercken/ das solche vermehrimgmithin^ setzung der circuln nicht allein beydergleicheiikleii^en^ sondern aiich gr^ssern surdischeu zahlenmit nntzzuge- braiichemvndjemehrpardercirciiln addirt werdende K 5 genawr.r [270] genawcr auch dicwurtzelkombt. Allem wcilauffsolche wcil.. die zahl vber 12321c0^. als das gröste Quadrat vnscrcr ....afcl erwachst/ kaudic overation diirch vorha-beube Regel allem nicht vcrucht werden. sondern es mii^ iiachvolgcudc zu hülffgeuommen werde... Dievierdte.^egei. Wie inan ^ie^na^eat.^ne^eian^ einer zahl/ die ober 1^21^^. ili/ durch hülff der ^ctragonischcn ^afel aufziehen soll. '^c^ctragonischc^afel ist eigentlicher anff die ienigen zahlen gerichtct/sovnter 12^21^0.selnt. .^m fall aber ein gröfferc zahl zuresolvlrn ^orkemc/so them man erstlich dicselbeablnihrcbegrlff/ wiebroben gelehrt. darnach mmbtman die ersten vier/ viid bll^ weilen auch fünff begriff ^ur lincken ^and/ l.nemblich welche nicht mehr halten/als obgemeltes groste Qiia- drat dcr ^etragonischm .^afel ) die übrigen begriff aber .ur rechten werden abgeschnittene anff weitern be- scheid behalten. Znm dritten dle nach dein abschmt noch vberbleibende begriff/ als Quadrat / suche m der ^.ctragonischen ^afel nach anwelsung der anderen ^.e-gel: dieselbe wurtzel verzeichne ..um Quotlcnten. viid tm fall bicvorhabende ^ahl iiichtvölllg ln dcr^afel steht^ so niin dic nechst kicinerc/vnd subtrahlcrc sie von der vorhabenben. ^ürsvierbteau^dem abschnit ^iid noch restierenden zahlen dle wiirtzcl ^n crtral .irn/ ob wol ^ ginus cin andere artgebranch^ dle hernach ^l ange. ..eigt werden: ist doch am allersicher^vnd gewiffesten/ es beschehc solches diirch die gnomonlsche dlvi^n/wie sonsten in gemeiner ^er^n.^ebrcuchlichen^so. 1. .^upuer [271] ^t

s 1t. so ^en i^ lch ia^ bc.. nit bcr md ht/ er ch ^a-^ge-en/ ^lier

ziss^ Duplierd^n Bautzen Quotienten . deß dup^ats erste i^evnterdiel^ ^tzie zisser del^ vor- stehenden begrisss ziir lincken/vnd schreib. die velgen- den jmerord^ntlichfortgegen der lmcken h^ud vnter denrest d^.r obgemelien fubiraction. Vnd diesem diiplatistderThe^ler. 2. Durch diesen Theiler dividiere die r^cht^ ol^ schribene za^l/doch dergestalt/da^ die zahl/welche da erwachst auß m^lt^plicierung deßTheilers vnd b^yge- siegten zifferdeß^iiotieuten/^durchdeii letzteQuonent/ ss^ zissern deß Quotienten. ^. Eben diesen Quotienten setze vnter d.e erste z^er deß vorstehenden begriffe beider rechten hand.. 4. ^it diesem letzt gefundenen Quotienten multipli-.riere den Theiler/ sa^ibt seinem beygefügten Qiiotien-ten./ alswanns eine zahlwere : was da koml^ subtrahir von der obgeschrib.nen zahl. Dieser ^est^t verfahr^ ordentlichbe^a^ die wiirtzelaiiß 1359^68.^ zu ertragen/ so werden erstlichdievierersteiibegriff/nemblich 13^ 59^ m der Tafel nachgeschlagen/ vnd zwar nichi gautz/ al^er doch das nechst kleinere Qiiadrat 1359.969. vnter der wurtzel ^.gefunden vnd von vorhabender zahl abae- zogen : bleibt per resto 4004. steht in der operatioii also^

