Nicolaus Coppernicus aus Thorn über die Kreisbewegungen der Weltkörper/Drittes Buch

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Nicolaus Coppernicus aus Thorn über die Kreisbewegungen der Weltkörper (1879) von Nicolaus Copernicus

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[131] Nicolaus Copernicus’ Kreisbewegungen. Drittes Buch. Capitel 1. Ueber das Vorrücken der Aequinoctien und Solstitien. Nachdem die Erscheinung der Fixsterne dargelegt ist, müssen wir zu demjenigen übergehen, welches einem jährlichen Umlaufe unterworfen ist; und zu dem Ende wollen wir zuerst von der Veränderung der Nachtgleichen handeln, wegen derer man geglaubt hat, dass auch die Fixsterne sich bewegen. Da finden wir nun, dass die alten Mathematiker den Jahreswechsel, nämlich den natürlichen, welcher von der Nachtgleiche und der Sommerwende abhängt, von demjenigen nicht unterschieden haben, welcher von irgend einem der Fixsterne an gerechnet wird. Daher kommt es, dass sie die olympischen Jahre, welche vom heliakischen Aufgange des Sirius anfingen, für dieselben hielten, als diejenigen, welche von der Sonnenwende beginnen, indem der Unterschied der einen von den andern noch nicht erkannt war. Der Rhodier Hipparch aber, ein Mann von bewunderungswürdiger Geistesschärfe, bemerkte zuerst, dass sich dieselben von einander unterschieden, und fand, indem er die Grösse des Jahres aufmerksamer beobachtete, das auf die Fixsterne bezogene grösser, als das von den Nachtgleichen oder Sonnenwenden abhängige. Daraus schloss er, dass auch den Fixsternen eine gewisse Bewegung zukomme, die aber so langsam sei, dass sie nicht sogleich bemerkt würde. Gegenwärtig aber ist durch den Verlauf der Zeit diese Bewegung sehr auffallend geworden, so dass wir jetzt einen weit anderen Auf- und Untergang der Sternbilder und der Sterne beobachten, als die Alten angegeben haben; und die zwölf Theile der Zeichen des Thierkreises um einen ziemlich grossen Abstand von denjenigen Sternbildern zurückgewichen sind, welche ursprünglich mit ihrer Bezeichnung und Stellung übereinstimmten. Diese Bewegung wird ausserdem noch ungleichmässig gefunden, und Diejenigen, welche den Grund von dieser Ungleichmässigkeit angeben wollten, haben verschiedene Ansichten aufgestellt. Einige glaubten, [132] sie bestehe in einem gewissen Schwanken der schwebenden Welt, wie man bei den Planeten auch ein solches Schwanken um ihre Breiten wahrnimmt; sie werde deshalb einst um ebenso viel wieder zurückgehen, um wieviel sie von gewissen Grenzen aus vorgeschritten wäre, und ihre Abweichung nach beiden Seiten betrage, von ihrer Mitte gerechnet, nicht mehr als 8 Grade. Aber diese jetzt veraltete Ansicht konnte hauptsächlich deshalb nicht bestehen, weil es schon hinreichend feststeht, dass der Kopf des Sternbildes Widder von dem Frühlingsnachtgleichenpunkte um mehr als dreimal 8 Grade abweicht, und dies bei den andern Sternen sich ebenso verhält, während inzwischen so viele Jahrhunderte hindurch keine Spur eines Zurückgehens bemerkt ist. Andere sind der Meinung gewesen, dass die Sphäre der Fixsterne mit ungleichmässiger Bewegung vorschreite, haben aber kein bestimmtes Maass angegeben. Dazu kam noch überdies ein anderes Naturräthsel, dass nämlich, wie wir schon gesagt haben, die Schiefe der Ekliptik uns nicht mehr so gross erscheint, als dem Ptolemäus, weshalb Einige eine neunte, Andere eine zehnte Sphäre in der Hoffnung ersannen, dadurch die Ursache zu finden; dennoch konnten sie das Versprochene nicht leisten und schon sollte noch eine elfte Sphäre hinzukommen Diese Zahl von Sphären werden wir aber bei einer Bewegung der Erde leicht als überflüssig beseitigen. Wie wir schon im ersten Buche zum Theil auseinandergesetzt haben, sind nämlich die beiden Bewegungen, der jährlichen Declination und des Mittelpunktes der Erde, nicht völlig gleich, und zwar übertrifft die rückläufige Bewegung der Declination, den Umlauf des Mittelpunktes um ein Geringes. Daraus muss nothwendig folgen, dass die Nachtgleichen und Sonnenwenden, zurückzuweichen scheinen; nicht weil die Sphäre der Fixsterne vorwärts, sondern vielmehr weil der Aequator, der wegen der Neigung der Erdaxe gegen die Ebene der Ekliptik selbst geneigt ist, rückwärts fortrückt. Es erscheint nämlich in Rücksicht auf das Grössere und Kleinere, angemessener, dass man sagt, der Aequator sei gegen die Ekliptik, als die Ekliptik sei gegen den Aequator geneigt. Die Ekliptik, welche durch die Entfernung der Sonne von der Erde im jährlichen Umlaufe beschrieben wird, ist nämlich viel grösser, als der Aequator, welcher, wie gesagt, durch die tägliche Bewegung der Erde um ihre Axe bestimmt wird. In dieser Weise sieht man jene Schnittpunkte der Nachtgleichen, mit der ganzen Neigung der Ekliptik im Laufe der Zeit vorrücken, die Sterne aber zurückweichen. Das Maass dieser Bewegung aber, und das Verhältniss der Ungleichmässigkeit, war den Alten so sehr verborgen, dass man nicht wusste, wie viel bis dahin die Bewegung betragen habe, und zwar wegen ihrer nicht abzuwartenden Langsamkeit, da sie seit so vielen Jahrhunderten, in denen sie anfangs den Sterblichen unbekannt geblieben war, kaum den fünfzehnten Theil des Kreises zurückgelegt hat. Nichts desto weniger werden wir, nach dem, was uns die Geschichte der Beobachtungen davon überliefert hat, dieselbe, so weit wir dies vermögen, bestimmen. [133] Capitel 2. Geschichte der Beobachtungen, welche beweisen, dass das Vorrücken der Nachtgleichen und Sonnenwenden ungleichförmig sei. In der ersten 76jährigen Periode des Callippus, im 36sten Jahre derselben, welches das 30ste Jahr seit dem Tode Alexanders war, verzeichnete der Alexandriner Timochares, der sich zuerst um die Oerter der Fixsterne bekümmerte, dass die Spica, welche die Jungfrau hält, um 82 ⅓ vom Sonnenwendepunkte abstehe und eine südliche Breite von 2° habe: und dass dem Sterne, welcher von den dreien in der Stirn des Scorpiones der nördlichste, und in der Ordnung der Bildung dieses Sternbildes der erste ist, eine Breite von 1⅓ und eine Länge von 32° von dem Herbstnachtgleichenpunkte zukomme. Und im 48sten Jahre derselben Periode fand er die Länge der Spica der Jungfrau zu 82½° von der Sommersonnenwende, während die Breite dieselbe geblieben war. Hipparch aber fand im 50sten Jahre der dritten Callippischen Periode, also im Jahre 196 nach Alexander, den Stern, welcher in der Brust des Löwen Regulus genannt wird, vom Sommersonnenwendepunkte 29½° und ⅓° abstellend. Darauf gab der römische Geometer Menelaus im ersten Jahre des Kaisers Trajan, welches das 99ste nach Christo, und das 422ste nach Alexanders Tode war, den Abstand der Spica der Jungfrau zu 86¼° Länge an; den Stern in der Stirn des Scorpion's aber zu 36° weniger 1/12° vom Herbstnachtgleichenpunkte. Diesem folgte Ptolemäus, im zweiten Jahre des Antoninus Pius, welches das 462ste Jahr nach Alexanders Tode war; er behauptet, die Länge des Regulus im Löwen zu 32½° vom Sonnenwendepunkte, die der Spica zu 86 ⅔°, und die des Sternes in der Stirn des Scorpions zu 36 ⅓° vom Herbstäquinoctium erhalten zu haben, während sich die Breite nicht im Geringsten geändert hatte, wie sie oben in dem Verzeichnisse gegeben ist. Und diese Angaben, wie sie von Jenen überliefert sind, haben wir von Neuem untersucht. Nach einer geraumen Zeit nämlich im Jahre 1202 nach Alexanders Tode, folgt die Beobachtung des Mahometus Aracensis, dem man am meisten vertrauen darf, und in diesem Jahre zeigte sich, dass Regulus oder Basiliscus des Löwen bis 44° 5' vom Sonnenwendepunkte, und jener in der Stirn des Scorpion's bis 47° 50' vom Herbstnachtgleichenpunkte gekommen waren. Bei allen diesen blieb die Breite jedes Sternes dieselbe, so dass man hierüber keinen Zweifel mehr hegt. Auch wir haben im Jahre Christi 1525, dem ersten nach einem Schaltjahre römischer Zeitrechnung, welches von dem Tode Alexanders um 1849 ägyptische Jahre absteht, in Frauenburg in Preussen, die oft genannte Spica beobachtet, und schien ihre grösste Höhe im Meridiankreise nahezu 27° zu sein. Die Breite aber von Frauenburg haben wir zu 54° 19½' gefunden. Daraus ergiebt sich die Declination jener zu 8° 40' vom Aequator. Hiernach wird ihr Ort, wie folgt, festgestellt. Wir beschreiben den Meridiankreis durch die beiden Pole der Ekliptik und des [134] Aequators abcd, und in demselben liegen die gemeinschaftlichen Schnittkanten und Durchmesser: für den Aequator aec, und für die Ekliptik bed; der Letzteren nördlicher Pol sei f, und ihre Axe feg. Nun sei b der Anfang des Steinbocks, d der des Krebses, der Bogen bh gleich der zwei Grade betragenden südlichen Breite des Sternes, und hl durch h parallel mit bd gezogen. Diese Linie schneide die Axe der Ekliptik in i, und den Aequator in k. Ebenso nehme man den Bogen ma gemäss der südlichen Declination des Sternes zu 8° 40', und ziehe durch m parallel mit ac die Linie mn; diese schneidet die mit der Ekliptik parallel gezogene Linie hil, und zwar mag dies in o geschehen. Das Loth op wird gleich sein der Hälfte der Sehne der doppelten Declination am. Die Kreise aber, deren Durchmesser fg, hl und mn sind, stehen senkrecht auf der Ebene abcd, und ihre gemeinschaftlichen Schnittkanten stehen, nach dem 19ten Satze des elften Buches der Elemente Euklid's, in den Punkten o und i senkrecht auf derselben Ebene, und sind nach dem 6ten Satze desselben Buches, einander parallel. Und da i der Mittelpunkt des Kreises ist, dessen Durchmesser hl: so ist oi gleich der Hälfte der Sehne des doppelten Bogens in dem Kreise vom Durchmesser hl, welcher demjenigen entspricht, um welchen der Stern vom Anfange der Wage, seiner Länge, welche wir suchen, gemäss absteht. Diese Länge wird aber auf folgende Weise gefunden: Die Winkel okp und acb sind als correspondirende Winkel einander gleich, und opk ist ein Rechter. Deswegen verhält sich op zu ok, wie die Hälften der Sehnen der doppelten ab zu be und wie die Hälften der Sehnen der doppelten ah zu hik, weil sie ein mit opk ähnliches Dreieck bilden. Aber ab ist 23° 28½', die Hälfte der Sehne des doppelten Bogens beträgt 39832 solcher Theile, von denen bc 100000 enthält; und abh ist 25° 28½', die Hälfte der Sehne des doppelten Bogens beträgt 43010; und ma ist die Hälfte der Sehne der doppelten Declination = 15069. Hieraus folgt, dass die ganze Linie hik 107978 und ok 37831 und der Rest ho 70147 Theile beträgt. Die Linie hoi enthält aber 99939 Theile, von denen be 100000 enthält, also misst der Rest oi 29892. Insofern aber hoi als der Halbmesser 100000 ist, wird oi 29810 und diesem entspricht nahezu ein Bogen von 17° 21', um welchen die Spica der Jungfrau vom Anfange der Wage abstand, und dies war der Ort dieses Sternes. Vor zehn Jahren, also im Jahre 1515 haben wir gefunden, dass sie um 8° 36' declinire, und ihr Ort in 17° 14' der Wage sei. Ptolemäus aber berichtet, dass sie nur um einen halben Grad declinirt habe, und dass also ihr Ort 26° 40' der Jungfrau gewesen sei, was nach der Vergleichung mit den früheren Beobachtungen zuverlässig zu sein scheint. Hieraus scheint sich hinreichend sicher zu ergeben, dass in der ganzen Zeit von Timochares bis Ptolemäus in 432 Jahren die Nachtgleichen und Sonnenwenden durch ein Vorrücken von einem Grade in je hundert Jahren [135] sich geändert haben, so dass ihr Fortschreiten immer im Verhäitnisse der Zeit zur Länge stand und dies betrug im Ganzen 4/3°. Auch nach der Vergleichung der Sonnenwende mit dem Basiliscus des Löwen, hat das Vorrücken seit Hipparch bis Ptolemäus in 266 Jahren 2⅔° betragen, so dass auch hier durch die Vergleichung mit der Zeit, ein Vorrücken um einen Grad in je 100 Jahren gefunden wird. Vergleicht man ferner den ersten Stern in der Stirn des Scorpion's bei Albategnius und bei Menelaus: so scheinen, da in 782 mittleren Jahren 11° 55' durchlaufen wurden, auf einen Grad nicht 100 sondern 66 Jahre zu kommen. Aber von Ptolemäus an in 741 Jahren kommen nur 65 Jahre auf einen Grad. Nimmt man endlich den übrigen Zeitraum von 645 Jahren mit der Differenz von 9° 11' unserer Beobachtung zusammen: so kommen auf einen Grad 71 Jahre. Hieraus geht hervor, dass die Präcession der Nachtgleichen in jenen 400 Jahren vor Ptolemäus langsamer gewesen sei, als von Ptolemäus bis Albategnius, und diese wieder geschwinder, als von Albategnius bis auf unsere Zeit. Auch in der Bewegung der Schiefe findet sich ein Unterschied. Denn der Samier Aristarch giebt die Schiefe der Ekliptik gegen den Aequator ebenso wie Ptolemäus zu 23° 51' 20" an. Albategnius zu 23° 26' Der Spanier Arzachel 190 Jahre später zu 23° 34'. Und der Jude Prophatius 230 Jahre nachher zu ungefähr 2' geringer. Zu unsern Zeiten wird sie nicht grösser als 23° 28½' gefunden. So dass hieraus sich ergiebt, dass die Bewegung von Aristarch bis Ptolemäus am kleinsten, von Ptolemäus bis Albategnius aber am grössten gewesen ist. Capitel 3. Hypothesen, aus denen die Veränderung der Nachtgleichen, der Schiefe der Ekliptik und des Aequators abgeleitet wird. Dass also die Nachtgleichen und Sonnenwenden mit ungleichförmiger Geschwindigkeit sich ändern, scheint aus dem Vorhergehenden klar zu sein. Es dürfte vielleicht Niemand hierfür einen besseren Grund angeben, als eine gewisse Bewegung der Erdaxe und der Pole des Aequators; und das scheint auch wirklich aus der Vorstellung von der Bewegung der Erde zu folgen; da es sicher ist, dass der Kreis, welcher durch die Mitte der Zeichen gelegt ist, ewig unveränderlich bleibt, was die sich gleich bleibenden Breiten der Fixsterne beweisen, der Aequator aber sich ändert; wie denn, wenn die Bewegung der Erdaxe einfach und genau mit der Bewegung des Mittelpunktes übereinstimmte, wie gesagt, durchaus kein Vorrücken der Nachtgleichen und Sonnenwenden zur Erscheinung kommen würde. Wenn dieselben aber von einander verschieden sind, und zwar um eine nicht gleichbleibende Differenz: so ist auch nothwendig, dass die Sonnenwenden und Nachtgleichen mit ungleichförmiger Geschwindigkeit gegen die Oerter der Sterne vorrücken. Auf dieselbe Weise geht die Bewegung der Declination vor sich, welche die Schiefe der Ekliptik, die jedoch richtiger dem Aequator [136] zuzuschreiben wäre, ebenfalls ungleichförmig ändert. Deshalb müssen überhaupt zwei wechselnde, Pendelschwingungen ähnliche Bewegungen angenommen werden: indem die Pole und Kreise an einer Kugel mit einander zusammenhängen und übereinstimmen. Es wird nämlich eine Bewegung bestehen, welche die Neigung jener Kreise verändert, indem die Pole um Centriwinkel auf- und abwärts sich bewegen; eine andere, welche das Vorrücken der Sonnenwenden und Nachtgleichen vermehrt und vermindert: indem von beiden Polen eine seitliche Bewegung ausgeführt wird. Diese Bewegungen nennen wir aber Librationen, weil sie den Pendeln ähnlich auf demselben Wege, in der Mitte zwischen ihren beiden Grenzen beschleunigter, an den Grenzen selbst am langsamsten sind; wie solche häufig bei den Elongationen der Planeten vorkommen, was wir an seinem Orte betrachten werden. Sie unterscheiden sich auch in ihren Umläufen, weil die Ungleichförmigkeit der Nachtgleichen, während einer Wiederkehr der Schiefe, zweimal wiederkehrt. Wie aber bei jeder erscheinenden ungleichförmigen Bewegung, ein Mittel aufgefunden werden muss, an welchem das Verhältniss der Ungleichförmigkeit gemessen werden kann: so musste man natürlich auch hier mittlere Pole, einen mittleren Aequator, mittlere Nachtgleichen und Sonnenwendepunkte aufsuchen, um welche die Pole und der Erdäquator, nach beiden Seiten abweichend, jene verschiedenen Bewegungen in feststehenden Grenzen, doch als gleichförmige erscheinen lassen. Jene beiden mit einander zusammentreffenden Librationen bewirken also, dass die Erdpole mit der Zeit gewisse, einem gedrehten Ringe ähnliche Linien beschreiben. Da aber dies nicht leicht mit Worten hinreichend ausgedrückt werden kann, zumal wenn es nur mit dem Gehör aufgefasst, und nicht zugleich mit den Augen angeschaut wird: so beschreiben wir die Ekliptik abcd auf einer Kugel, ihr nördlicher Pol sei e, der Anfang des Steinbocks a, der des Krebses c, der des Widders b, der der Wage d; und durch die Punkte a und c und den Pol e werde der Kreis aec gelegt. Die grösste Entfernung der Nordpole der Ekliptik und des Aequators sei ef, die kleinste eg: und ebenso sei der Pol i im mittleren Orte, um welchen der sogenannte mittlere [137] Aequator bhd beschrieben werde, und b und d seien die mittleren Nachtgleichen, welche beide um den Punkt e immer in gleicher Bewegung rückwärts, d. i. gegen die Ordnung der Zeichen an der Fixsternsphäre, und, wie gesagt, in langsamer Bewegung fortrücken. Jetzt wird man beide zusammenhängende pendelartige Bewegungen der Erdpole verstehen, die eine zwischen den Grenzen f und g, welche die Bewegung der Anomalie, d. h. der Ungleichheit der Declination genannt werden mag: die andere, seitlich hin und her gehende doppelt so schnell, als die vorige, welche wir die Anomalie der Nachtgleichen nennen wollen. Diese beiden in den Polen zugleich stattfindenden Bewegungen, lenken dieselben auf merkwürdige Weise ab. Setzen wir nämlich zuerst den Nordpol der Erde in f: so wird der um denselben beschriebene Aequator durch dieselben Punkte b und d, nämlich durch die Pole des Kreises afec gehen; den Winkel der Schiefe aber im Verhältniss des Bogens fi vergrössern. Soll von diesem Anfangspunkte der Pol der Erde zur mittleren Schiefe, nämlich zu i, übergehen: so gestattet die dazu kommende andere Bewegung nicht, dass derselbe grade längs fi fortschreite, sondern führt ihn rechtläufig auf dem Umwege durch die grösste Abweichung, welche in k liegen mag. herum. In dieser Stellung wird der Schnittpunkt des wahren Aequators oqp nicht in h sein, sondern hinter diesem in o liegen, und das Vorrücken der Nachtgleichen wird um das Stück bo vermindert. Von hier wendet sich der Pol um, und indem er rückläufig fortgeht, gelangt er durch die beiden zusammenwirkenden Bewegungen in die Mitte i, und der wahre Aequator fällt in allen Punkten mit dem mittleren zusammen. Von hier weitergehend, bewegt sich der Erdpol rückwärts, trennt den wahren Aequator von dem mittleren, und vergrössert das Vorrücken der Nachtgleichen bis zur andern Grenze l. Von hier sich zurückwendend, nimmt er den Nachtgleichen das, was er ihnen eben hinzugefügt hatte, bis er im Punkte g angekommen, die kleinste Schiefe in demselben Punkte b hervorbringt, in welchem Punkte wieder die Bewegung der Nachtgleichen und Sonnenwenden ungefähr in derselben Weise wie in f am langsamsten erscheint. Zu dieser Zeit hat offenbar die Ungleichheit der Letzteren ihren Umlauf vollendet, da sie beide Extreme von der Mitte aus erreicht hat; die Bewegung der Schiefe aber hat von der grössten Declination zur kleinsten nur erst den halben Umlauf zurückgelegt. Von hier fortfahrend kommt der Pol wieder rechtläuflg zu der äussersten Grenze in m, und von Neuem rückläufig, trifft er mit dem Mittleren zusammen, und nachdem er wiederum rückwärts gewendet die Grenze ni durchlaufen hat, vollendet er endlich, wie gesagt, die gedrehte Linie fkilgminf. Auf diese Weise ist klar, dass während einer Wiederkehr der Schiefe, der Erdpol zweimal die vorwärts und rückwärts liegenden Grenzen erreicht. [138] Capitel 4. Wie die wechselseitige Bewegung der Libration aus Kreisbewegungen besteht. Dass nun diese Bewegung mit den Erscheinungen übereinstimmt, wollen wir alsbald auseinandersetzen. Man möchte aber inzwischen die Frage aufwerfen, auf welche Weise die Gleichmässigkeit jener Libration begriffen werden könne, da doch im Anfange behauptet worden, dass die Himmelsbewegung gleichmässig, oder doch aus gleichmässigen Kreisbewegungen zusammengesetzt ist; hier aber zwei Bewegungen, und jede zwischen zweien Grenzen, zu einer vereinigt zur Erscheinung kommen, wodurch nothwendig eine Ungleichmässigkeit eintreten muss. Wir geben zwar zu, dass dieselben zusammengesetzt sind, leiten sie aber folgendermaassen aus gleichmässigen ab. Es sei ab eine grade Linie, welche durch die Punkte c, d und e in vier gleiche Theile getheilt ist; um d werden die concentrischen und in derselben Ebene liegenden Kreise von den Durchmessern adb und cde beschrieben; in der Peripherie des Innern Kreises wird irgendwo ein Punkt f angenommen, um diesen Punkt f mit dem Radius fd der Kreis ghd beschrieben, welcher die grade Linie ab im Punkte h schneidet, und der Durchmesser dfg gezogen. Es ist zu zeigen, dass wenn die vereinigten Bewegungen der Kreise ghd und cfe zugleich stattfinden, der bewegliche Punkt h auf der graden Linie ab hin und her rückt; und dies wird nachgewiesen sein, wenn eingesehen ist, dass h nach entgegengesetzten Seiten und doppelt so geschwind, als f sich bewegt. Der Centriwinkel cdf im Kreise cfc, der zugleich Peripheriewinkel im Kreise ghd ist, schliesst in den beiden Kreisen Bogen ein, von denen gh doppelt so gross ist, als fc. Setzen wir nun den Fall, dass zu irgend einer Zeit beim Zusammenfallen der graden Linien acd und dfg der bewegliche Punkt h in g, also auch in a, und f in c falle: so ist der Mittelpunkt l nach rechts durch fc fortgegangen und h nach links durch den Bogen gh, der doppelt so gross, als cf ist; somit wird also h von der entgegengesetzten Seite her in die Linie ab sich zurückbewegen, sonst nämlich wäre der Theil grösser, als sein Ganzes, was, wie ich glaube, leicht einzusehen ist. Der Punkt h entfernt sich aber von dem früheren Orte a um ah, indem er durch die gebrochene Linie dfh, welche gleich ad ist, um dasjenige Stück zurückgezogen wird, um welches der Durchmesser dfg grösser ist, als die Sehne dh. Und auf diese Weise wird h zum Mittelpunkte d fortgeführt, [139] welcher im Berührungspunkte des Kreises dhg mit der graden Linie ab liegt, weil nämlich dann gd rechtwinklig gegen ab stehen wird. Und darauf gelangt der Punkt h zu der andern Grenze b, von welcher aus er wieder in ähnlicher Weise zurückgeführt wird. Es leuchtet also ein, dass aus zweien Kreisbewegungen, welche auf diese Weise einander entgegengesetzt sind, eine gradlinige, und aus zweien zugleich stattfindenden gleichförmigen, eine ungleichförmige Bewegung sich zusammensetze. Hieraus folgt auch noch, dass die grade Linie gh immer rechtwinklig gegen ab steht, weil diese beiden Linien in dem Halbkreise dhg einen rechten Winkel einschliessen. Und daher ist gh die Hälfte der Sehne des doppelten Bogens ag und die andere Linie dh die Hälfte der Sehne desjenigen doppelten Bogens, welcher von dem Quadranten nach Abzug von ag übrig bleibt, wobei der Kreis agb doppelt so gross ist, als hgd, gemäss den Durchmessern. Capitel 5. Beweis für die Ungleichmässigkeit des Vorrückens der Nachtgleichen und der Schiefe. Diese Bewegung nennen Einige, eben dieser Begründung wegen, die Bewegung in der Breite des Kreises, d. h. in seinem Durchmesser; messen jedoch ihre Periode und ihre Gleichmässigkeit in dem Bogen, ihren Betrag aber in den Sehnen. Es kann daher leicht nachgewiesen werden, dass dieselbe als eine ungleichmässige in die Erscheinung tritt, und zwar als eine beschleunigte am Mittelpunkte, und als eine langsamere an der Peripherie. Es sei abc ein Halbkreis, d sein Mittelpunkt, adc der Durchmesser, und der Halbkreis werde im Punkte b halbirt. Die Bogen ae und bf seien gleichgemacht, und von den Punkten f und e auf adc die Lothe eg und fk gefällt. Da nun das Doppelte von dk die Sehne des Doppelten bf, und das Doppelte von eg die Sehne des Doppelten ae ist: so sind also dk und eg einander gleich. Aber ag ist nach dem siebenten Satze des dritten Buches der Elemente Euklid's, kleiner als ge, also auch kleiner als dk. Wegen der gleichen Bogen ae und bf werden aber ga und kd in gleichen Zeiten zurückgelegt, folglich ist die Bewegung in der Nähe des Punktes a der Peripherie langsamer, als in der Nähe des Mittelpunktes d. Nachdem dies bewiesen, werde in l der Mittelpunkt der Erde angenommen: so dass die grade Linie dl rechtwinklig gegen die Ebene des Halbkreises abc stehe; durch die Punkte a und c werde vom Mittelpunkte l aus der Bogen eines Kreises amc beschrieben, [140] und die grade Linie ldm gezogen. Es wird also in m der Pol des Halbkreises abc liegen, adc wird die gemeinschaftliche Sehne der Kreise sein, und man ziehe la, lc, lk und lg, von denen die letzteren Beiden verlängert den Bogen amc in n und o schneiden. Da nun der Winkel ldk ein Rechter ist: so ist lkd ein spitzer. Deshalb ist auch die Linie lk länger als ld; um so mehr sind in den stumpfwinkligen Dreiecken die Seite lg grösser als lk, und la grösser als lg. Aus dem Mittelpunkte l werde mit dem Radius lk ein Kreis pkrs beschrieben, welcher ld nicht, wohl aber lg und la schneidet. Und da das Dreieck ldk kleiner ist, als der Kreisausschnitt lpk, das Dreieck lga aber grösser, als der Kreisausschnitt lrs, und daher das Verhältniss des Dreiecks ldk zu dem Kreisausschnitte lpk kleiner ist, als dasjenige des Dreiecks lga zu dem Kreisausschnitte lrs: so wird auch das Dreieck ldk zum Dreiecke lga in einem kleineren Verhältnisse stehen, als der Kreisausschnitt lpk zum Kreisausschnitte lrs; und nach dem ersten Satze des sechsten Buches der Elemente Euklid's, verhält sich die Basis dk zu der Basis ag, wie das Dreieck ldk zu dem Dreiecke lga. Das Verhältniss des Kreisausschnittes zum Kreisausschnitte ist aber wie dasjenige des Winkels dlk zum Winkel rls, oder wie das des Bogens mn zu dem Bogen oa. Also steht dk zu ag in einem kleineren Verhältnisse, als mn zu oa. Wir haben aber schon bewiesen, dass dk grösser als ga sei, um so mehr wird also auch mn grösser sein als oa, welche offenbar die in gleichen Zeiträumen von den Erdpolen längs den gleichen Bogen ae und bf beschriebenen Anomalien sind, was zu beweisen war. Da jedoch der Unterschied zwischen der grössten und kleinsten Schiefe so klein ist, dass er nicht zwei Fünftel eines Grades überschreitet: so wird auch der Unterschied zwischen der krummen Linie amc und der graden adc so unmerklich, dass kein Fehler entsteht, wenn wir einfach mit der graden Linie adc und dem Halbkreise abc verfahren. Ungefähr dieselbe Bewandniss hat es mit der andern Bewegung der Pole, welche sich auf die Nachtgleichen bezieht, da auch diese nicht um einen halben Grad wächst, wie sich das weiter unten ergeben wird. Es sei abcd wiederum der Kreis durch die Pole der Ekliptik und des mittleren Aequators, welchen wir den mittleren Colur des Krebses nennen können. Die Hälfte der Ekliptik sei deb; die des mittleren Aequators aec, sie schneiden sich einander im Punkte e, in welchem die mittlere Nachtgleiche liegt. Der Pol des mittleren Aequators aber sei f, durch welchen ein grösster Kreis fet beschrieben wird, der also selbst der Colur der mittleren oder gleichen Nachtgleichen ist. Wir wollen nun, des leichteren Beweises wegen, die Libration der Nachtgleichen von der Schiefe der Ekliptik trennen, und nehmen auf dem Colur ef den Bogen fg, [141] um welchen der Pol g des wahren Aequators von dem Pole f des mittleren abweichen mag, um diesen Pol g werde der Halbkreis alkc des wahren Aequators beschrieben, welcher die Ekliptik in l schneidet. Es wird also der Punkt l selbst die wahre Nachtgleiche sein, welche von der mittleren um den Bogen le absteht, wie dies die Gleichheit von ek und fg bedingt. Wenn wir um k, als um einen Pol, den Kreis agc beschreiben: so sehen wir, dass der Pol des Aequators, während der Libration fg, als wahrer Pol nicht im Punkte g bleibt, sondern durch die andere Libration um den Bogen go gegen die Ekliptik sich neigt. Bleibt also bed die Ekliptik: so wird die wahre erscheinende Nachtgleiche durch die Versetzung des Poles o verändert. Die Bewegung des Schnittpunktes l des wahren Aequators wird auf ähnliche Weise um die Mitte e beschleunigter, am langsamsten an den äussersten Enden, fast proportional der schon nachgewiesenen Schwankung der Pole. Was erkannt zu haben, der Mühe werth war. Capitel 6. Ueber die gleichförmigen Bewegungen des Vorrückens der Nachtgleichen und der Schiefe der Ekliptik. Jede ungleichförmig erscheinende Kreisbewegung geht in vier Bestimmungen vor sich, nämlich in den äussersten Punkten, wo sie am langsamsten und wo sie am geschwindesten erscheint, und in den Zwischenpunkten, wo sie eine mittlere ist. Von dem Aufhören der Verlangsamung und dem Anfange der Beschleunigung geht sie nämlich in die mittlere über, von der mittleren steigert sie sich zur grössten Geschwindigkeit, von dieser geht sie wieder in die mittlere über, und von da kehrt sie zur anfänglichen grössten Langsamkeit zurück. Hiernach kann erkannt werden, in welchem Theile des Kreislaufes der Ort der Ungleichheit oder der Anomalie für irgend eine Zeit gewesen ist, und aus diesen Angaben wird auch die Periode der Anomalie erhalten. In einem geviertheilten Kreise sei a der Ort der grössten Langsamkeit, b der Ort für die wachsende mittlere Geschwindigkeit, c der Ort, wo das Wachsthum aufhört und die Abnahme anfängt, und d der Ort für die abnehmende mittlere Geschwindigkeit. Da nun, wie oben gesagt ist, von Timochares bis Ptolemäus die erscheinende Bewegung des Vorrückens der Nachtgleichen gegen die übrigen Zeiten langsamer gefunden ist, und weil dieselbe eine Zeit lang gleichförmig zu sein schien, wie das die Beobachtungen des Aristyllus, des Hipparchus, des Agrippa und des Menelaus in der Zwischenzeit zeigen: so beweist dies, dass die erscheinende Bewegung der Nachtgleichen [142] in der Mitte dieser Zeit schlechthin am langsamsten und im Anfange des Wachsthums gewesen ist, indem die aufhörende Abnahme, verbunden mit dem anfangenden Wachsthume, durch gegenseitige Ausgleichung bewirkte, dass während dem die Bewegung gleichförmig erschien. Deshalb ist die Beobachtung des Timochares in den letzten Theil des Kreises da zu setzen; die Ptolemäische aber bezeichnete den ersten Quadranten ab. Weil wiederum in dem zweiten Zeiträume von Ptolemäus bis Albategnius die Bewegung geschwinder gefunden wird, als in dem dritten: so zeigt dies, dass in dem zweiten Zeiträume die grösste Geschwindigkeit, d h. der Punkt c durchlaufen, und die Anomalie schon zum dritten Quadranten cd des Kreises gekommen ist, und dass in dem dritten Zeiträume bis auf uns der Umlauf der Anomalie nahezu vollendet wird, und zu dem Anfange des Timochares zurückkehrt. Wenn wir nämlich in den 1819 Jahren, von Timochares bis auf uns, den ganzen Kreis in die gewöhnlichen 360 Grade theilen: so erhalten wir für 432 Jahre einen Bogen von 85½°, für 742 Jahre 146° 51', und für die übrigen 645 Jahre den übrigen Bogen von 127° 39'. Dies gewinnen wir leicht durch einfaches Ueberschlagen , wenn wir dasselbe aber durch eine eingehendere Rechnung mit den Beobachtungen genauer in Uebereinstimmung zu bringen suchen, so finden wir, dass die Bewegung der Anomalie in 1819 ägyptischen Jahren ihren vollständigen Umlauf bereits um 21° 24' überschritten hat und dass ihre Periode nur 1717 ägyptische Jahre umfasst, und nach diesem Verhältnisse enthält der erste Kreisabschnitt 90° 35', der andere 155° 34', der dritte aber für die übrigen 543 Jahre 113° 51'. Nachdem dies feststeht, ergiebt sich auch, dass die mittlere Bewegung des Vorrückens der Nachtgleichen in denselben 1717 Jahren, in denen die ganze Ungleichheit in den früheren Zustand zurückgekehrt ist, 23° 57' beträgt; denn in 1819 Jahren haben wir eine erscheinende Bewegung von ungefähr 25° 1' gehabt; von Timochares aber an musste in den 102 Jahren, um welche die 1717 Jahre von den 1819 Jahren sich unterscheiden, die erscheinende Bewegung ungefähr 1° 4' betragen haben, und dass sie damals noch etwas grösser gewesen sei, dürfte wahrscheinlich sein, da sie in