ferner auß diesem rest vnd vbrigen vorbehaltenen dre^b^issen ^^8^9^viid erstach zwar auß dem ^ol- senden [272] genben bcgriff vnnb zugehörigem rcst / ncmbllch aul^ 4004 . l die wurtzel durch guoinonische division .zu ej.trahun/ so^ltcr a. anglich dcngantzen Qnoticn. cen / nembuch die vorgefundene wurtzel ^68./ werden 7374. btc^s bnvltu schreibe vliter des. vorstehenden bc-griffe lernte ziffer ^3. vnnd ihre zugehörigen restierei.dc. ^urch eben bis. bup'at thelle dle obgeschriebene zahl. dcn gesuudeueu Quotienten 5. schrclb beydes zu deuen vorl- gen Quotienten/ vnd aiichncbcn den ^heiler/ vutcr dic 7. .tetzlich mulupllcierc den theller vn.^ seln beygefügtc ziffer diirch diesen Quotienten/ nembüch ^45. durch 5. so kommen 368^25. dic subtrahlrc von denen obge- schribcncn 4^04^. vnd blclbcn ^./^ stchtalso . 7 r^ ...^ ..^ ../^ ....'^ ..... ^ ^ 7 l ^

1:..

1

Volgcnber begriffvnb gehöriger rcst^ ist 3t..12l 68 . vnb wirdt allerdings/ wic bcr vorige rcsolvnt/dasman nemblich den gantzcn Quoticnten ^68^5. dupllcrc . das diivlat73750.vutcrdc^ begriffs letzte ziffer 6. vnd an^ Agenden rest schreibe : damit die ^geschriebene zahl 31^1268. dividiere : den Quotienten 4 zu denen vorigen Quoneuten/wie denn aitch neben dem ^heiler/ viitcr zeichne: den ^heiler/ sambt seiner letzt bedingten ziffer/ durch diesen letzten Quotienten mnltiplicrerc . das product ...95... .^.6. von der obgcschricbcncn za^l 31^68. [273] tr zu n^ en ^c. cn ri.. .^ic

^..1268. abzlchc / blciben uber/ welche mlt ^o.- geudenle^cmbegri^49üwchznresolvtrnvberlg^aller. mausen u^ie vor/nemblich diirch bei. gantzeii Quoticn.. tei.is duplat .^8. dividier gemelten r^st. dcn Qiio-neu tcn 3. schrcib zi i dcm vorigen Quotie nten^ vnd auch ncbcn das duplat/ vntcr 9. .^urch dlesen lctztcnQuo-meinten ^.multwlicier da^ duplat vnb beygc^gtc zlffcr.. ^beiier zahl ziehe so bleibt inchts vbrlg. ^arau^ ... auffg^ ^ ^ ^ seye/ deren eigentliche .^ur^ ^8^5^ ^e^e Nation

^7 ...... .......

7 7^

.^7 ^4 ^4 i.^i.^ 8^

Voigt auch cinErcmpel clncr siirbischen .ai^/ü. dcrcnman dlcfitnffcrstcbcgnffinder ^afel nachschla.^ ^cn [274] gan kan : die seye .20627^1^3^. weiche a^ massen/ wie vor/^ re^l^irt/^ vnnd .l^e nahene w^ 1 0^ 3042 ^ ^ gesunden wirdt/wie an^ be^- gesagter desci i^ti0n zlisehen^ ^

3

^^^^^ 2 1^ 2 ^ l

^^^^^ 2 1^ e^ ..... Was droben zu ende der 3. Regelgemeldetwor^n/^an außvolgendemExempelver^andenwe^den. ^ s^ discher zahl 6^5. die nahenew^rl^el ziiertr^irn/thnezn derselben etliche par cncnln/ als 6^.00000000^ diesem vermehrten zahlen wnrtz^l ist 25^. (wa^ be.^de.... e^ traction vberbleibet wirdt nicht g^acht) vndwetl di^ auffgab zwen begriff hat / so werden von s^en tienten nur die zw^ ersten zahlen .^5. behauen . die ^ genaber .i^. seint der^ehler/vnd 10000. der^enne^ nemblich von vier cirt^n./w^il vier pai^cnln vorhin ^uffgebener ^ahlziigesügtworden^ [275] Maginus lehret an statt der gnomonischen division ein anders compendium/ man solle die vier (oder in dieser erweiterten Tafel bißweilen auch fünff) erste begriff in der Tafel nachschlagen/ davon das nechst kleinere darinn begriffene quadrat abziehen (in massen auch droben gelehrt) zu dem rest soviel circuln addirn/ als viel begriff abgeschnitten worden: das gefundene nechst kleiner Quadrat von dem nechst grössern abziehen (oder/ welches eines ist/ die wurzel deß nechst kleinern Quadrats dupliern: zu dem duplat 1. addirn) mit diesem rest oder duplat vorigen rest vnd beygefügte circuln dividirn: den Quotienten zu vorgefundener wurtzel deß nechst kleinern Quadrats setzen.