je 100 Jahren noch mehr, als einen Grad betrug, und im Abnehmen begriffen war, indem sie noch nicht auf das Ende der Abnahme folgte. Wenn wir nun einen und ein funfzehntel Grad von 25° 1' abziehen: so bleibt, wie gesagt für die 1717 ägyptische Jahre eine, der ungleichmässigen und erscheinenden gleich werthige, mittlere und gleichmässige Bewegung von 23° 57', woraus der ganze und gleiche Umlauf der Präcession der Nachtgleichen sich zu 25816 Jahren ergiebt, in welcher Zeit ungefähr 151/28 Umgänge der Anomalie eintreten. Diesem Verhältnisse passt sich auch die Bewegung der Schiefe an, von deren Umlaufe wir gesagt haben, dass er doppelt so lange dauere, als derjenige der Präcession der Nachtgleichen. Denn dass Ptolemäus angiebt, dass die Schiefe von 23° 51' 20" in den 400 Jahren vor ihm, seit Aristarch von Samos, sich gar nicht geändert habe, beweist, dass [143] sie damals ungefähr an der Grenze der grössten Schiefe gewesen ist, als nämlich auch die Präcession in ihrer langsamsten Bewegung begriffen war. Aber jetzt, während die Wiederholung derselben Langsamkeit eintritt, geht die Neigung der Axe nicht in ihren grössten, sondern in ihren kleinsten Werth über, welchen, wie gesagt, Albategnius in der Zwischenzeit zu 23° 35' der Spanier Arzachel, 190 Jahre nach ihm, zu 23° 34', und wiederum nach 230 Jahren der Jude Prophatius um nahe 2 Minuten kleiner findet. Was endlich unsre Zeit betrifft: so haben wir durch häufige Beobachtung seit 30 Jahren ungefähr 23° 282/5' gefunden, wovon Georg Purbach und Johann v. Königsberg, welche uns kurz vorangingen, wenig abweichen. Hieraus erhellt wiederum auf das Deutlichste, dass die Aenderung der Schiefe von Ptolemäus an, in 900 Jahren grösser geworden ist, als in irgend einem andern Zeiträume. Da wir nun schon die Umlaufszeit der Anomalie der Präcession zu 1717 Jahren besitzen: so werden wir auch an derselben Zeit die halbe Periode der Schiefe haben, und also in 3434 Jahren ihre ganze Umlaufszeit. Wenn wir nun mit derselben Anzahl von 3434 Jahren in 360 Grade theilen, also mit 1717 in 180: so ergiebt sich eine jährliche Bewegung der einfachen Anomalie von 6' 17" 24"' 9"". Dies wiederum auf 365 Tage vertheilt, giebt eine tägliche Bewegung von 1" 2'" 2"". Wenn ebenso die mittlere Bewegung der Präcession, welche 23" 57' beträgt, auf 1717 Jahre vertheilt wird, so ergiebt sich eine jährliche Bewegung von 50" 12'" 5"" und dies auf 365 Tage vertheilt, giebt eine tägliche Bewegung von S'" 15"" . Damit aber die Bewegungen deutlicher vorliegen und gleich zur Hand sind, so oft es wünschenswerth ist, wollen wir Tafeln oder Verzeichnisse davon entwerfen, indem wir immer eine gleiche jährliche Bewegung addiren, während wir immer 60 Theile einer Ordnung als eine Einheit der vorangehenden Ordnung zufügen, bis zu den Graden, wenn es dahin wachsen sollte; und dies, der Bequemlichkeit wegen, bis zu 60 Jahren fortsetzen, weil sich nach 60 Jahren wieder dieselben Zahlen ergeben, nur dass man dann die Bezeichnungen der Grade, Minuten, Secunden u. s. w ändern muss; so dass, was früher Secunden waren, nun Minuten werden u. s w., und vermöge dieser Abkürzung kann man durch diese compendiösen Tafeln wenigstens innerhalb 3600 Jahren, mittelst doppelten Eingehens für die vorgesetzten Jahre die gleichmässigen Bewegungen finden und ablesen. Ebenso verhält es sich auch mit den Anzahlen der Tage. Wir werden überall bei der Berechnung der Himmelsbewegungen ägyptische Jahre zu Grunde legen, weil diese allein unter den bürgerlichen Jahren gleich sind; und es nöthig ist, dass das Maass mit dem Gemessenen übereinstimmt, was bei den römischen, griechischen und persischen Jahren nicht so zutrifft, bei welchen man nicht nach einer und derselben Weise, sondern je nachdem es jedem Volke beliebt hat, einschaltet. Das ägyptische Jahr führt aber keine Zweideutigkeit herbei, wiegen der bestimmten Anzahl von 365 Tagen, welche in zwölf gleiche Monate eingetheilt [144] sind, die der Reihe nach so heissen: Thoth, Phaophi, Athyr, Chiach, Tybi, Mechir, Phamenoth, Pharmuthi, Pachon, Payni, Epiphi, Mesori. Diese umfassen sechsmal sechzig Tage und die fünf übrigen Tage nennt man Schalttage. Deshalb sind zum Berechnen der gleichmässigen Bewegungen die ägyptischen Jahre die geeignetsten, auf welche beliebige andere Jahre durch Auflösen in Tage leicht zurückgeführt werden. [145] GLEICHMÄSSIGE BEWEGUNG DER PRÄCESSION DER NACHTGLEICHEN VON JAHR ZU JAHR UND VON SECHZIG JAHREN ZU SECHZIG JAHREN. Aegyp- tische Jahre B e w e g u n g Ort Christi 5° 32' Anm.144) Aegyp- tische Jahre B e w e g u n g Sech- zig Grad Min. Secund. Tertien Sech- zig Grad Min. Secund. Tertien  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  0 1 2 3 4 5 5 6 7 8 9 10 10 11 12 13 14 15 15 16 17 18 19 20 20 21 22 23 24 25  50 40 30 20 11 1 51 41 31 22 12 2 52 42 33 23 13 3 53 44 34 24 14 4 55 45 35 25 15 6  12 24 36 48 0 12 24 36 48 0 12 25 37 49 1 13 25 37 49 1 13 25 37 50 2 14 26 38 50 2  31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  25 26 27 28 29 30 30 31 32 33 34 35 35 36 37 38 39 40 40 41 42 43 44 45 46 46 47 48 49 50  56 46 39 26 27 7 57 47 37 28 18 8 58 48 39 29 19 9 59 50 40 30 20 10 1 51 41 31 21 12  14 26 38 50 2 15 27 39 51 3 15 27 39 51 3 15 27 40 52 4 16 28 40 52 4 16 28 40 52 5 [146] GLEICHMÄSSIGE BEWEGUNG DER PRÄCESSION DER NACHTGLEICHEN VON TAGE ZU TAGE UND VON SECHZIG TAGEN ZU SECHZIG TAGEN. Tage B e w e g u n g Tage B e w e g u n g Sech- zig Grad Min. Secund. Tertien Sech- zig Grad Min. Secund. Tertien 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4 8 16 24 33 41 49 57 6 14 22 30 39 47 55 3 12 20 28 36 45 53 1 9 18 26 34 42 51 59 7 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 15 24 32 40 48 57 5 13 21 30 38 46 54 3 11 19 27 36 44 52 0 9 17 25 33 42 50 58 6 15 [147] BEWEGUNG DER ANOMALIE DER NACHTGLEICHEN VON JAHR ZU JAHR UND VON SECHZIG JAHREN ZU SECHZIG JAHREN. Aegyp- tische Jahre B e w e g u n g Ort Christi 6° 45' Buch III. Cap. 11. Anm.144) Aegyp- tische Jahre B e w e g u n g Sech- zig Grad Min. Secund. Tertien Sech- zig Grad Min. Secund. Tertien 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 6 12 48 25 31 37 44 50 56 2 9 15 21 28 34 40 46 53 59 5 12 18 24 30 37 43 49 56 2 8 17 34 52 9 27 44 1 19 36 54 11 28 46 3 21 38 55 13 30 8 5 22 40 57 15 32 49 7 24 42 24 48 12 36 0 24 49 13 36 1 25 49 13 38 2 26 50 14 38 3 27 51 15 39 3 27 52 16 40 0 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 14 21 27 33 40 46 52 59 5 11 17 24 30 36 43 49 55 1 8 14 20 27 33 39 45 52 58 4 11 17 59 16 34 51 9 26 43 1 18 36 53 10 28 45 3 20 37 55 12 30 47 4 22 39 57 14 31 49 6 24 28 52 16 41 5 29 53 17 42 6 30 54 18 42 6 31 55 19 43 7 31 55 20 44 8 32 56 20 45 9 [148] BEWEGUNG DER ANOMALIE DER NACHTGLEICHEN VON TAGE ZU TAGE UND VON SECHZIG TAGEN ZU SECHZIG TAGEN. Tage B e w e g u n g Tage B e w e g u n g Sech- zig Grad Min. Secund. Tertien Sech- zig Grad Min. Secund. Tertien 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 31 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 1 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 0 2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 2 [149] Capitel 7. Welcher der grösste Unterschied zwischen der gleichmässigen und der erscheinenden Präcession der Nachtgleichen sei. Nachdem so die mittleren Bewegungen auseinandergesetzt sind, ist nunmehr zu untersuchen, wie gross der grösste Unterschied zwischen der gleichmässigen und der erscheinenden Bewegung der Nachtgleichen, oder der Durchmesser des kleinen Kreises ist, in welchem die Bewegung der Anomalie verläuft. Denn wenn dies ermittelt ist, so wird es leicht sein, beliebige andere Unterschiede dieser Bewegungen zu bestimmen. Da nun, wie oben vorgetragen ist, zwischen der ersten Beobachtung des Timochares und der des Ptolemäus im zweiten Jahre des Antoninus 432 Jahre liegen, und in dieser Zeit die mittlere Bewegung 6° beträgt; die erscheinende aber 4° 20' , der Unterschied beider 1° 40' war, während die Bewegung der doppelten Anomalie 90° 35' ausmacht: so ist auch klar, dass in der Mitte dieser Zeit, wenigstens nahezu, die erscheinende Bewegung die Grenze der grössten Langsamkeit erreicht hatte, in welchem Punkte die erscheinende mit der mittleren Bewegung zusammentreffen, und die wahre und mittlere Nachtgleiche in demselben Durchschnittspunkte der Kreise liegen muss. Deshalb liegen auf beiden Seiten die Unterschiede der ungleichmässigen und gleichmässigen Bewegung, welche, wenn man Bewegung und Zeit halbirt, 5/6 betragen, und diese kommen auf die zu beiden Seiten liegenden, 45° 17½' umfassenden Bogen des Kreises der Anomalie. Da es sich aber hier um sehr kleine Bogen handelt, indem diejenigen der Ekliptik nicht anderthalb Grade erreichen, bei diesen die Sehnen den Bogen nahe gleich sind, und kaum in den Tertien einige Verschiedenheit gefunden wird, so begehen wir, die wir uns bei den Minuten beruhigen, keinen Fehler, wenn wir für die Bogen grade Linien gebrauchen. Nun sei 'abc jener Theil der Ekliptik, in welchem die mittlere Nachtgleiche in b liegt; um diese, als Pol genommen, werde der Halbkreis adc beschrieben, welcher die Ekliptik in den Punkten a und c schneidet; vom Pole der Ekliptik her werde db gezogen, welche Linie auch den beschriebenen Halbkreis in d halbirt, wo die äusserste Grenze der Langsamkeit und der Anfang der Beschleunigung liegen mag. In dem Quadranten ad werde de gleich 45° 17½' angenommen, und durch den Punkt e vom Pole der Ekliptik her ef gezogen, und es sei fb = 50'. Es wird verlangt, hieraus den ganzen Unterschied baf zu finden. Nun ist aber klar, dass das Doppelte von bf die Sehne des doppelten Bogens von de ist. Da bf = 7107 sich zu afb = 10000 verhält wie bf = 50' zu afb = 70': so ergiebt sich ab = 1° 10', und so gross ist der grösste Unterschied zwischen der [150] mittleren und der erscheinenden Bewegung der Nachtgleichen, welche wir suchten, und daraus folgt, dass die grösste Ablenkung der Pole = 28' ist. Nachdem dies so bestimmt ist, sei abc ein Bogen der Ekliptik, dbe der mittlere Aequator, und b der mittlere Schnittpunkt der erscheinenden Nachtgleichen, sei es des Widders oder der Wage, und durch die Pole des Bogens dbe liege bf. Auf abc aber werden zu beiden Seiten gleiche Bogen bi und bk zu 1° 10' 112a) genommen, so dass der ganze Bogen ibk 2° 20' beträgt. Ferner mögen zwei Bogen der erscheinenden Aequatoren ig und hk unter rechten Winkeln gegen fb und dessen Verlängerung beschrieben werden. Ich sage aber unter rechten Winkeln, während doch die Pole der Bogen ig und hk öfters ausserhalb des Kreises bf liegen, indem die seitliche Bewegung der Declination dazu kommt, wie dies bei der Hypothese gezeigt ist: aber wegen des sehr massigen Abstandes, welcher, wenn er am grössten wird, nicht den 350sten Theil eines Rechten überschreitet, so nehmen wir jene für die Anschauung als rechte Winkel, denn es wird dadurch kein Fehler zum Vorschein kommen. Da also in dem Dreiecke ibg der Winkel ibg zu 66° 20' gegeben ist, weil die Ergänzung zum Rechten, dba 23° 40' der Winkel der mittleren Schiefe der Ekliptik ist, und Winkel bgi ein Rechter. Winkel big fast gleich ibd und Seite ib 70' ist: so ist also auch der Bogen bg, um welchen die Pole des mittleren und des erscheinenden Aequators von einander abstehen zu 28' gegeben. Ebenso sind in dem Dreiecke bhk die beiden Winkel bhk und hbk, den beiden igb und ibg gleich, die Seite bk gleich der Seite bi; folglich wird auch bh gleich bg gleich 28' sein. Denn es wird sich gb zu bh verhalten, wie ib zu bk, und die Bewegungen sowohl der Pole als auch der Schnittpunkte werden ähnlich sein. Capitel 8. Ueber die einzelnen Unterschiede dieser Bewegungen nebst Erklärung ihres Verzeichnisses. Wenn also ab = 70' (in der ersten Figur des vorhergehenden Capitels) gegeben ist, welcher Bogen in seiner Länge von seiner Sehne nicht unterschieden zu sein scheint: so ist es nicht schwer, beliebige andere einzelne Unterschiede für die mittleren und erscheinenden Bewegungen zu ermitteln, welche die Griechen Prosthaphäresen (Vorwegnahmen), die Neueren: Gleichungen nennen, durch deren Wegnahme oder Hinzufügung die [151] Erscheinungen berechnet werden. Wir werden uns des griechischen Wortes als des geeigneteren bedienen. Wenn nun ed 3° betrüge: so erhielten wir aus dem Verhältnisse von ab zu der Sehne bf, die Prostaphärese bf = 4'. Wenn der Bogen ed 6° ist, 7', wenn 9°, 11' und so weiter. Bei der Aenderung der Schiefe glauben wir in ähnlicher Weise verfahren zu müssen, wo der Unterschied zwischen der grössten und kleinsten Schiefe, wie gesagt, gleich 24' gefunden ist, welche unter dem Halbkreise der einfachen Anomalie in 1717 Jahren zurückgelegt werden. Der mittlere Werth unter dem Quadranten des Kreises beträgt 12', und der Pol des kleinen Kreises dieser Anomalie gehört der mittleren Schiefe von 23" 40' an. Und in dieser Weise werden wir, wie gesagt, die übrigen Theile des Unterschiedes, den vorhin angegebenen ungefähr proportional ableiten, wie dies in dem nachfolgenden Verzeichnisse enthalten ist. Obgleich nun die erscheinenden Bewegungen in verschiedenen Weisen nach diesen Ableitungen zusammengesetzt werden können: so gefiel uns doch diejenige Art am meisten, nach welcher jede einzelne Prosthaphärese für sich erhalten wird, wodurch die Berechnung dieser Bewegungen für das Verständniss leichter wird, und mit den dargelegten Entwickelungen mehr übereinstimmt. Wir haben daher eine Tafel von 60 Zeilen angefertigt, welche nach je 3 Graden des Kreises fortschreitet. So wird sie nämlich weder eine ausgedehnte Weitläufigkeit noch eine zu gedrängte Kürze zu haben scheinen; wie wir denn so in den spätem ähnlichen Tafeln auch verfahren wollen. Die gegenwärtige hat nur vier Rubriken, von denen die beiden ersten die Grade jedes der beiden Halbkreise enthalten, die wir die gemeinschaftlichen Zahlen nennen, weil durch die einfache Zahl die Schiefe der Ekliptik erhalten wird, und die verdoppelte zur Prosthaphärese der Nachtgleichen dient, deren Anfang vom Beginne des Wachsthumes genommen ist. In der dritten Rubrik sind die Prosthaphäresen der Nachtgleichen aufgestellt, welche den einzelnen Dreigradigkeiten entsprechen, und zu der mittleren Bewegung, die wir von dem ersten Sterne des Widderkopfes gegen den Frühlingsnachtgleichenpunkt hin anfangen, entweder zu addiren oder davon abzuziehen sind. Die abzuziehenden Prosthaphäresen entsprechen dem kleinen Halbkreise der Anomalie, oder der ersten Rubrik, die zuzufügenden der zweiten Rubrik, und dem folgenden Halbkreise. In der letzten Rubrik endlich stehen die Minuten, welche die Proportional-Minuten der Schiefe genannt sind, und höchstens auf 60 steigen, indem wir anstatt der grössten und kleinsten Abweichung der Schiefe von 24', 60' setzen, woraus wir nach Verhältniss der übrigen Abweichungen die Theile des ähnlichen Verhältnisses berechnen, und deshalb zu Anfang und zu Ende der Anomalie 60 setzen. Wo aber die Abweichung auf 22' steigt, wie bei der Anomalie von 33°, setzen wir an ihre Stelle 55 , ebenso für 20', 50 wie bei der Anomalie von 48° und nach dieser Weise weiter, wie dies im nachfolgenden Schema ersichtlich ist. [152] TAFEL DER PROSTHAPHÄRESEN DES AEQUATORS UND DER SCHIEFE DER EKLIPTIK. Gemeinschaft- liche Zahlen Prosthaphä- resen des Aequators Proportio- nal-Minu- ten der Schiefe Wie sich 5 zu 2 verhält, so verhalten sich die Proportional- Minuten zu dem Wachsthume der Schiefe über 23° 28' hinaus Gemeinschaft- liche Zahlen Prosthaphä- resen des Aequators Proportio- nal-Minu- ten der Schiefe Grad Grad Grad Min. Grad Grad Grad Min. 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60 63 66 69 72 75 78 81 84 87 90 357 354 351 348 345 342 339 336 333 330 327 324 321 318 315 312 309 306 303 300 297 294 291 288 285 282 279 276 273 270 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 7 11 14 18 21 25 28 32 35 38 41 44 47 49 52 54 56 59 1 2 4 5 7 8 9 9 10 10 10 60 60 60 59 59 59 58 57 56 56 55 54 53 52 51 50 49 48 46 45 44 42 41 39 38 36 35 33 32 30 93 96 99 102 105 108 111 114 117 120 123 126 129 132 135 138 141 144 147 150 153 156 159 162 165 168 171 174 177 180 267 264 261 258 255 252 249 246 243 240 237 234 231 228 225 222 219 216 213 210 207 204 201 198 195 192 189 186 183 180 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 10 9 9 8 7 5 4 2 1 56 56 54 52 49 47 44 41 38 35 53 28 25 21 18 14 11 7 4 0 28 27 25 24 22 21 19 18 16 15 14 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 3 2 1 1 1 0 0 0 0 [153] Capitel 9. Ueber die Prüfung und Verbesserung dessen, was über das Vorrücken der Nachtgleichen entwickelt ist. Da wir aber von dem Anfange des Wachsthums der ungleichmässigen Bewegung nach einer blossen Vermuthung angenommen haben, derselbe liege in der Mitte der Zeit vom 36sten Jahre der ersten Callippischen Periode bis zum zweiten des Antoninus; und wir von dieser Mitte die Bewegung der Anomalie anfangen: so haben wir noch zu untersuchen, ob wir daran recht gethan haben, und ob dies mit den Beobachtungen übereinstimmt. Kommen wir auf jene drei beobachteten Sterne des Timochares, Ptolemäus und Albategnius zurück: so ist sicher, dass der erste Zeitraum 432, und der zweite 742 ägyptische Jahre umfasst. Die gleichmässige Bewegung war im ersten Zeiträume 6° , die wirkliche 4° 20' 109), die der doppelten Anomalie 90° 35' , das von der gleichmässigen Bewegung Abzuziehende betrug 1° 40' 109). Im zweiten Zeiträume betrug die gleichmässige Bewegung 10° 21' , die wirkliche 11" 30' ), die der doppelten Anomalie 155° 34', das zu der gleichmässigen Bewegung Hinzuzufügende 1° 9' Es sei nun, wie früher, abc ein Bogen der Ekliptik, und von b, welches der mittlere Frühlingsnachtgleichenpunkt sein soll, als Pol gekommen, werde mit dem Radius ab = 1° 10' der kleine Kreis adce beschrieben. Die gleichmässige Bewegung aber des Punktes b werde nach der Seite a, d. h. rückwärts genommen, und a sei die westliche Grenze, an welcher die veränderliche Nachtgleiche am weitesten vorausgeeilt, und c die östliche, an welcher die veränderliche Nachtgleiche am meisten zurückgeblieben ist. Von dem Pole der Ekliptik werde durch den Punkt b der grösste Kreis dbe gezogen, welcher mit der Ekliptik zusammen den kleinen Kreis adce in vier gleiche Theile theilt, weil sie sich wegen der Pole gegenseitig unter rechten Winkeln schneiden. Wenn nun die Bewegung in dem Halbkreise adc zurückbleibt, und in dem andern cea voreilt, so wird, wegen des Gegensatzes gegen das Vorrücken von b, in d die Mitte der grössten Langsamkeit der erscheinenden Nachtgleiche sein, in e aber die grösste Geschwindigkeit, weil die Bewegungen sich gegenseitig nach derselben Seite hin beschleunigen. Vor und hinter d mögen nun die Bogen fd und dg, je zu 45° 17½' genommen werden, f sei der erste Punkt der Anomalie zur Zeit des Timochares, g der zweite zur Zeit des Ptolemäus, und p der dritte zur Zeit des Albategnius, und durch diese Punkte so wie durch die Pole der Ekliptik werden fn, gm und op gezogen, welche alle in dem kleinen Kreise graden Linien sehr ähnlich sind. Der Bogen fdg wird also 90° 35' betragen, wenn auf den Kreis adce 360° kommen, und dieser Bogen wird die mittlere Bewegung um mn = 1° 40' verkleinern, [154] während abc = 2° 20' beträgt. Der Bogen gep beträgt aber 155° 34', und beschleunigt um mo = 1° 9', und der Rest paf = 113° 51' beschleunigt um on = 31', wenn ab = 70'. Da aber der ganze Bogen dgcep = 200° 51½ ist, so ist auch ep = 20° 51½' als Ueberschuss über den Halbkreis, folglich ist auch bo, als Sehne im Kreise, nach dem Verzeichnisse 356, wenn ab = 1000; ist also ab = 70' so ist bo nahe = 24' und bm = 50'. Also die ganze Linie mbo ist 74' und der Rest no = 26'. Im Vorhergehenden war aber mbo =1° 9' und der Rest no = 31'; es fehlen hier 5', welche dort zu viel sind. Es ist also der Kreis adce zurückzudrehen, bis die Ausgleichung auf beiden Seiten stattfindet. Dies wird aber geschehen sein, wenn wir den Bogen dy = 42 ½ nehmen, so dass auf den Rest df 48° 5' kommen. Hierdurch scheinen beide Fehler beseitigt und allem Uebrigen entsprochen. Es wird nämlich, wenn man d, als die äusserste Grenze der Langsamkeit, zum Anfangspunkte nimmt, die Bewegung der Anomalie in der ersten Periode den ganzen Bogen dgcepaf = 311° 55' betragen, in der zweiten dg = 42° 30', in der dritten dgcep 198° 4'. Und wenn ab zu 70 Minuten genommen wird: so ist in der ersten Periode bn die zu addirende Prosthaphärese nach den vorangegangenen Entwickelungen = 52', in der zweiten mb = 47 ½' zu subtrahiren, in der dritten wieder zu addiren bo fast 21'. Der ganze Bogen mn umfasst also im ersten Intervall 1° 40', der ganze mbo im zweiten Intervall 1° 9', was hinreichend genau mit den Beobachtungen übereinstimmt. Hieraus ergiebt sich zugleich die einfache Anomalie in der ersten Periode zu 155° 57' 30", in der zweiten Periode zu 21° 15' und in der dritten Periode zu 99° 2', was zu erklären war. Capitel 10. Welcher der grösste Unterschied zwischen den Neigungswinkeln des Aequators und der Ekliptik sei. Auf ähnliche Weise wollen wir das, was über die Veränderung der Schiefe der Ekliptik und des Aequators auseinandergesetzt ist, prüfen, und werden sehen, dass es sich richtig so verhalte. Wir haben nämlich im zweiten Jahre des Antoninus beim Ptolemäus die geprüfte einfache Anomalie zu 21 ¼ erhalten, und dabei war die grösste Schiefe 23° 51' 20". Von da an bis auf unsere Beobachtung sind es ungefähr 1387 Jahre, in welchen der Ort der einfachen Anomalie sich berechnet zu 145° 24' und zu dieser Zeit findet sich die Schiefe zu 23° 28' und fast 2/5' . Hierzu nehmen wir wieder den Bogen abc der Ekliptik, oder für denselben wegen seiner Kleinheit eine Gerade, und über derselben den Halbkreis der einfachen Anomalie [155] um den Pol b, wie früher. Nun sei a die Grenze der grössten Neigung, c die der kleinsten, deren Unterschied wir untersuchen wollen. Der Bogen ae des kleinen Kreises, werde gleich 21° 15' genommen, und der Rest des Quadranten ed wird 68° 45' sein. Der ganze Bogen edf ist nach der Berechnung 145° 24'132 und der Rest df = 76° 39' . Auf den Durchmesser abc werden eg und fk senkrecht gefällt. Die Bogen gk des grössten Kreises ist aus dem Unterschiede der Schiefen von Ptolemäus bis auf uns als 22' 56" bekannt. Nun ist die einer Graden ähnliche Linie qb die Hälfte der Sehne des Doppelten ed, oder gleich 932 Theilen, von denen ac als Durchmesser 2000 enthält, und von diesen Theilen enthält auch kb, als die Hälfte der Sehne des Doppelten df 973. Hieraus ergiebt sich die ganze gk = 1905 Theilen, von denen ac 2000 enthält. Da aber gk 22' 56" enthält: so enthält ac nahe 24' , als die Differenz zwischen der grössten und kleinsten Schiefe, welche wir gesucht haben. Hieraus geht hervor, dass die grösste Schiefe stattgefunden hat zwischen Timocharis und Ptolemäus zu vollen 23° 52' , und dass sie sich jetzt der kleinsten, zu 23" 28' , nähert. Und hiernach wird Alles, was die dazwischen liegenden Neigungen dieser Kreise betrifft, auf dieselbe Weise, welche wir bei der Präcession entwickelt haben, gefunden. Capitel 11. Ueber die Feststellung der Orte für die gleichmässigen Bewegungen der Nachtgleichen und der Anomalie. Nachdem dies Alles so erledigt ist, bleibt noch übrig, dass wir die Orte der Bewegungen der Frühlingsnachtgleiche selbst feststellen, welche von Einigen Wurzeln genannt werden, von denen für eine jede beliebig gegebene Zeit die Rechnungen abgeleitet werden. Als äussersten Zeitpunkt stellte hierbei Ptolemäus den Anfang der Regierung Nabonassar's, Königs der Chaldäer, fest, welchen die Meisten, getäuscht durch die Aehnlichkeit des Namens, für Nabuchodonassar gehalten haben, den aber die Zeitrechnung des Ptolemäus viel früher setzt, und dessen Zeit bei den Geschichtsschreibern mit derjenigen Salmanassars, des Königs der Chaldäer, zusammenfällt. Indem wir aber bekanntere Zeiten verfolgen, haben wir es für genügend befunden, wenn wir von der ersten Olympiade anfingen, über welche sich ergiebt, dass sie um 28 Jahre dem Nabonassar vorausgegangen ist, wobei die Sommersonnenwende den Anfang bildete, zu welcher Zeit den Griechen der Sirius (heliakisch) aufging und die olympischen Spiele gefeiert wurden, wie Censorinus und andere anerkannte Autoren angegeben haben. Nach genauerer Zeitrechnung, welche bei den Berechnungen der Himmelsbewegungen nothwendig ist, sind es von der ersten Olympiade, oder vom Mittage des ersten Tages des Monats Hekatombäon der Griechen, bis Nabonassar, oder bis zum Mittage des ersten Tages des Monats Thoth der Aegypter, 27 Jahre und 247 Tage. Von da bis zu Alexanders Tode 424 [156] ägyptische Jahre, vom Tode Alexanders aber bis zum Anfange der Jahre des Julius Cäsar 278 Jahre 118½ Tage um die Mitternacht des ersten Januars, wohin Julius Cäsar den Anfang des von ihm eingeführten Jahres setzte, wozu er dasjenige Jahr wählte, in welchem er als Pontifex Maximus zum dritten Male und M, Aemilius Lepidus Consul waren. Von diesem so von Julius Cäsar bestimmten Jahre sind die folgenden, Julianische genannt, und zwar rechnen die Römer vom vierten Consulate Cäsar's, bis auf Octavianus Augustus 18 Jahre, ebenfalls den 1sten Januar, obgleich am 17. Januar Augustus, der Sohn des Julius Cäsar Divus, nach dem Vorschlage des Munatius Plancus vom Senate und den übrigen Bürgern zum Kaiser ernannt worden war, als er selbst zum siebenten Male und M Vipsanius Consuln waren. Aber die Aegypter, welche zwei Jahre früher in die Gewalt der Römer kamen, nach dem Tode des Antoninus und der Cleopatra, haben 15 Jahre 246 ½ Tage am Mittage des ersten Thoth, welcher für die Römer der 30ste August war. Hiernach sind es von Augustus bis zu den Jahren Christi, welche ebenfalls mit dem Januar anfangen, nach römischer Zeitrechnung 27 Jahre, nach ägyptischer aber 29 ägyptische Jahre und 130 Tage. Von da bis zum zweiten Jahre des Antoninus, für welche Ptolemäus die von ihm beobachteten Sternörter angegeben hat, sind es 138 römische Jahre und 55 Tage, welche Jahre für die Aegypter noch 34 Tage mehr liefern. Von der ersten Olympiade bis hierher sind es zusammen 913 Jahre 101 Tage. In dieser Zeit beträgt das gleichmässige Vorrücken der Nachtgleichen 12° 44', die einfache Anomalie 95° 44'. Nun war aber im zweiten Jahre des Antoninus, wie überliefert ist, die Frühlingsnachtgleiche dem ersten Sterne, im Kopfe des Widders, 6° 40' voraus; und da damals die doppelte Anomalie 42½° betrug: so war die abzuziehende Differenz zwischen der gleichmässigen und der erscheinenden Bewegung 48'. Wenn man diese wieder zu der erscheinenden Bewegung von 6° 40' hinzusetzt: so erhält man den mittleren Ort der Frühlingsnachtgleiche = 7° 28'. Wenn wir hierzu die 360° eines Kreises addiren und von der Summe jene 12° 44' abziehen: so erhalten wir für die erste Olympiade, welche bei den Atheniensern vom Mittage des ersten Hekatombäon anfing, den mittleren Ort der Frühlingsnachtgleiche = 354° 44', so dass dieselbe also damals dem ersten Sterne des Widders um 5° 16' folgte. Wenn man auf gleiche Weise von 21° 15' der einfachen Anomalie jene 95° 45' abzieht: so bleiben für denselben Anfang der Olympiaden 285° 30' als Ort der einfachen Anomalie. Und wenn man wiederum die Bewegungen je nach den Zeiträumen hinzufügt, und immer 360°, so oft sie überschritten werden, abzieht: so erhält man die Orte oder Wurzeln Alexanders, für die gleichmässige Bewegung 1° 2' und für die einfache Anomalie 332° 52'. Bei Cäsar für die mittlere Bewegung 4° 55' und für die einfache Anomalie 2° 2'. Bei Christus für den mittleren Ort 5° 32' und für die Anomalie 6° 45'. Und so erhalten wir bei den Uebrigen für den Anfang jeder beliebigen Zeit die Wurzeln der Bewegungen. [157] Capitel 12. Ueber die Berechnung der Präcession der Frühlingsnachtgleiche und der Schiefe. Sobald man also den Ort der Frühlingsnachtgleiche erhalten will, verwandelt man, wenn die zwischen dem zum Grunde gelegten Anfange und der gegebenen Zeit liegenden Jahre ungleiche sind, wie die römischen, deren man sich gewöhnlich bedient, dieselben in gleiche oder ägyptische Jahre. Denn man wendet bei der Berechnung der gleichmässigen Bewegungen, aus dem angegebenen Grunde, keine anderen als ägyptische Jahre an. Diese Anzahl Jahre theilt man, wenn sie grösser als sechzig ist, in je sechzig, und geht mit der Anzahl dieser je sechzigen in die Tafel der Bewegungen ein; indem man die erste Rubrik der Bewegung, gleichsam als überflüssig, übergeht, und von der zweiten Rubrik, als derjenigen der Grade, anfängt und, wenn sich hier eine Zahl findet, dieselbe mit sechzig multiplicirt, und mit den andern Graden, Minuten u. s. w. zusammennimmt. Hierauf geht man mit dem Reste der Jahre zum zweiten Male in die Tafel ein, und nimmt von der ersten Rubrik an, die Grade, Minuten u. s. w. wie sie dastehen. Hierbei können Theile der Tage, ja sogar ganze Tage, wegen der Langsamkeit dieser Bewegungen, füglich vernachlässigt werden, da es sich bei der täglichen Bewegung nur um Secunden und Tertien handelt. Nachdem man dies Alles zu seiner Wurzel addirt, die betreffenden Zeichen an ihre Stellen gesetzt, und immer die sechs bei je sechszig Graden, wenn sie sich ergeben, beseitigt hat: erhält man für die gegebene Zeit den mittleren Ort der Frühlingsnachtgleiche, um welchen sie dem ersten Sterne des Widders vorausgeht, oder um welchen derselbe Stern, der Nachtgleiche folgt. In derselben Weise sucht man auch die Anomalie. Mit dieser einfachen Anomalie aber findet man in der Tafel der Prosthaphäresen in der letzten Rubrik die verzeichneten Proportional-Minuten, welche man sich besonders notirt. Hierauf sucht man mit der verdoppelten Anomalie, in der dritten Rubrik derselben Tafel, die Prosthaphärese in Graden und Minuten, um welche die wahre Bewegung von der mittleren unterschieden ist. Und diese Prosthaphärese zieht man ab, wenn die doppelte Anomalie kleiner als der Halbkreis ist; wenn Letztere aber grösser als der Halbkreis ist, also mehr als 180 Grade enthält: so addirt man diese Prosthaphärese zu der mittleren Bewegung, und die Summe oder Differenz ergiebt die wahre erscheinende Bewegung der Präcession der Frühlingsnachtgleiche, oder: um wie viel sich dann der erste Stern des Widders von der Frühlingsnachtgleiche entfernt hat, welcher Abstand bei der Ermittelung des Ortes irgend eines anderen Sternes, zu der im Sternverzeichnisse stehenden Länge desselben addirt wird. Weil aber das Schwerverständliche durch Beispiele anschaulicher zu werden pflegt: so sei verlangt, für April 16 im Jahre Christi 1525 den wahren Ort der Frühlingsnachtgleiche, die Schiefe der Ekliptik und den Abstand der [158] Aehre in der Jungfrau von derselben Nachtgleiche zu finden. Es ist nun klar, dass in den 1524 römischen Jahren und 106 Tagen von dem Beginne der Jahre Christi an bis zu dieser Zeit 381 Tage eingeschaltet sind; dies ergiebt in ägyptischen Jahren 1525 Jahre 122 Tage, und das sind 25 mal sechzig und 25 Jahre, nebst 2 mal sechzig und 2 Tage. Den 25 mal sechzig Jahren entspricht aber in der Tafel der mittleren Bewegung 20° 55' 2", den 25 Jahren 20' 55", den 2 mal sechzig Tagen 16", für die übrigen beiden Tage liegt sie in den Tertien. Dies Alles zu der Wurzel, welche 5° 32' betrug, addirt, giebt als mittlere Präcession der Frühlingsnachtgleiche 26° 48'. Ebenso beträgt die Bewegung der einfachen Anomalie für 25 mal sechzig Jahre, 2 mal sechzig Grad und 37° 15' 3"; für 25 Jahre 2° 37' 15"; für 2 mal sechzig Tage 2' 4" und für ebensoviel Tage 2". Dies zu der Wurzel, welche 6° 45' 147) betrug, addirt, giebt als einfache Anomalie 2 mal sechzig Grad und 46° 40'. Nach