Es hat aber diese art/ neben dem/ das sie in grossen zahlen ohn mercklichen Irrthumb nicht zugebrauchen/ auch diese vngelegenheit/ das dadurch auß einer kleinern/ vnd also viel mehr grössern recht gevierten zahl die rechte Quadratwurtzel nicht gefunden wirdt. Als in vnserm ersten Exempel 13597973376849. so ein recht Quadrat/ vnd sein eigentliche wurtzel 3687543. ist/ wirdt [276] Maginus lehret an statt der gnomonischen division ein anders compendium/ man solle die vier (oder in dieser erweiterten Tafel bißweilen auch fünff) erste begriff in der Tafel nachschlagen/ davon das nechst kleinere darinn begriffene quadrat abziehen (in massen auch droben gelehrt) zu dem rest soviel circuln addirn/ als viel begriff abgeschnitten worden: das gefundene nechst kleiner Quadrat von dem nechst grössern abziehen (oder/ welches eines ist/ die wurzel deß nechst kleinern Quadrats dupliern: zu dem duplat 1. addirn) mit diesem rest oder duplat vorigen rest vnd beygefügte circuln dividirn: den Quotienten zu vorgefundener wurtzel deß nechst kleinern Quadrats setzen.

Es hat aber diese art/ neben dem/ das sie in grossen zahlen ohn mercklichen Irrthumb nicht zugebrauchen/ auch diese vngelegenheit/ das dadurch auß einer kleinern/ vnd also viel mehr grössern recht gevierten zahl die rechte Quadratwurtzel nicht gefunden wirdt. Als in vnserm ersten Exempel 13597973376849. so ein recht Quadrat/ vnd sein eigentliche wurtzel 3687543. ist/ wirdt [277]

Bericht vom gebrauch volgender Cubictafeln

Es wirdt in diesen Taflen nachgeschlagen/ vnd der Cubus einer jeden zahlen/ so vnter 1000. ist/ gesucht/ allerdings wie droben von den Quadraten in der ersten Regel gelehrt. Ist also ohnnot/ hievon mehrers zu melden.

Vnd nach dem diese Taflen nur auff die Cubicwurtzlen von 1. biß 1000. gericht/ wofern einer dieselben zu seinem gebrauch erweitern wolte: thue ers solcher gestalt. Die vorhabende zahlen/ als Cubicwurtzlen/ multiplicier durch ihre Quadrata (die man dann auß voriger Tetragonischen Tafel von 1. biß 11100. zum besten haben kan) so entspringen darauß ihre Cubi. Als / so man die wurtzel 1240. mit ihrem Quadrat 1537600 multipliciert/ kombt ihr Cubus 1906624000.

Man kan aber die sach kürtzer begreiffen durch volgendes mittel. Gleich wie die Quadrat daher erwachsen/ so man alle vngerade zahlen von 1. natürlicher ordnung auffsteigend/ als ihre gnomones/ oder differentien continuè zu den vorhergehenden Quadraten addirt/ wie droben gelehrt: Also ist auch bey den Cubis ein solche differentz zu finden/ die zu dem vorgehenden Cubo addirt/ [357] alsbald den nachvolgenden gibt.

Mach ein Arithmetische progreß von 6. an/ so weit vonnöten/ deren differentz seye 6. Also: 6. 12. 18. 24. 30. etc. wie in der ersten zeil beygesetzten täfelins zusehen. In der anderen zeil aber werden gesetzet die differentien oder vnderscheid eines jeden Cubi vom andern/ mit solcher ordnung. Anfangs neben 6. setze 1. vnd darunter 7. welche zahl entspringt anß addition deren neben einanderstehenden 6. vnd 1. Unter diese 7. setz 19. die auß addition 12. vnd 7. erwachsen. Vnd also fortan so man addirt die zwo zahlen/ so in der ersten vnd andern zeil neben einander stehn/ werden sie geben

[358] die nachvolgende oder untere zahl in der andern zeil. In der dritten zeil werden die Cubi ordenlich nach einander gesetzt/ die man durch continuirte addition der zahlen erstgemelter anderen zeil solcher gestalt suchet. Der erste Cubus ist 1. zu deme addier die volgende differentz 7. kombt der andere Cubus 8. zu deme addier die volgende differentz 19. kombt der dritte Cubus 27. vnd also fortan. Endlich in der vierdten zeilen werden ordenlich ihre wurtzlen gesetzt.