der letzteren notirt man sich, behufs der Untersuchung der Schiefe, aus der Tafel der Prosthaphäresen146) die in der letzten Rubrik enthaltenen Proportional-Minuten, und findet da eine einzige. Hierauf findet man mitteltst der verdoppelten Anomalie, welche 5 mal sechzig Grad und 33° 20' beträgt, die Prosthaphärese 32' , welche zu addiren ist, weil die Anomalie grösser als der Halbkreis ist; wird diese nun zu der mittleren Bewegung addirt: so kommt als wahre und erscheinende Präcession der Frühlingsnachtgleiche heraus 27° 21'. Wenn man endlich hierzu 170° addirt, um welche die Aehre der Jungfrau vom ersten Sterne des Widders absteht: so erhält man ihren Abstand von der Frühlingsnachtgleiche , und in Folge davon 17° 21' von der Wage, wo sie ungefähr zur Zeit unserer Beobachtung stand. Die Schiefe der Ekliptik aber und die Declinationen werden so berechnet, dass für den Fall, wo die Proportional-Minuten 60 betragen, die in dem Verzeichnisse der Declinationen beigesetzten Ueberschüsse, nämlich die Differenzen zwischen der grössten und kleinsten Schiefe, ihrem ganzen Werthe nach, zu den Declinationen addirt werden. Hier aber fügt die Einheit jener Proportional-Minuten nur 24" der Schiefe hinzu. Deshalb bleiben die Declinationen der Theile der Ekliptik, wie sie in dem Verzeichnisse stehen, in dieser Zeit unverändert, wegen der uns schon nahen kleinsten Schiefe, während sie sich sonst merklicher ändern. Wie z. B. wenn die einfache Anomalie 90° beträgt, wie dies 880 ägyptische Jahre nach Christus der Fall war, dieser Anomalie entsprechend 25 Proportional-Minuten sich ergeben. Es verhält sich aber 60' : 24', der Differenz zwischen der grössten und kleinsten Schiefe, wie 25' : 10', welche letzteren zu 28' addirt, die wirkliche Schiefe für jene Zeit zu 23° 38' ergeben. Wenn man dann auch die Declination für irgend einen Punkt der Ekliptik, z. B. für 3° ?, welcher um 33° von der Nachtgleiche absteht, wissen will: so findet man in dem Verzeichnisse 155) 12° 32', mit einer Differenz von 12'. Es verhält sich aber 60 : 25 = 12' : 5', welche letzteren, zu der Declination addirt, 12° 37' für 33° der Ekliptik ergeben. In derselben Weise, wie bei den Schnittwinkeln [159] der Ekliptik und des Aequators, kann man auch bei den Rectascensionen verfahren, nur dass man bei diesen das abziehen muss, was bei jenen immer zu addiren ist, wenn man nicht die Berechnung der sphärischen Dreiecke vorzieht, um für die gegebenen Zeiten Alles genauer zu erhalten. Capitel 13. Ueber die Grösse und Verschiedenheit des Sonnenjahres. Dass aber die Präcession der Nachtgleichen und der Sonnenwenden, von welcher wir gesagt haben, dass sie von der Neigung der Erdaxe herrührt, so verläuft, wird auch die jährliche Bewegung des Mittelpunktes der Erde bestätigen, welche um die Sonne vor sich geht, und von welcher wir nunmehr zu handeln haben. Es muss nämlich aus derselben ohne Zweifel hervorgehen, dass die Grösse des Jahres, wenn sie von einer Nachtgleiche oder Sonnenwende bis zur nächsten gerechnet wird, wegen der ungleichen Aenderung dieser Punkte, ungleich ausfällt, da beide von einander abhängen. Man muss daher das bürgerliche (temporalis) Jahr von dem Sternjahre (sidereus) trennen und unterscheiden. Wir nennen nämlich das Jahr das natürliche oder bürgerliche, welches uns die vier Jahreszeiten bestimmt; das Sternjahr aber dasjenige, welches auf irgend einen Fixstern zurückführt. Dass nun das natürliche Jahr, welches man auch das tropische (vertens) nennt, ungleich ist, beweisen die Beobachtungen der Alten vielfach. Denn Callippus, Aristarch von Samos und Archimedes von Syracus bestimmen, dass dasselbe ausser 365 ganzen Tagen noch einen Vierteltag enthalte; indem sie, nach der Sitte der Athenienser, den Anfang des Jahres von der Sonnenwende rechnen. Cl. Ptolemäus aber, welcher bemerkte, dass die Feststellung der Sonnenwenden schwierig und zweifelhaft sei, traute den Beobachtungen jener nicht ganz, und stützte sich lieber auf den Hipparch, welcher nicht sowohl die Sonnenwenden, als vielmehr die Nachtgleichen in Rhodos aufgezeichnet und bemerkt hatte, dass an dem vierten Theile des Tages etwas fehle. Dieses Fehlende bestimmte Ptolemäus später auf 1/300 Tag durch folgende Methode. Er legte die von Jenem zu Alexandria im Jahre 177 nach dem Tode Alexanders des Grossen, nach ägyptischer Zeitrechnung am dritten Schalttage um Mitternacht, auf welche der vierte Schalttag folgte, sehr genau beobachtete Herbstnachtgleiche zu Grunde. Hiermit verband Ptolemäus eine von ihm selbst zu Alexandria im 3ten Jahre des Antoninus, welches das 463ste nach Alexander's Tode war, am 9ten Tage des 3ten ägyptischen Monats Athyr, ungefähr eine Stunde nach Sonnenaufgang, angestellte Beobachtung derselben Nachtgleiche. Zwischen dieser Beobachtung und derjenigen des Hipparch lagen 285 ägyptische Jahre 70 Tage 7 1/5 Stunden, während es 71 Tage 6 Stunden hätten sein müssen, wenn das tropische Jahr ausser den ganzen Tagen noch ¼ Tag enthielte. Es war also in 285 Jahren ein Tag weniger 1/20 Tag verloren gegangen. [160] Daraus folgt, dass in 300 Jahren ein ganzer Tag verloren geht. Ebenso führte er auch die Ableitung von der Frühlingsnachtgleiche aus. Er gedenkt nämlich einer Notiz des Hipparch vom Jahre 178 Alexanders den 27sten Mechir, des sechsten ägyptischen Monats, beim Aufgange der Sonne. Er selbst findet dieselbe im Jahre 463 am 7ten Pachon, des neunten ägyptischen Monats, 1 Uhr Mittags und etwas darüber; also dass in 285 Jahren ebenfalls 1 Tag weniger 1/20 Tag fehle. Auf Grund dieser Thatsachen bestimmte Ptolemäus das tropische Jahr zu 365d 14 sechzigstel und 48 dreitausendsechshundertstel. Hierauf hat Albategnius in Rakka in Syrien mit nicht geringerer Sorgfalt im Jahre 1206 nach dem Tode Alexanders die Herbstnachtgleiche beobachtet und gefunden, dass dieselbe in der auf den 7ten Pachon folgenden Nacht 72/5 Uhr, d. i. 43/5 Stunden vor Anbruch des 8ten Tages stattgefunden hat. Um diese seine Beobachtung mit derjenigen des Ptolemäus im 3ten Jahre des Antoninus, eine Stunde nach Sonnenaufgang zu Alexandria, welche Stadt 10° westlich von Rakka liegt, angestellten zu vergleichen; reducirte er die letztere auf seinen Meridian von Rakka, für welchen dieselbe 1⅔ Stunden nach Sonnenaufgang stattgefunden haben musste. Folglich waren in einem Zeiträume von 743 ägyptischen Jahren 178 Tage und 173/5 Stunden überschüssig; während die Vierteltage sich zu 185 ¾ Tagen ansammeln. Da also 7 Tage und 2/5 Stunden fehlen: so scheint an dem ¼ noch 1/106 zu fehlen. Er dividirte also die 7 Tage und 2/5 Stunden mit der Anzahl der Jahre 743, erhielt 13m und 36s und zog diese von ¼ Tag ab. Danach gab er an, dass das natürliche Jahr 365d 5h 46m 24s enthalte164). Auch wir haben die Herbstnachtgleiche in Frauenburg beobachtet, und zwar im Jahre 1515 nach Christi Geburt am 14. September, das war nach Alexanders Tode im 1840sten ägyptischen Jahre am 6ten Phaophi, eine halbe Stunde nach Sonnenaufgang . Weil aber Rakka ungefähr 25° östlich von unserer Gegend liegt, was 2h weniger ⅓h ausmacht: so lagen zwischen unserer und des Albategnius Nachtgleiche 633 ägyptische Jahre und 153d 6¾h anstatt 158d 6h . Von jener alexandrinischen Beobachtung des Ptolemäus aber bis auf den Ort und die Zeit unserer Beobachtung sind es 1376 ägyptische Jahre 332h und ½h, denn wir stehen von Alexandria ungefähr eine Stunde ab. Es fielen also seit Albategnius bis auf uns, in 633 Jahren, 5 Tage weniger 1¼ Stunde weg, also in 128 Jahren ein Tag; von Ptolemäus aber, in 1376 Jahren, ungefähr 12 Tage, also in 115 Jahren ein Tag; das Jahr hat sich also in beiden Zeiträumen ungleich ergeben. Wir haben auch die Frühlingsnachtgleiche beobachtet, welche im folgenden Jahre 1516 nach Christi Geburt 4⅓ Stunden nach Mitternacht auf den 11ten März eintrat, und es beträgt der Zeitunterschied von jener Frühlingsnachtgleiche des Ptolemäus, wenn man dieselbe vom Meridiane Alexandria's auf den unsrigen reducirt. 1376 ägyptische Jahre 332d 16⅓h, wobei sich zugleich ergiebt, dass auch die Abstände der Frühlings- und Herbst-Nachtgleichen ungleich sind. Es ist aber gar viel daran gelegen, dass das auf diese Weise erhaltene Sonnenjahr [161] sich gleich bleibe. Dass bei den Herbstnachtgleichen zwischen Ptolemäus und uns, wie nachgewiesen, nach einer gleichmässigen Eintheilung in Jahre 1/115 an ¼ Tage fehlt, stimmt mit der von Albategnius in Rakka beobachteten Nachtgleiche um ½ Tag nicht. Auch stimmt der Unterschied von Albategnius und uns, nach welchem 1/128 an ¼ Tag fehlen muss, nicht mit dem Ptolemäus, sondern die Berechnung ergiebt gegen die Beobachtung der Nachtgleiche Jenes mehr als einen ganzen Tag zu viel, gegen diejenige des Hipparch sogar mehr als zwei Tage zu viel. Wenn man ebenso den Abstand von Ptolemäus bis Albategnius zum Grunde legt: so überschreitet die berechnete die von Hipparch beobachtete Nachtgleiche um zwei Tage. Deshalb entnimmt man richtiger die Gleichheit des Sonnenjahres den Fixsternen, was Thebites, der Sohn Chora's, zuerst entdeckt und dessen Grösse zu 365d + 15/60 + 23/3600 oder 6h 9m 12s festgestellt hat; indem er wahrscheinlich zunächst davon ausging, dass bei einem langsameren Zurückgehen der Nachtgleichen und Sonnenwenden das Jahr länger erscheint, als bei einem geschwinderen, und zwar dies in einem bestimmten Verhältnisse; was nur dann stattfinden konnte, wenn die Gleichheit in Beziehung auf die Fixsternsphäre bestand. Man hat daher in dieser Beziehung den Ptolemäus nicht zu beachten, welcher widersinnig und ungehörig glaubte, die jährliche Gleichheit der Sonne werde durch ihre Rückkehr zu irgend einem der Fixsterne gemessen, und stimme nicht besser, als wenn man dieselbe auf den Jupiter oder Saturn bezöge. Hieraus ergiebt sich nun auch die Ursache, warum vor Ptolemäus das bürgerliche Jahr länger war, weil es nach ihm durch die vergrösserte Präcession kürzer geworden ist. Es kann zwar auch beim Sternzeichen-(asteroterida) oder siderischen Jahre ein Fehler eintreten, jedoch nur ein geringer und viel kleinerer als derjenige, den wir bereits nachgewiesen haben. Und zwar dies deshalb, weil die erscheinende Bewegung des Mittelpunktes der Erde um die Sonne durch eine andere doppelte Verschiedenheit ungleich ist. Von diesen Verschiedenheiten hat die erste und einfache eine jährliche Periode, die andere, welche in dem Verändern der ersten besteht, wird nicht sogleich, sondern erst nach einem grossen Zeiträume wahrgenommen. Deshalb ist die Berechnung der jährlichen Gleichheit weder einfach noch leicht einzusehen. Denn wenn man dieselbe einfach nach dem bekannten bestimmten Abstände von einem beliebigen Fixsterne entnehmen wollte, — was mit Hülfe des Astrolabiums und des Mondes geschehen kann, wie wir das beim Basiliskus des Löwen (Buch II Cap. 14) entwickelt haben, so würde man einen Fehler nicht ganz vermeiden, ausser wenn grade dann die Sonne, wegen der Bewegung der Erde, entweder keine Prosthaphärese, oder zufällig eine gleichnamige und gleiche für beide Zeitpunkte hätte. Wenn dies nicht zutrifft, und ein Unterschied in der Ungleichheit derselben stattfindet, so wird sich in gleichen Zeiten schlechterdings kein gleicher Umlauf ergeben. Wenn aber für beide Zeitpunkte die ganze abgeleitete Ungleichheit in der Rechnung berücksichtigt [162] wird, so wird das Resultat genau werden. Die Bestimmung der Ungleichheit selbst verlangt eine vorläufige Kenntniss der mittleren Bewegung, welche wir deshalb aufsuchen wollen. Um aber endlich zu der Lösung dieses Knotens zu kommen, haben wir überhaupt vier Ursachen der erscheinenden Ungleichheit gefunden. Die erste ist die Ungleichheit des Vorrückens der Nachtgleichen, welche wir entwickelt haben. Die zweite ist diejenige, wonach die Sonne in gleichen Zeiten ungleiche Bogen der Ekliptik zu durchlaufen scheint, und diese hat fast eine jährliche Periode. Die dritte, welche auch diese verändert, und welche wir die zweite Ungleichheit nennen werden. Die vierte endlich, welche die Sonnennähe und Sonnenferne des Mittelpunktes der Erde ändert, wie weiter unten deutlich werden wird. Von allen diesen war nur die zweite dem Ptolemäus bekannt, welche allein nicht die jährliche Ungleichheit hervorbringen konnte, sondern dieselbe vielmehr in Verbindung mit den übrigen verursacht. Um aber den Unterschied zwischen dem gleichen und dem erscheinenden Sonnenjahre zu zeigen, ist keine ganz genaue Berechnung des Jahres nothwendig, sondern es genügt, wenn wir als Grösse des Jahres 365¼ Tage in Rechnung bringen, in welcher Zeit die Bewegung der ersten Ungleichheit vollendet wird, da ja das, was beim ganzen Kreise so wenig beträgt, auf eine kleinere Grösse bezogen, völlig verschwindet. Aber behufs einer besseren und leichteren Anordnung des Vortrages wollen wir die gleichen Bewegungen des jährlichen Umlaufes des Mittelpunktes der Erde hier voranschicken, denen wir dann die Unterschiede der gleichen und der erscheinenden Bewegung in ihrer erforderlichen Darlegung hinzufügen. Capitel 14. Ueber die gleichmässigen, mittleren Bewegungen bei dem Kreisläufe des Mittelpunkts der Erde. Wir haben gefunden, dass die Grösse des gleichmässigen Jahres nur um 1II und 10III grösser ist, als Thebit Ben Chora sie angegeben hat; so dass es 365d 15I 24II 10III oder 6h 9m 40s enthält, und dass die zuverlässige Gleichmässigkeit desselben aus der Fixsternsphäre sich ergiebt. Wenn wir daher 360° eines Kreises mit 365d multipliciren, und das Product durch 3365d 15I 24II 10III dividiren: so erhalten wir die Bewegung in einem ägyptischen Jahre als 5 $\times$ 60° + 59° 44' 49" 7"' 4"" . Und die Bewegung von 60 solchen Jahren mit Weglassung der ganzen Kreise als 50 $\times$ 60° + 44° 49' 7" 4". Dividiren wir wiederum die jährliche Bewegung durch 365d: so erhalten wir die tägliche Bewegung als 59' 8" 11'" 22"". Wenn wir hierzu die mittlere gleichmässige Präcession der Nachtgleichen addiren: so erhalten wir die gleichmässige jährliche Bewegung in den bürgerlichen (temporariis) Jahren zu 5 $\times$ 60° + 59° 45' 39" 19'" 9"" und [163] die tägliche zu 59' 8" 19'" 37"" In dieser Beziehung können wir jene Bewegung der Sonne, um einen gewöhnlichen Ausdruck zu gebrauchen, die einfache gleichmässige, diese aber die zusammengesetzte gleichmässige nennen. Wir werden dieselben in der Weise in Tafeln bringen, wie wir es bei der Präcession der Nachtgleichen gethan haben. Diesen fügen wir die gleichmässige Bewegung der Anomalie der Sonne hinzu, über welche später. [164] TAFEL DER EINFACHEN GLEICHMÄSSIGEN BEWEGUNG DER SONNE VON JAHR ZU JAHR UND VON SECHZIG JAHREN ZU SECHZIG JAHREN. Aegyp- tische Jahre B e w e g u n g Ort Christi 272° 31' Buch III. Cap. 19. Aegyp- tische Jahre B e w e g u n g Sech- zig Grad Min. Secund. Tertien Sech- zig Grad Min. Secund. Tertien 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 59 59 59 58 58 58 58 57 57 57 57 56 56 56 56 55 55 55 55 54 54 54 54 53 53 53 53 52 52 52 44 29 14 59 44 28 13 58 43 28 13 57 42 27 12 57 41 26 11 56 41 26 10 55 40 25 10 54 39 24 49 38 27 16 5 54 43 32 22 11 0 49 38 27 16 5 55 44 33 22 11 0 49 38 27 17 6 55 44 33 7 14 21 28 35 42 49 56 3 10 17 24 31 38 46 53 0 7 14 21 28 35 42 49 56 3 10 17 24 32 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 52 51 51 51 51 50 50 50 50 49 49 49 49 48 48 48 48 47 47 47 47 46 46 46 46 45 45 45 45 44 9 54 39 23 8 53 38 23 7 52 37 22 7 52 36 21 6 51 36 20 5 50 35 20 5 49 34 19 4 49 22 11 0 50 39 28 17 6 55 44 33 22 12 1 50 39 28 17 6 55 45 34 23 12 1 50 39 28 17 7 39 46 53 0 7 14 21 28 35 42 49 56 3 10 18 25 32 39 46 53 0 7 14 21 28 35 42 49 56 4 [165] TAFEL DER EINFACHEN GLEICHMÄSSIGEN BEWEGUNG DER SONNE VON TAGE ZU TAGE UND VON SECHZIG TAGEN ZU SECHZIG TAGEN. Tage B e w e g u n g Tage B e w e g u n g Sech- zig Grad Min. Secund. Tertien Sech- zig Grad Min. Secund. Tertien 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 59 58 57 56 55 54 53 53 52 51 50 49 48 47 47 46 45 44 43 42 41 41 40 39 38 37 36 35 34 34 8 16 24 32 40 49 57 5 13 21 30 38 40 54 2 11 19 27 35 43 51 0 8 16 24 32 41 49 57 5 11 22 34 45 56 8 19 30 42 53 5 16 27 39 50 1 13 24 35 47 58 9 21 32 44 55 6 18 29 41 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 33 32 31 30 29 28 28 27 26 25 24 23 22 22 21 20 19 18 17 16 15 15 14 13 12 11 10 9 9 8 13 22 30 38 46 54 3 11 19 27 35 43 52 0 8 16 24 33 41 49 57 5 14 22 30 38 46 54 3 11 52 3 15 26 37 49 0 11 23 34 45 57 8 20 31 42 54 5 16 28 39 50 2 13 25 36 47 59 10 22 [166] TAFEL DER ZUSAMMENGESETZTEN GLEICHMÄSSIGEN BEWEGUNG DER SONNE VON JAHR ZU JAHR UND VON SECHZIG JAHREN ZU SECHZIG JAHREN. Aegyp- tische Jahre B e w e g u n g Aegyp- tische Jahre B e w e g u n g Sech- zig Grad Min. Secund. Tertien Sech- zig Grad Min. Secund. Tertien 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 59 59 59 59 58 58 58 58 57 57 57 57 56 56 56 56 55 55 55 55 54 54 54 54 54 53 53 53 53 52 45 31 16 2 48 33 19 5 50 36 22 7 53 39 24 10 56 41 27 13 58 44 30 15 1 47 32 18 4 48 39 18 57 37 16 55 35 14 53 33 12 51 31 10 49 29 8 47 27 6 45 25 4 43 22 2 41 20 0 39 19 38 57 16 35 54 14 33 52 11 30 49 8 28 47 6 25 44 3 23 42 1 20 39 58 17 37 56 15 34 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 52 52 52 51 51 51 51 50 50 50 50 49 49 49 49 49 48 48 48 48 47 47 47 47 46 46 46 46 45 45 35 21 6 52 38 23 9 55 40 26 11 57 43 28 14 0 45 31 17 2 48 34 19 5 51 36 22 8 53 39 18 58 37 16 56 35 14 54 33 12 52 31 10 50 29 8 48 27 6 45 25 4 43 23 2 41 21 0 39 19 53 12 31 51 10 29 48 7 26 46 5 24 43 2 21 40 0 19 38 57 16 35 54 14 33 52 11 30 49 9 [167] TAFEL DER ZUSAMMENGESETZTEN GLEICHMÄSSIGEN BEWEGUNG DER SONNE VON TAGE ZU TAGE UND VON SECHZIG TAGEN ZU SECHZIG TAGEN. Tage B e w e g u n g Tage B e w e g u n g Sech- zig Grad Min. Secund. Tertien Sech- zig Grad Min. Secund. Tertien 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 59 58 57 56 55 54 53 53 52 51 50 49 48 47 47 46 45 44 43 42 41 41 40 39 38 37 36 35 35 34 8 16 24 33 41 49 58 6 14 23 31 39 48 56 4 13 21 29 38 46 54 3 11 19 28 36 44 53 1 9 19 39 58 18 38 57 17 36 56 16 35 55 15 34 54 13 33 53 12 32 51 11 31 50 10 30 49 9 28 48 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 33 32 31 30 29 28 28 27 26 25 24 23 22 22 21 20 19 18 17 16 15 15 14 13 12 11 10 9 9 8 18 26 34 43 51 59 8 16 24 33 41 49 58 6 14 23 31 39 48 56 4 13 21 29 37 46 54 2 11 19 8 27 47 6 26 46 5 25 45 4 24 43 3 23 42 2 21 41 1 20 40 0 19 39 58 18 38 57 17 37 [168] TAFEL DER GLEICHMÄSSIGEN BEWEGUNG DER ANOMALIE DER SONNE VON JAHR ZU JAHR UND VON SECHZIG JAHREN ZU SECHZIG JAHREN. Aegyp- tische Jahre B e w e g u n g Ort Christi 211° 19' Aegyp- tische Jahre B e w e g u n g Sech- zig Grad Min. Secund. Tertien Sech- zig Grad Min. Secund. Tertien 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 59 59 59 58 58 58 58 57 57 57 57 56 56 56 56 55 55 55 55 54 54 54 54 53 53 53 52 52 52 52 44 28 13 57 42 26 10 55 39 24 8 52 37 21 6 50 35 19 3 48 32 17 1 45 30 14 59 43 27 12 24 49 14 39 3 28 53 18 43 7 32 57 22 46 11 36 1 26 50 15 40 5 29 54 19 44 9 33 58 23 46 33 20 7 54 41 27 14 1 48 35 22 8 55 42 29 16 3 49 36 23 10 57 44 30 17 4 51 38 25 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 51 51 51 51 50 50 50 50 49 49 49 49 48 48 48 48 47 47 47 47 46 46 46 45 45 45 45 44 44 44 56 41 25 10 54 38 23 7 52 36 20 5 49 34 18 2 47 31 16 0 45 29 13 58 42 26 11 55 40 24 48 12 37 2 27 52 16 41 6 31 56 20 45 10 35 59 24 49 14 39 3 28 53 18 42 7 32 57 22 46 11 58 45 32 19 6 52 39 26 13 0 47 33 20 7 54 41 28 14 1 48 35 22 9 55 42 29 16 3 50 [169] TAFEL DER GLEICHMÄSSIGEN BEWEGUNG DER ANOMALIE DER SONNE V0N TAGE ZU TAGE UND VON SECHZIG TAGEN ZU SECHZIG TAGEN. Tage B e w e g u n g Tage B e w e g u n g Sech- zig Grad Min. Secund. Tertien Sech- zig Grad Min. Secund. Tertien 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 59 58 57 56 55 54 53 53 52 51 50 49 48 47 47 46 45 44 43 42 41 40 40 39 38 37 36 35 34 34 8 16 24 32 40 48 56 4 13 21 29 37 45 53 1 9 18 26 34 42 50 58 6 14 23 31 39 47 55 3 7 14 22 29 36 44 51 58 6 13 21 28 35 43 50 57 5 12 19 27 34 42 49 56 4 11 18 26 33 41 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 33 32 31 30 29 28 28 27 26 25 24 23 22 22 21 20 19 18 17 16 15 15 14 13 12 11 10 9 8 8 11 19 28 36 44 52 0 8 16 24 33 41 49 57 5 13 21 29 38 46 54 2 10 18 26 34 42 51 59 7 48 55 3 10 17 25 32 39 47 54 2 8 16 24 31 38 46 53 0 8 15 23 30 37 45 52 59 7 14 22 [170] Capitel 15. Voruntersuchungen zur Entwicklung der Ungleichmässigkeit in der erscheinenden Bewegung der Sonne. Um in die erscheinende Ungleichmässigkeit der Sonne mehr einzudringen, wollen wir noch deutlicher nachweisen, dass, — während die Erde die in der Mitte der Welt stehende Sonne, wie einen Mittelpunkt umkreist und die Entfernung zwischen Sonne und Erde, wie gesagt, im Vergleich zur Unermesslichkeit der Fixsternsphäre, verschwindend klein ist: — die Sonne in Bezug auf irgend einen Punkt oder auf einen Stern derselben Sphäre in der Ekliptik sich ebenso zu bewegen scheint. Es sei nämlich ab ein grösster Kreis in der Ebene der Ekliptik, sein Mittelpunkt c, und in diesem stehe die Sonne. Mit der Entfernung der Sonne von der Erde cd, in Vergleich zu welcher die Ausdehnung der Welt unermesslich ist, werde der Kreis de in derselben Ebene der Ekliptik beschrieben, in welchem die jährliche Bewegung des Mittelpunktes der Erde vor sich gehen soll. Ich behaupte, dass in Bezug auf irgend einen in dem Kreise ab angenommenen Punkt oder auf einen Stern der Ekliptik, die Sonne sich ebenso zu bewegen scheine. Angenommen, die Sonne werde von der Erde, die sich in d befinde, in der Richtung acd in a gesehen. Die Erde bewege sich irgend wie durch den Bogen de und von dem Punkte e werden ae und be gezogen. Die Sonne erscheint nun von e aus gesehen in dem Punkte b. Weil aber ac gegen cd unendlich gross ist: so ist, da ce gleich cd, ae auch gegen ce unendlich gross. Wir nehmen in ac irgend einen Punkt f an, und ziehen cf. Da nun die von den Endpunkten der Basis ce nach dem Punkte a gezogenen beiden graden Linien ausserhalb des Dreiecks efc fallen: so ist nach der Umkehrung des 21sten Satzes des ersten Buches von Euklid's Elementen, der Winkel fae kleiner als der Winkel efc. Deshalb schliessen die in's Unendliche ausgedehnten Linien endlich einen so spitzen Winkel cae ein, dass er nicht mehr wahrgenommen werden kann; und um diesen Winkel ist der Winkel bca grösser als der Winkel aec. Wegen dieses so unbedeutenden Unterschiedes erscheinen diese Winkel als gleich, und die Linie ac und ae als parallel; folglich scheint die Sonne in Beziehung auf einen beliebigen Punkt der Fixsternsphäre sich ebenso zu bewegen, als wenn sie um den Mittelpunkt c kreiste, was zu beweisen war. Ihre Ungleichmässigkeit aber wird daraus nachgewiesen, dass die Bewegung des Mittelpunktes der Erde und sein jährlicher Kreislauf nicht genau um den Mittelpunkt [171] der Sonne vor sieh geht. Dies kann sehr wohl auf zwei Weisen vorgestellt werden, entweder durch einen excentrischen Kreis, d. h dessen Mittelpunkt nicht derjenige der Sonne ist, oder durch einen Epicykel, bei welchem die Sonne im Mittelpunkte des Hauptkreises selber steht. Aus dem excentrischen Kreise erklärt sich dies folgendermassen. Sei abcd ein excentrischer Kreis in der Ebene der Ekliptik, sein Mittelpunkt e liege um einen nicht sehr kleinen Abstand ausserhalb des Mittelpunkts der Sonne und der Welt, welcher f sei, der Durchmesser durch beide Mittelpunkte sei aefd, das Apogeum, welches von den Lateinern summa absis genannt wird, liege in a, als in dem vom Mittelpunkte der Welt entferntesten Orte: d dagegen sei das Perigeum, welches infima absis heisst und der dem Mittelpunkte der Welt nächste Ort ist. Wenn sich nun die Erde in ihrer Bahn abcd gleichmässig um den Mittelpunkt e bewegt, so erscheint, wie gesagt, die Bewegung um f ungleichmässig. Macht man die Bogen ab und cd gleich und zieht die graden Linien be, ce, bf, cf: so sind die Winkel aeb und ced, denen gleiche Bogen um den Mittelpunkt e zugehören, gleich. Der Aussenwinkel cfd ist aber grösser als der innere Winkel ced, und also auch grösser als der Winkel aeb, der gleich ced ist. Der Aussenwinkel aeb ist aber auch grösser, als der innere Winkel afb, um so mehr ist der Winkel cfd grösser als afb. Jeder von beiden wird aber in gleichen Zeiten durchlaufen, weil die Bogen ab und cd einander gleich sind. Die gleichmässige Bewegung um e erscheint also ungleichmässig um f. Dasselbe lässt sich noch einfacher daraus einsehen, dass der Bogen ab von f entfernter liegt als cd. Denn, nach dem 7ten Satze des 3ten Buches von Euklid's Elementen, sind die Linien af und bf grösser als cf und df, und wie in der Optik bewiesen wird, erscheinen gleiche Grössen in der Nähe grösser als in der Ferne. Daher ist nun klar, was über den excentrischen Kreis behauptet ist. [Der Beweis wäre ganz derselbe, wenn die Erde in f stillstände, und die Sonne in dem Kreise abc sich bewegte, wie beim Ptolemäus und Andern.] Dasselbe lässt sich auch durch den Epicykel erklären, bei welchem die Sonne in dem Mittelpunkt ihres Hauptkreises steht. Es sei nämlich bcd der Hauptkreis, e der Mittelpunkt der Welt, in welchem zugleich die Sonne steht, a den Mittelpunkt des Epicykels fg in derselben Ebene, und durch beide Mittelpunkte die Linie ceaf gezogen. Das Apogeum des Epicykels seif, das Perigeum i. So ist offenbar, dass eine Gleichmässigkeit in a, eine [172] Ungleichmässigkeit der Erscheinung in dem Epicykel fg hervorbringt. Denn, wenn a sich nach der Seite von b, d. h. rechtläufig, der Mittelpunkt der Erde aber vom Apogeum f aus rückläufig sich bewegt, so scheint sich e im Perigeum i mehr zu bewegen, weil beide Bewegungen sowohl von a als auch von i nach derselben Seite hin liegen. Im Apogeum f aber scheint der Punkt e langsamer zu sein, weil er sich nämlich nur mit der Differenz der beiden entgegengesetzten Bewegungen bewegt, und, wenn die Erde in g angenommen wird, der gleichmässigen Bewegung vorauseilt, in k aber hinter ihr zurückbleibt, und zwar in jedem von beiden Fällen um die Bogen ag und ak, wodurch also auch die Sonne sich ungleichmässig zu bewegen scheint. Alles, was durch den Epicykel geschieht, kann auf dieselbe Weise durch den excentrischen Kreis bedingt sein, welchen die Bewegung des Gestirns im Epicykel in Bezug auf den eigentlichen Mittelpunkt und in derselben Ebene gleichmässig beschreibt, und dessen excentrischer Mittelpunkt vom eigentlichen Mittelpunkte um die Grösse des Halbmessers des Epicykels absteht, und dies kann in dreierlei Weise geschehen. Wenn nämlich der Epicykel auf dem Hauptkreise, und das Gestirn in dem Epicykel gleiche Umläufe vollenden, aber die Bewegungen einander entgegengesetzt sind: so stellt ein fester excentrischer Kreis, dessen Apogeum und Perigeum unveränderliche Orte einnehmen, die Bewegungen des Gestirnes dar. Es sei abc ihr der Hauptkreis, der Mittelpunkt der Welt d, der Durchmesser ade; wir nehmen an, dass, während der Epicykel in a wäre, das Gestirn in dem Apogeum des Epicykels, also in g stände, und der Halbmesser desselben in die grade Linie dag fiele; nehmen vom Mittelpunkte b den Bogen ab des Hauptkreises, und lassen in gleicher Drehung ag in dem Epicykel den Bogen ef beschreiben, legen de und eb in eine grade Linie, nehmen den Bogen cf nach der entgegengesetzten Seite und ähnlich dem Bogen ab. Das Gestirn oder die Erde stehe in f, wir verbinden b mit f, und nehmen auf der Linie ad den Abschnitt dk gleich bf. Weil nun die Winkel ebf und bda gleich: so sind bf und dk parallel und gleich. Wenn aber grade Linien durch gleiche und parallele grade Linien verbunden werden: so sind sie selber parallel und gleich, nach dem 33sten Satze des ersten Buches von Euklid's Elementen. Und weil dk und ag gleich gemacht sind, so erhält man, wenn man zu beiden ak addirt, gak gleich akd, und also auch gleich kf. Der um den Mittelpunkt k mit dem Radius kag beschriebene Kreis geht also durch f, und diesen Kreis beschreibt der Punkt f durch die aus ab und ef zusammengesetzte Bewegung, als einen excentrischen, dem Hauptkreise gleichen, Kreis, der deshalb auch fest liegt. Denn wenn der Epicykel gleiche Umläufe mit dem Hauptkreise macht: so ist nothwendig, dass die Absiden des so beschriebenen excentrischen Kreises an demselben Orte liegen [173] bleiben. Wenn aber der Mittelpunkt des Epicykels und seine Peripherie ungleiche Umläufe machen, so wird die Bewegung des Gestirns keinen festen excentrischen Kreis mehr beschreiben, sondern einen solchen, dessen Mittelpunkt und Absiden sich rückläufig oder rechtläufig bewegen, je nachdem die Bewegung des Gestirns geschwinder oder langsamer ist, als der Mittelpunkt seines Epicykels. Es sei ebf grösser als der Winkel bda, aber gleich bdm: so wird ebenso bewiesen, dass wenn auf der Linie dm, dl gleich bf abgetragen wird, der um den Mittelpunkt l mit dem Radius lmn gleich ad beschriebene Kreis durch das Gestirn f geht, wodurch ersichtlich wird, dass durch die zusammengesetzte Bewegung des Gestirns der Bogen nf eines excentrischen Kreises beschrieben wird, dessen Apogeum unterdessen vom Punkte g rückläufig den Bogen gn durchlaufen hat. Umgekehrt hätte sich, wenn die Bewegung des Gestirns auf dem Epicykel langsamer gewesen wäre, der Mittelpunkt des excentrischen Kreises rechtläufig bewegt und zwar um so viel, als sich der Mittelpunkt des Epicykels geschwinder bewegt hätte, wie z. B. wenn der Winkel ebf kleiner wäre als bda aber gleich bdm, offenbar das eintreten würde, was ich behauptet habe. Aus allem Diesen geht hervor, dass immer dieselbe Ungleichmässigkeit der Erscheinung hervorgebracht wird, sei es durch den Epicykel auf dem Hauptkreise, sei es durch einen dem Hauptkreise gleichen excentrischen Kreis, und dass sich beide nicht von einander unterscheiden, wenn nur die Entfernung der Mittelpunkte gleich dem Radius des Epicykels ist. Welches von Beiden am Himmel vergehe, ist daher nicht leicht zu ermitteln. Ptolemäus war der Meinung, dass da, wo eine einfache Ungleichmässigkeit und fest unveränderliche Orte der Absiden (wie er sie bei der Sonne vermuthet) wahrgenommen werden, die Begründung durch die Excentricität ausreiche; dem Monde aber und den übrigen fünf Planeten, welche mit doppelten oder mehrfachen Ungleichheiten sich bewegen, schrieb er excentrische Epicykeln zu. Nach der Methode des excentrischen Kreises lässt sich feiner auch leicht zeigen, dass der grösste Unterschied zwischen der gleichmässigen Bewegung und der erscheinenden dann eintritt, wenn das Gestirn in dem mittleren Orte zwischen dem Apogeum und dem Perigeum erscheint; nach der Methode des Epicykels ist dies der Fall, wenn das Gestirn den Hauptkreis schneidet, wie beim Ptolemäus bewiesen ist. Durch den excentrischen Kreis wird dies folgendermassen bewiesen: Es sei abcd ein Kreis um den Mittelpunkt e, sein Durchmesser aec gehe durch die Sonne in f ausserhalb des Mittelpunkts. Die Linie bfd werde rechtwinklig durch f, und noch bc und ed gezogen. [174] Das Apogeum sei am das Perigeum c, — b und d mögen die mittleren erscheinenden Orte sein. Es ist offenbar, dass der Aussenwinkel aeb die gleichmässige, der innere Winkel efb die erscheinende Bewegung bezeichnet, und der Unterschied beider der Winkel ebf ist. Ich behaupte, dass kein grösserer Peripheriewinkel als die beiden bei b und d, über der Linie cf construirt werden kann. Man nehme vor und hinter h die Punkte g und h an, ziehe gd, ge, gf und he, hf, hd. Da nun fg dem Mittelpunkte näher und also grösser ist als df, so ist Winkel gdf grösser als dgf. Gleich sind aber die Winkel edg und egd, weil eg und ed gleiche Schenkel sind. Deshalb ist auch der Winkel