Ob die continuation der ersten und anderen zeilen recht verrichtet/ wirdt also probiert. Vnd anfangs zwar die erste zeil betreffent/ ist zu wissen/ das ein jede zahl der mit 6. auffsteigenden progression/ sechsfach ist gegen der Wurtzel deß nebenstehenden Cubi. Als 18. ist sechsfach gegen der wurtzel 3. Item 42. gegen 7. etc.

Darnach die ander zeil betreffent/ probirt man sie also: multiplicier mit 3. so wol die vorhabende Cubische wurtzel/ als auch ihr quadrat: diese zwey product/ vnd ein vnitet addiere: solche Summ ist die differentz deß Cubi der vorhabenden wurtzel vom volgenden Cubo.

Als in obstehendem Täfelin/ zu probiern/ ob die differentz zu R.5. gehörig/ nemblich 91. recht gesucht worden/ so tripliere bedes solche 5. vnd sein quadrat 25. werden 15. vnd 75. addier diese zwey [359] product/ und 1. werden 91. welches ist Gnomon, oder die differentz deß Cubi von R. 5. von dem volgenden Cubo R.6.

So man nun diese Tafel vber R.1000. zu erweitern begert/ so muß man suchen erstlich die zal dero mit 6. auffsteigenden progression/ zu der letzten wurtzel 1000. gehörig: Solche ist 6000. (nemblich sechsfach gegen der wurtzel/ wie kurtz zuvor gemeldet) darnach die differentz deß letzten Cubi 1000000000. vom nachvolgenden: diese ist 3003001. Solche zwo zahlen der progressin vnd differentz continuire/ vnd suche drauß die Cubos nach droben gegebener lehr/ so weit du wilt. Wie auß beygefügtem Täfelin zuvernemen.

Soviel nun die extraction der Cubicwurtzel

[360] betrifft/ theile erstlich die auffgab in ihre begriff/ also das du bey der rechten hand anfangest/ vnd je nach dreyen ziffern ein strichlein mächest. Soviel deren begriffen seint/ soviel ziffer wirdt auch die Cubicwurtzel haben.

2. Die ersten drey begriffe such in der Cubictafel: vnd so sie nicht gantz vorhanden/ so nim den nechsten kleinern Cubum/ ziehe ihn davon ab.

3. Der rest vnd vbrige begriff werden durch die gnomonische division/ wie sonsten gebreuchlich/ resolviert/ nemblich also:

9. Triplier den gantzen Quotienten: dieses triplats erste ziffer zu rechten hand setz vnter die mitler ziffer deß vorstehenden begriffs/ vnd die andern volgende nach einander gegen der lincken.

2. Diß triplat multiplicier durch den gantzen Quotienten: deß products erste ziffer zur rechten setz vnter deß vorhabenden begriffs letzte ziffer zur lincken vnters Triplat: diß product ist der Theiler.

3. Damit dividier die obstehende zahl: doch also/ daß das product/ welches erwächst auß multiplicierung deß Quotienten mit etlichen volgenden vnderschiedlichen zahlen/ nicht grösser werde/ als die obgeschribene zahl. Diesen Quotienten verzeichne zu denen vorigen ziffern deß Quotienten. [361] 4. Mit diesem letzten Quotienten multipliciere den Theiler; das product setz vnter den Theiler.

5. Diesen letzten Quotienten quadriere (das ist/ multiplicier ihn durch sich selbst) vnd mit diesem quadrat multiplicier das nechste triplat: das product aber setz vnter das triplat.

6. Eben diesen Quotienten multiplicier Cubicè: und setze dessen Cubi eusserste ziffer zur rechten/ vnter die eusserste ziffer deß vorstehenden begriffs auch bey der rechten hand.

7. Diese drey product addier zusammen: die Summ substrahier von obgeschribener zahl. Ebenmessig procedier bey allen begriffen. Zum Exempel/ auß dem Cubo 643763976149736. die wurtzel zusuchen/ theile ihn erstlich in seine begriff/ vnd suche die ersten drey begriff in der Cubictafel/ die du zwar nicht gantz/ aber den nechst kleinern Cubum 642735 647. vnter der wurtzel 863. findest/ den subtrahier von gemelten dreyen begriffen: restieren 1028329. Erstgedachte wurtzel setz an statt deß Quotienten/ also:

Ferner solchen rest vnd volgenden begriff/ nemblich 1028329 | 149. durch gnomonische division zu resolvirn/ so tripliciere erstlich den Quotienten