edb, welcher gleich ebf ist, grösser als der Winkel egf. Ebenso ist auch df grösser als fh. Der Winkel fhd ist grösser als fdh, der ganze ehd ist aber gleich dem ganzen edh, weil eh und ed gleich sind, der Rest also cdf, welcher gleich ebf, muss also auch grösser sein, als ehf. Es kann daher nirgend über der Linie ef ein grösserer Winkel als in den Punkten b und d construirt werden. Folglich findet die grösste Differenz der gleichmässigen und erscheinenden Bewegung in dem mittleren Orte zwischen dem Apogeum und Perigeum statt. Capitel 16. Ueber die erscheinende Ungleichmässigkeit der Sonne. Dies ist allgemein bewiesen, und es kann nicht nur den Erscheinungen der Sonne, sondern auch den Ungleichmässigkeiten anderer Gestirne angepasst werden. Jetzt wollen wir das behandeln, was der Sonne und der Erde eigenthümlich ist; und zwar zuerst das, was wir von Ptolemäus und anderen Früheren überliefert erhalten haben, darauf das, was uns die neuere Zeit und die Erfahrung gelehrt hat. Ptolemäus fand, dass zwischen der Frühlingsnachtgleiche und der Sonnenwende 94½, zwischen der Sonnenwende und der Herbstnachtgleiche 92½ Tage lagen. Es war also nach Verhältniss der Zeit in dem ersten Zeiträume die mittlere gleichmässige Bewegung 93° 9', im zweiten 91° 10' . Der auf diese Weise eingetheilte Jahreskreis sei abcd, dessen Mittelpunkt e. Für den ersten Zeitraum werde ab gleich 93° 9', für den zweiten bc gleich 91° 10' genommen. Von a aus erscheint die Sonne im Frühlingsnachtgleichenpunkte, von b aus in der Sommersonnenwende, von c aus im Herbstnachtgleichenpunkte, und endlich von d aus in der Wintersonnenwende. Man ziehe ac und bd, diese mögen sich gegenseitig rechtwinklig in f schneiden, wohin wir die Sonne versetzen. Weil nun der Bogen abc grösser ist [175] als der Halbkreis, und ab grösser als bc: so erkannte Ptolemäus hieraus, dass der Mittelpunkt c des Kreises, zwischen den Linien bf und fa, und das Apogeum zwischen der Frühlingsnachtgleiche und der Sommersonnenwende liege. Man ziehe nun durch den Mittelpunkt e parallel mit afc die grade Linie ieg, welche bfd in l schneidet; und parallel mit bfd die grade Linie hek, welche af in m schneidet. Auf diese Weise entsteht das rechtwinklige Parallelogramm lemf, dessen Diagonale fe in ihrer Verlängerung fen die grösste Entfernung der Erde von der Sonne, und den Punkt n als Ort des Apogeums bezeichnet. Da nun der Bogen abc 184° 19' beträgt, so enthält ah 92° 9½', wenn dies von agb abgezogen wird, so bleibt der Rest hb zu 59'. Zieht man wieder von ah den Quadranten hg ab: so bleibt ag gleich 2° 10'. Die halbe Sehne des doppelten Bogens ag hat 377 solcher Theile, von denen 10000 auf den Halbmesser gehen und ist gleich lf. Die halbe Sehne des doppelten Bogens bh, nämlich el, enthält 172 solcher Theile. Aus den beiden gegebenen Seiten des Dreiecks elf ergiebt sich die Hypothenuse ef zu 414, ungefähr den 24sten Theil von dem Radius ne. Wie sich aber ef zu el verhält, so verhält sich auch der Radius ne zu der halben Sehne des doppelten Bogens nh. Folglich ergiebt sich der Bogen hn zu 24½°, und so viel beträgt auch der Winkel neh, dem wieder der erscheinende Winkel lfc gleich ist. Um diesen Abstand war also vor Ptolemäus das Apogeum der Sommersonnenwende voraus. Da aber ik ein Kreisquadrant ist, so bleibt, wenn man davon ic und dk, welche gleich ag und hb sind, abzieht, cd gleich 86° 51': und der Rest von cda, nämlich da gleich 88° 49'. Aber den 86° 51' entsprechen 881/8 Tage, und den 88° 49' entsprechen 901/8 Tage, oder 3 Stunden, in welchen Zeiten die Sonne bei gleichmässiger Bewegung der Erde von der Herbstnachtgleiche zu der Wintersonnenwende, und von der Wintersonnenwende zur Frühlingsnachtgleiche überzugehen schien. Ptolemäus bezeugt, dass er dies nicht anders gefunden habe, als es vor ihm von Hipparch überliefert sei. Deshalb schloss er, dass auch für alle nachfolgende Zeit ewig das Apogeum 24½° vor der Sommersonnenwende vorausbleiben, und die Excentricität den 24sten Theil des Radius, wie angegeben, betragen werde. Beides zeigt sich aber jetzt um eine beträchtliche Differenz geändert. Albategnius giebt von der Frühlingsnachtgleiche bis zur Sommersonnenwende 93 Tage 35I und bis zur Herbstnachtgleiche 186 Tage 37I an , woraus er nach des Ptolemäus' Vorschrift die Excentricität zu nicht mehr als zu 347 solcher Theile, von denen 10000 auf den Halbmesser gehen, ermittelt. Mit ihm stimmt in Bezug auf die Excentricität der Spanier Arzachel überein, doch giebt Letzterer das Apogeum zu 12" 10' vor der Sonnenwende an, während Albategnius dasselbe 7° 43' vor der Sonnenwende fand. Hieraus ist wohl abzunehmen, dass es noch eine andere Ungleichheit in der Bewegung des Mittelpunktes der Erde giebt, was auch durch die Beobachtungen unserer Zeit bestätigt wird. Denn seit mehr als 10 Jahren, in denen wir uns auf die Untersuchung dieser Dinge gelegt haben, und namentlich im Jahre Christi 1515 haben wir gefunden, dass von [176] der Frühlings- bis zur Herbstnachtgleiche 186 Tage 5½I verstreichen, und damit wir in der Beobachtung der Sonnenwenden uns nicht täuschen möchten, was Manche in Bezug auf die Früheren vermuthen, haben wir zu diesem Zwecke gewisse andere Sonnenörter gewählt, welche auch ausserhalb der Nachtgleichen liegen und keineswegs schwierig zu beobachten sind, wie z. B. die Mitten des Sternzeichens des Stieres, des Löwen, des Scorpions und des Wassermanns. Nun haben wir von der Herbstnachtgleiche bis zur Mitte des Scorpions 45 16I und bis zur Frühlingsnachtgleiche 178 53½I Tage gefunden. Die gleichmässige Bewegung in dem ersten Zeiträume beträgt 44° 37', im zweiten 176° 19'. Nach diesen vorläufigen Angaben nehmen wir den Kreis abcd. Es sei a der Punkt, von wo die Sonne im Frühlings-, und b von wo sie im Herbst-Nachtgleichenpunkte gesehen wird, c sei die Mitte des Scorpions. Wir ziehen ab und cd, welche sich im Mittelpunkte der Sonne f schneiden, und noch ac. Nun ist der Bogen cb gleich 44° 37', und ebenso gross ist der Winkel bac, wenn man 360° gleich zweien Rechten nimmt. Weiter ist der Winkel bfc, als der Winkel der erscheinenden Bewegung, gleich 45°, wenn 360° gleich vier Rechten; wenn aber 360° gleich zweien Rechten, so ist bfc gleich 90°. Die Differenz Beider, acd, welche dem Bogen ad entspricht, beträgt 45° 23'. Der ganze Abschnitt acb umfasst 176° 19', zieht man bc ab: so bleibt ac gleich 131° 42', addirt man dazu ad: so erhält man den Bogen cad gleich 177° 5'. Da also jeder von den beiden Abschnitten acb und cad kleiner als der Halbkreis ist, so ist klar, dass in dem Reste bd der Mittelpunkt des Kreises enthalten ist. Dieser sei e, es werde durch f der Durchmesser lefg gezogen, l sei das Apogeum, g das Perigeum, es stehe ek senkrecht auf cfd. Die Sehnen der gegebenen Bogen sind nach dem Verzeichnisse auch gegeben, nämlich ac gleich 182494, cfd gleich 199934, wenn der Durchmesser gleich 200000 ist. Da in dem Dreiecke acf die Winkel gegeben sind: so ergiebt, sich das Verhältniss der Seiten nach dem ersten Satze über ebene Dreiecke, nämlich cf gleich 97967, während ac gleich 182494, und wegen des halben Ueberschusses von fd ist auch fk gleich 2000 solcher Theile. Dem Abschnitte cad fehlen 2° 55' am Halbkreise, davon ist die halbe Sehne ek gleich 2534. Da in dem Dreiecke efk die beiden den rechten Winkel einschliessenden Seiten fk und ke gegeben sind: so enthält ef ungefähr 323 solcher Theile, von denen auf cl 10000 kommen; der Winkel efk ist aber 51⅔°, wenn 360° 4 Rechte betragen, also ist der ganze Winkel afl gleich 96⅔°, und der Rest bfl gleich 83⅓°. Wenn aber el in 60 Theile getheilt wird: so enthält ef ungefähr 1 56I solcher Theile. Dies war der Abstand der Sonne von dem Mittelpunkte des Kreises, der nun fast 1/31, geworden ist, während er dem Ptolemäus gleich 1/24 zu sein schien. Und das Apogeum, welches damals um 24½° der Sommersonnenwende voraus war, ist jetzt hinter derselben um 6⅔° zurück. [177] Capitel 17. Darstellung der ersten, jährlichen Ungleichmässigkeit der Sonne nebst ihren besonderen Unterschieden. Da also mehrere verschiedene Ungleichmässigkeiten der Sonne gefunden werden: so glauben wir, diejenige zuerst ableiten zu müssen, welche einen jährlichen Verlauf hat und bekannter als die übrigen ist. Zu diesem Zwecke nehmen wir wieder den Kreis abc um den Mittelpunkt e, mit dem Durchmesser aec; das Apogeum sei a, das Perigeum c, und die Sonne in d. Nun ist bewiesen, dass der Unterschied zwischen der gleichmässigen und der erscheinenden Bewegung in dem scheinbaren mittleren Orte zwischen beiden Absiden am grössten ist. Errichten wir in d gegen aec die Senkrechte bd, welche die Peripherie im Punkte b schneidet, und ziehen be. Da nun in dem rechtwinkligen Dreieck bde, zwei Seiten gegeben sind, nämlich be als Radius des Kreises, und de als Abstand der Sonne vom Mittelpunkte: so ist auch der Winkel dbe gegeben, um welchen der Winkel der Gleichmässigkeit bea von dem erscheinenden rechten Winkel edb sich unterscheidet. Insofern aber de grösser oder kleiner wird, insofern ändert sich auch die ganze Form des Dreiecks. So war vor Ptolemäus der Winkel b gleich 2° 23', zur Zeit des Albategnius und Arzachel's 1° 59', jetzt dagegen 1° 51'; und Ptolemäus erhielt den Bogen ab, welchen der Winkel aeb einschliesst zu 92° 23' und bc gleich 87° 37'. Albategnius ab zu 91° 59', bc gleich 88° 1', jetzt ist ab gleich 91° 51' und bc gleich 88° 9'. Hieraus ergeben sich auch die übrigen Verschiedenheiten. Nimmt man nämlich irgendwie einen andern Bogen ab, wie in der zweiten Figur und ist der Winkel aeb, also auch der innere Winkel bed, und die beiden Seiten be und ed gegeben: so ergiebt sich, nach der Lehre von den ebenen Dreiecken, der Winkel ebd als Prosthaphärese oder als Unterschied zwischen der gleichmässigen und der erscheinenden Bewegung; und diese Unterschiede müssen sich, wie schon bemerkt, ändern, wenn die Seite ed sich ändert. Capitel 18. Prüfung der gleichmässigen Bewegung an der Länge der Zeit. Dies ist nun über die jährliche Ungleichmässigkeit der Sonne dargethan; aber dieselbe besteht nicht in einer einfachen Ungleichheit, wie es den Anschein hat, sondern in einer zusammengesetzten, wie dies eine längere [178] Zeitdauer erweist. Diese Ungleichheiten wollen wir demnächst von einander unterscheiden. Vorher aber mag die mittlere gleichmässige Bewegung des Erdmittelpunktes, durch um so genauere Zahlen festgestellt werden, je mehr dieselbe von der Verschiedenheit der Ungleichmässigkeit getrennt wird, und sich über einen je grösseren Zeitraum erstreckt. Dies wird aber auf folgende Weise erreicht werden. Es ist uns jene Herbstnachtgleiche überliefert, welche von Hipparch zu Alexandrien, im 32sten Jahre der dritten Callippi'schen Periode, welches, wie oben 157) angegeben, das 177ste Jahr nach dem Tode Alexanders ist, nach dem dritten von den fünf Schalttagen um Mitternacht, auf welche der vierte Schalttag folgte, beobachtet worden ist. Danach aber, dass Alexandrien ungefähr eine Stunde östlicher als Krakau liegt, fand dieselbe ungefähr eine Stunde vor Mitternacht statt. Folglich war nach den oben mitgetheilten Berechnungen der Ort der Herbstnachtgleiche an der Fixsternsphäre vom Kopfe des Widders 176° 10' entfernt; und dies war der erscheinende Ort der Sonne, derselbe stand aber von dem Apogeum um 114½° ab. Für diesen Fall werde der Kreis abc, welchen der Erdmittelpunkt beschreibt, um den Mittelpunkt d construirt, dessen Durchmesser sei ade, und innerhalb desselben stehe die Sonne in e, das Apogeum sei in a, das Perigeum in c, b sei der Punkt, in welchem die herbstliche Sonne in der Nachtgleiche erscheint. Man ziehe die graden Linien bd und be. Da nun der Winkel deb, um welchen die Sonne vom Apogeum abzustehen scheint, 114½ beträgt, und damals de 414 solcher Theile betrug, von denen bd 10000 enthält: so sind die Winkel des Dreiecks bde nach dem fünften Satze der ebenen Dreiecke gegeben und der Winkel dbe wird 2° 10', um welchen Winkel der Winkel bed von bdn unterschieden ist. Der Winkel bed beträgt aber 114° 30', folglich ist bda gleich 116° 40', und aus demselben Grunde weicht der mittlere oder gleichmässige Ort der Sonne vom Kopfe des Widders an der Fixsternsphäre um 178° 20' ab. Hiermit haben wir die von uns zu Frauenburg, unter demselben Meridian wie Krakau im Jahre Christi 1515 am 14. September, im 1840sten ägyptischen Jahre nach Alexanders Tode am 6ten Phaophi, des zweiten Monats der Aegypter, eine halbe Stunde nach Sonnenaufgang beobachtete Herbstnachtgleiche verglichen. Um diese Zeit war der Ort der Herbstnachtgleiche an der Fixsternsphäre nach der Rechnung und nach den Beobachtungen 152° 45', sein Abstand vom Apogeum nach der früheren Ableitung 83° 20'. Der Winkel bea werde gleich 83° 20', von denen 180° zwei Rechte betragen, gemacht; die Dreiecksseite bd ist als 10000 und de als 323 gegeben. Nach dem vierten Satze [179] über ebene Dreiecke, wird der Winkel dbe zu ungefähr 1° 50' gefunden. Wenn nämlich ein Kreis das Dreieck edb umschriebe, so würde der Peripheriewinkel bed gleich 166° 40', wo 360° zwei Rechte betragen, und die Sehne bd würde 19864, wenn der Durchmesser 20000 beträgt; und nach dem gegebenen Verhältnisse von bd zu de erhielte man de in eben solchen Längeneinheiten gleich 642. Dies ist aber die Sehne des Winkels dbe, der als Peripheriewinkel 3° 40', als Centriwinkel aber 1' 50' beträgt. Und dies war die Prosthaphärese oder der Unterschied zwischen der gleichmässigen und erscheinenden Bewegung; und wenn diese zu dem Winkel bed, welcher 83° 20' betrug, hinzuaddirt wird: so erhalten wir den Winkel bda, und den Bogen ab gleich 85° 10', als gleichmässigen Abstand vom Apogeum, und so den mittleren Ort der Sonne an der Fixsternsphäre gleich 154° 35' . Zwischen beiden Beobachtungen liegen nun 1662 ägyptische Jahre 37d 18I 45II und die mittlere gleichmässige Bewegung beträgt ausser den ganzen Umläufen, deren 1660 sind, 336° und ungefähr 15', übereinstimmend mit der Zahl, welche wir in den Tafeln der gleichmässigen Bewegungen dargestellt haben. Capitel 19. Ueber die Oerter oder Ausgangspunkte, welche der gleichmässigen Bewegung der Sonne zum Grunde zu legen sind. Der Zeitraum von Alexander's des Grossen Tode bis zur Beobachtung des Hipparch beträgt 176a 362d 27½I , in welcher Zeit die mittlere Bewegung nach der Berechnung 312° 43' beträgt. Wenn man diese von den 178° 20' der Hipparchischen Beobachtung , nachdem man dieselbe um 360° des ganzen Kreises vermehrt hat, abzieht: so bleibt für den Anfang der Jahre nach Alexanders des Grossen Tode, am Mittage des ersten Tages des Monats Thoth der Aegypter, als Ort 225° 37' . Und dies gilt auch für den Meridian von Krakau und Frauenburg, also für unsern Beobachtungspunkt. Von hier bis zum Anfange der römischen Jahre des Julius Cäsar, also in 278a 117½d beträgt die mittlere Bewegung ausser den ganzen Umläufen 46° 28'.. Addirt man dies zu der Zahlenangabe des Ortes Alexanders: so erhält man den Ort Cäsar's um Mitternacht des ersten Januar, von wo die Römer ihre Jahre und Tage zu zählen anfangen, 272° 4'. Von hier in 45a 12d , oder von Alexander dem Grossen in 323a 130½d, ergiebt sich der Ort Christi zu 272° 30'. Und da Christus im 3ten Jahre der 194sten Olympiade geboren ist, und diese Zeit vom Anfange der Olympiaden bis Mitternacht am ersten Januar 775° 12½d beträgt: so erhält man ebenso den Ort der ersten Olympiade am Mittage des ersten Hekatombäon, welcher Tag jetzt nach den römischen Jahren am 1sten Juli jährlich wiederkehrt, zu 96° 16' . Auf diese Weise sind die Ausgangspunkte der einfachen Bewegung der Sonne in Bezug auf die Fixsternsphäre [180] aufgestellt. Die zusammengesetzten Oerter entstehen aus jenen durch Hinzufügen der Präcessionen der Nachtgleichen; nämlich der Ort der Olympiaden 90° 59', Alexanders 226° 