[362] Qutienten 863. so sinds 2589. dieses triplats letzte ziffer setz vnter die mitler ziffer dieses begriffs/ nemblich vnter 4. vnd die andern vntervolgende. Das triplat 2589. multiplicier durch den gantzen quotienten 863. vnd das product 2234307. schreib vnter 1. als die letzte ziffer dieses begriffs/ für den Theiler. Durch diesen Theiler 2234307. dividier die obstehende zahl 1028329149. vnd den quotienten 4. setz zu denen vorigen zahlen deß quotienten 863. mit diesem quotienten 4. multiplicier den Theiler 2234307. das product 8937228 schreib vnter den Theiler. Ferner den quotienten 4.quadriere/ werden 16. damit multipliciere das nechst triplat 2589. das product 41424. schreib unter das triplat. Weiter multiplicier den quotienten 4. cubicè, kombt der Cubus 64 den setz vnter 9. die eusserste ziffer dieses begriffs. Letzlich addiere diese drey product 8937228/ 41424/ vnd 64. die Summ 894137104. subtrahier von obgeschribener zahl 1028329149 bleiben 134192045. die mit dem volgenden letzten begriff |736| noch zu resolvirn vbrig/ welchs allermassen/ wie bey vorigem begriff geschicht. Nemblich triplier den gantzen quotienten 8634. deß triplats 25902 letzte ziffer setz vnter 3. die mitler ziffer deß vorhabenden begriffs. Eben diß triplat multiplicer durch den gantzen quotienten: vnd das product 223637868. schreib [363] unter 7. die letzte ziffer dieses begriffs/ für den Theiler: dardurch dividiere die obstehende zahl 134192045736. vnd den quotienten 6 setze zu den vorigen zahlen deß quotienten/ vnd multipliciere damit den Theiler: das product 1341827208. setze vnter den Theiler. Gemelten quotienten 6. quadriere: mit dem quadrat 36. multiplicier das nechste triplat 25902. das product 932472 schreib vnter das das triplat 25902. Ferner den quotienten 6. multiplicier cubicè werden 216. die setz vnter 6. als die eusserste ziffer dieses begriffs zur rechten. Endlich addier diese drey product 1341827208/ 932472/ vnd 216: die Summ 134192045736. subtrahier von der obgeschribenen zahl/ so bleibt nichts vbrig. Darauß dann erscheinet/ das die angegebene zahl 643763976149736. ein rechte Cubische zahl seye/ deren eigentliche wurtzel 86346. welche so sie mit ihrem quadrat 7455631716. multiplicirt wirdt/ gemelten Cubum 64376397149736. völlig wider bringt. Der ganzte proceß dieser operation ist auß volgender description zuvernemen.

[364]

Wann aber die zahl nicht recht Cubisch/ sondern surdisch were/ so wirdt sie erstlich mit etlichen Cubischen oder dreytheiligen Circulbegriffen vermehret/ je mehr/ je genawer. Darnach auß dieser vermehrten zahl ziehe die Cubicwurtzel eben wie bey den rechten Cubischen zahlen/ was letzlich vbrig bleibt laß fahren. Von der gefundenen wurtzel behalt zur linken so viel ziffer/ als viel begriff die auffgab hat: die vbrigen ziffer aber geben den Zehler: der Nenner aber ist entweder 10. so ein begriff/ oder 100. so zwen/ oder 1000. so drey begriff [365] griff circuln addiert worden: vnd also fortan hat der Nenner allzeit soviel circuln/ als viel begriff derselben zur auffgab gesetzt: allermassen wie bey den quadratzahlen gelehret worde. Zum Exempel auß der surdischen zahl 23. die Cubische wurtzel zu extrahirn/ so vermehre sie mit vier begriffen/ also 23|000|000|000|000. Dieser vermehrten zahlen wurtzel wirdt nach obstehender lehr gefunden 28437. davon wirdt nur die erste zahl 2. für die gantze wurtzel behalten/ weil die auffgab 23 nur einen begriff haltet: die vbrigen aber 8437. seint der Zehler: vnd 10000. der Nenner/ nemblich von 4. circuln/ weil die vermehrung mit 4. begriffen geschehen: Die operation ist also beschaffen.

			51
		11	28	15
	33	98	669	893	547
	23	000	000	000	000
		909	304
Tripl.			8	52
Theil.		24	196	8
		72	590	4
			76	68
				27
Tripl.		72	667	107
Theil.				85	29
		2	424	794	7
		16	973	562	9
			4	179	21
					343
		26	977	742	453		T   v