38', Cäsars 276° 59', Christi 278° 2' . Alles dies, wie gesagt, auf den Meridian von Krakau bezogen. Capitel 20. Ueber die zweite und doppelte Ungleichheit der Sonne, welche wegen der Veränderung der Absiden eintritt. Eine grössere Schwierigkeit liegt in der Unbeständigkeit der Absiden der Sonne. Ptolemäus sah dieselben für feststehend an; Andere glaubten, dass ihre Veränderung aus der Bewegung der Fixsternsphäre folge, weshalb sie denn annahmen, dass auch die Fixsterne sich bewegten. Arzachel war der Meinung, dass auch diese Bewegung ungleichmässig sei, so dass sie auch rückläufig werden könne; indem er dies daraus schloss, dass Albategnius wie gesagt, das Apogeum um 7° 43' der Sonnenwende vorausgehend gefunden hatte, dasselbe also vor ihm von Ptolemäus an, in 740 Jahren ungefähr 17° vorgerückt war; nach Jenem im Verlaufe von 200 weniger 7 Jahren ungefähr 4½° zurückgegangen zu sein schien. Und deshalb meinte er, es gäbe noch eine andere, in einem kleinen Kreise verlaufende Bewegung des Mittelpunkts der Jahresbahn, wodurch das Apogeum vor- und zurückrücke, und zugleich die Abstände des Mittelpunktes jener Bahn vom Weltmittelpunkte sich veränderten. In der That schön erfunden, aber deswegen nicht annehmbar, weil es im Vergleich zum Ganzen mit dem Uebrigen nicht in Zusammenhang gebracht werden kann. Wenn nämlich der Verlauf dieser Bewegung der Reihe nach betrachtet wird, dass sie eine Zeit lang vor Ptolemäus still gestanden hat, dann in 740 Jahren ungefähr 17° vorgerückt und darauf in 200 Jahren 4 oder 5° zurückgegangen, in der übrigen Zeit bis auf uns aber vorgerückt ist, während in der ganzen Zeit kein Zurückrücken weiter, noch weitere Stillstände bemerkt sind, welche letzteren doch nothwendig bei entgegengesetzten Bewegungen vorkommen müssen: — so kann dies auf keine Weise aus einer regelmässigen und kreisförmigen Bewegung abgeleitet werden. Deshalb wird von Vielen vermuthet, dass bei jenen Beobachtungen der Absiden irgend ein Irrthum stattgefunden habe. Beide Mathematiker sind an Eifer und Sorgfalt gleich, so dass es zweifelhaft ist, wem wir lieber folgen sollen. Ich bekenne, dass nirgend eine grössere Schwierigkeit liegt, als beim Beobachten des Apogeums der Sonne, bei welchem aus den kleinsten und kaum wahrnehmbaren Grössen, grosse Grössen berechnet werden müssen. Da in der Gegend des Perigeums und des Apogeums ein ganzer Grad in der Prosthaphärese nur eine Aenderung von 2 Minuten hervorbringt; in der Gegend der mittleren Entfernungen aber auf eine Minute, 5 bis 6 Grade kommen: so kann sich ein kleiner Fehler in's Ungeheure steigern. Deshalb haben wir, als wir das Apogeum zu 6⅔° des [181] Kreises bestimmten, uns nur dann damit begnügt, uns auf das Horoscop zu verlassen, wenn auch noch die Sonnen- und Mondfinsternisse uns eine Bestätigung gewährten. Weil, wenn in jenem ein Fehler versteckt lag, diese denselben ohne Zweifel offenbaren mussten. Aus dem Zusammenfassen der Bewegung im Ganzen, können wir als das Wahrscheinlichste nur erkennen, dass sie rechtläufig sei, und zwar ungleichmässig. Mit Ausnahme des Fehlers, welcher, wie man annehmen muss, zwischen Albategnius und Arzachel stattgefunden hat, ist, da alles Uebrige damit in Uebereinstimmung ist, nach jenem Stillstande von Hipparch bis Ptolemäus, das Apogeum bis heute im ununterbrochenen, regelmässigen und beschleunigten Vorschreiten begriffen gewesen. Da nämlich auch die Prosthaphärese der Sonne ebenfalls noch nicht aufgehört hat, abzunehmen, so scheint es, dass beide Ungleichmässigkeiten jener ersten einfachen Anomalie der Schiefe der Ekliptik wenigstens ähnlich seien. Damit dies klarer werde, sei ab ein Kreis in der Ebene der Ekliptik, um den Mittelpunkt c, der Durchmesser sei acb, in demselben stehe die Sonnenkugel in d, als im Mittelpunkte der Welt, und um den Mittelpunkt c werde ein anderer ganz kleiner Kreis ef beschrieben, der die Sonne nicht einschliesst; in diesem kleinen Kreise möge der Mittelpunkt des jährlichen Umlaufs des Mittelpunkts der Erde, als im langsamen Fortschreiten begriffen, gedacht werden. Wenn sich nun der kleine Kreis ef zugleich mit der Linie ad rechtläufig, der Mittelpunkt des jährlichen Umlaufs aber, in der Peripherie des kleinen Kreises ef rückläufig: und zwar beide sehr langsam bewegen: so befindet sich irgend einmal der Mittelpunkt der Jahresbahn in der grössten Entfernung de, einmal in der kleinsten df, und zwar dort in der langsameren, hier in der geschwinderen Bewegung; und in den dazwischen liegenden Bogen des kleinen Kreises bewirkt das Wachsen und Abnehmen, dass jene Entfernung der Mittelpunkte mit der Zeit abwechselnd bald der grössten Abside vorausgeht, bald ihr folgt, oder das Apogeum, welches in der Linie acd, ungefähr in der Mitte liegt, erreicht. Wie z. B. wenn man, den Bogen eg annehmend, g zum Mittelpunkte macht, und um denselben einen, dem Kreise ab gleichen Kreis beschreibt: sich die grösste Abside alsdann in der Linie dgk findet, und der Abstand dg kleiner ist, als de, nach dem 8ten Satze des 3ten Buches Euklid's. So nämlich wird dies durch den excentrischen Kreis eines excentrischen Kreises erklärt, durch den Epicykel eines Epicykels aber folgendermaassen, ab sei ein Kreis um den Mittelpunkt c der Welt und der Sonne, acb sein Durchmesser, in welchem die grösste Abside liegt. Man beschreibe um den Mittelpunkt a den Epicykel de und wieder um den Mittelpunkt d den Epicykel fg; in diesem soll sich die Erde bewegen, und alle Kreise sollen in der Ebene der Ekliptik liegen. Die Bewegung des ersten Epicykels sei rechtläufig und ungefähr von Jahresdauer, [182] die des zweiten oder von d sei ebenso eine jährliche, aber rückläufig, die Umläufe beider sollen auf der Linie ac zusammenfallen. Die Bewegung des Mittelpunkts der Erde, von f aus rückläufig, vermehre auf einige Zeit diejenige von d. Hieraus ist nun offenbar, dass die Erde, wenn sie in f ist, das grösste Apogeum der Sonne hervorbringt, in g das kleinste; in den dazwischen liegenden Bogen des Epicykels bewirkt sie, dass das Apogeum mehr oder weniger beschleunigt oder verzögert vorschreitet oder nachfolgt, und dass die ungleichmässige Bewegung so zur Erscheinung kommt, wie früher über den Epicykel und den excentrischen Kreis nachgewiesen ist. Man nehme den Bogen ai, construire um i, als Mittelpunkt, einen Epicykel und verlängere die Verbindungslinie ci gradlinig cik: so ist Winkel kid gleich dem Winkel aci, wegen des gleichen Umlaufs. Wie wir früher nachgewiesen haben, beschreibt nun der Punkt d einen dem Hauptkreise ab gleichen excentrischen Kreis um den Mittelpunkt l, wobei der Abstand cl gleich di ist; und f ebenfalls seinen excentrischen Kreis, mit dem Abstände clm gleich idf, und g in ähnlicher Weise mit dem Abstände ig gleich cn. Wenn inzwischen der Mittelpunkt der Erde schon irgendwie einen Bogen fo des zweiten also seines eigenen Epicykels zurückgelegt hätte: so würde o nicht mehr den excentrischen Kreis beschreiben, dessen Mittelpunkt in der Linie ac, sondern einen solchen, dessen Mittelpunkt in der mit do parallelen Linie lp liegt, weil, wenn oi und cp gezogen werden, diese einander gleich aber kleiner sind, als if und cm, und der Winkel dio gleich dem Winkel lcp ist, nach dem 8ten Satze des ersten Buches Euklid's; und um so viel scheint das Apogeum der Sonne in der Linie cp dem in a vorauszugehen. Hieraus ergiebt sich, dass dasselbe auch aus einem excentrischen Epicykel sich ableiten lässt. Es bewege sich nämlich der Mittelpunkt der Erde nur in dem vorhin angenommenen excentrischen Kreise, welchen der Epicykel d um den Mittelpunkt l beschreibt, und zwar unter der vorhin gemachten Voraussetzung um den Bogen fo, d. h. [183] etwas schneller als der jährliche Umlauf. Man construire einen andern excentrischen Kreis um den Mittelpunkt p und es wird sofort dasselbe eintreten. Da nun so viele Wege zu demselben Resultate führen: so ist nicht leicht zu entscheiden, welcher wirklich stattfindet, ausser wenn eine fortwährende Uebereinstimmung der Resultate mit den Erscheinungen zwingt, einen davon anzunehmen. Capitel 21. Wie gross die zweite Ungleichheit der Ungleichmässigkeit der Sonne sei. Da, wie schon bemerkt worden ist, diese zweite Ungleichmässigkeit sich nach jener ersten und einfachen Anomalie der Schiefe der Ekliptik richtet, oder ihr ähnlich ist: so werden wir ihre einzelnen Ungleichheiten berechnen können, so weit kein Fehler der früheren Beobachtungen hinderlich ist. Wir erhalten nämlich die einfache Anomalie im Jahre Christi 1515 nach der Berechnung ungefähr zu 165° 39' und ihren Anfang durch Zurückrechnen ungefähr 64 Jahre vor Christi Geburt , von welcher Zeit bis auf uns 1580 Jahre sich ergeben. Für jenen Anfang haben wir die grösste Excentricität zu 414 gefunden, wenn der Halbmesser 10000 ist; unsere Excentricität ist, wie gezeigt 209), 323. Es sei ab eine grade Linie, in welcher b die Sonne und den Mittelpunkt der Welt bedeutet. Die grösste Excentricität sei ab, die kleinste bd. Auf dem kleinen Kreise, dessen Durchmesser ad sei, werde der Bogen ac entsprechend der ersten einfachen Anomalie, welche 165° 39' war, abgetragen. Da nun ab gleich 414 gegeben ist, welche sich für den Anfang der einfachen Anomalie, d. h. für a, ergeben hat, jetzt aber bc gleich 323 ist: so haben wir ein Dreieck abc, dessen Seiten ab und bc, und dessen Winkel cad, durch den Bogen cd, der als Rest vom Halbkreise gleich 14° 21' ist, gegeben sind. Daraus ergiebt sich also nach den Sätzen über die ebenen Dreiecke die Seite ac und der Winkel abc, als die Differenz zwischen der mittleren und der ungleichmässigen Bewegung des Apogeums. Durch ac, die Sehne eines gegebenen Bogens, ist auch der Durchmesser ad des Kreises acd gegeben. Aus dem Winkel cad, gleich 24° 21', erhalten wir cb gleich 2496, wenn der Halbmesser des das Dreieck umschreibenden Kreises 100000 ist; und nach dem Verhältnisse von bc zu ab ergiebt sich ab selbst als 3225, und der zu dieser Sehne zugehörige Winkel acb gleich 341° 26', und daraus auch der Rest, wenn 360° zwei Rechte sind, cbd zu 4° 13' , und die dazu gehörige Sehne ac [184] gleich 735. Da nun ab gleich 414 gefunden ist, so ist ac ungefähr 95, und diese verhält sich dem gemäss, dass sie eine Sehne zu einem gegebenen Bogen ist, zu ad, wie zum Durchmesser. Es ergiebt sich also ad gleich 96, wenn adb 414 ist, und der Rest db ist 318 als die kleinste Excentricität. Der Winkel cbd ist aber gleich 4° 13' 210) als Peripheriewinkel gefunden, als Centriwinkel ist er aber 2° 6½', und dies ist die von der gleichmässigen Bewegung der Linie ab um den Mittelpunkt b abzuziehende Prosthaphärese. Es werde nun die den Kreis im Punkte e berührende grade Linie be gezogen, und e mit dem Mittelpunkte f verbunden. Da nun in dem rechtwinkligen Dreiecke bef die Seite ef gleich 48 und bdf gleich 366 gegeben ist: so ist, wenn fdb als Radius gleich 10000 genommen wird, ef gleich 1300, und da dies die Hälfte der Sehne des doppelten Winkels ebf ist, so enthält derselbe 7° 28', wenn 360° vier Rechte ausmachen, und dieser Winkel ist die grösste Prosthaphärese zwischen der gleichmässigen Bewegung f und der erscheinenden e. Hiernach kann man auch die übrigen, einzelnen Ungleichheiten berechnen. So, wenn wir den Winkel afe zu 6° nehmen: haben wir ein Dreieck mit den gegebenen Seiten ef und fb und dem Winkel efb, woraus sich die Prosthaphärese ebf zu 41' ergiebt. Wenn dagegen der Winkel afe 12° wäre, so hätten wir die Prosthaphärese gleich 1° 23', wenn 18° so 2° 4' und so weiter in derselben Weise, wie das früher von den jährlichen Prosthaphäresen gesagt ist. Capitel 22. Wie die gleichmässige Bewegung des Sonnen-Apogeums zugleich mit der ungleichmässigen gefunden wird. Da nun die Zeit, in welcher die grösste Excentricität stattfand, mit dem Anfange der ersten und einfachen Anomalie zusammenfiel, nämlich im 3ten Jahre der 178sten Olympiade im 259sten ägyptischen Jahre nach Alexanders des Grossen Tode ; und weil der wahre und zugleich der mittlere Ort des Apogeums in 5½ der Zwillinge lag, d. h. 65½ vom Frühlingsnachtgleichenpunkte entfernt war ; da ferner die wahre Präcession dieser Nachtgleiche damals ebenfalls mit der mittleren übereinstimmte und also 4° 38½' betrug: so erhält man, wenn man diese von jenen 65½° abzieht, für den Ort des Apogeums vom Kopfe des Widders an der Fixsternsphäre 60° 52' . Ferner ist im 2ten Jahre der 573sten Olympiade, oder im Jahre Christi 1515 der Ort des Apogeums zu 6⅔° des Krebses gefunden . Da aber die Präcession der Frühlingsnachtgleiche nach der Berechnung 27¼° war: so bleiben, wenn man dies von 96⅔° abzieht, 69° 25'. Es ist aber gezeigt, dass bei der damals stattfindenden Anomalie von 165° 39' die Prosthaphärese, um welche der wahre Ort vor dem mittleren voraus war 2° 7' betrug. Also ergiebt sich der mittlere Ort des Sonnen-Apogeums zu 71° 32'. Es betrug also in 1580 mittleren ägyptischen [185] Jahren, die mittlere gleichmässige Bewegung des Apogeums 10° 41' . Wenn wir dies mit der Anzahl der Jahre dividiren: so erhalten wir den jährlichen Antheil zu 24" 20'" 14"" . Capitel 23. Von der Verbesserung der Anomalie der Sonne und von ihren Oertern. Wenn man dies von der einfachen jährlichen Bewegung abzieht, welche 359° 44' 49" 7'" 4"" betrug: so bleibt die jährliche Anomalie gleich 359° 44' 24" 46'" 50"". Dies wieder durch 365 dividirt giebt den täglichen Antheil zu 59' 8" 7'" 22"". Uebereinstimmend mit dem, was in den Tafeln 225) früher entwickelt ist. Hieraus erhalten wir auch die Oerter der festgesetzten Anfangspunkte; indem wir von der ersten Olympiade anfangen. Es ist gezeigt , dass am 14. September des zweiten Jahres der 573sten Olympiade , eine halbe Stunde nach dem Aufgange der Sonne, das mittlere Apogeum der Sonne 71° 32' war, woraus sich der mittlere Abstand der Sonne zu 83" 3' ergiebt. Es sind aber vom Anfange der Olympiaden 2290 ägyptische Jahre 281 Tage 46I , und in dieser Zeit beträgt die Bewegung der Anomalie mit Hinweglassung der ganzen Kreise, 42° 49'. Zieht man diese von den 83° 3' ab: so bleiben 40° 14' als Ort der Anomalie für den Anfang der Olympiaden , und in derselben Weise wie oben, als Ort der Jahre Alexanders 166° 38' , Cäsar's 211° 11' und Christi 211° 18'. Capitel 24. Tafel der Unterschiede zwischen der gleichmässigen und der erscheinenden Bewegung. Damit aber dasjenige, was über die Unterschiede der gleichmässigen und der erscheinenden Bewegung der Sonne abgeleitet ist, für die Anwendung bequemer werde, wollen wir auch für diese eine Tafel von 60 Zeilen und 6 Rubriken aufstellen. Die beiden ersten Rubriken enthalten die Zahlen beider Halbkreise, nämlich aufsteigend und absteigend, von drei zu drei Graden, neben einander geschrieben, wie wir das früher bei der Bewegung der Nachtgleichen gethan haben. In der dritten Rubrik sind die Grade und Minuten der Unterschiede der Bewegung des Sonnen-Apogeums oder der Anomalie verzeichnet, wie sie jeden drei Graden entsprechen, und diese Unterschiede steigen bis zur Höhe von 7½°. Die vierte Rubrik ist den Proportionalminuten zugetheilt, welche bis sechzig steigen, und nach dem Ueberschusse der grösseren Prosthaphäresen der jährlichen Anomalie abgeschätzt werden. Da nämlich der grösste Ueberschuss derselben 32' beträgt, so giebt der 60ste Theil 32". Nach der Grösse dieses Ueberschusses (welchen wir nach der früher mitgetheilten Methode aus der Excentricität berechnet haben) setzen wir die Anzahl der Sechzigstel neben die einzelnen [186] Zahlen der je 3 Grade. In der fünften Rubrik stehen die einzelnen jährlichen Prosthaphäresen oder ersten Differenzen, nach dem kleinsten Abstände der Sonne vom Mittelpunkte. In der sechsten und letzten Rubrik finden sich die Ueberschüsse derselben, welche bei der grössten Excentricität entstehen. Hier folgt die Tafel: [187] TAFEL DER PROSTHAPHÄRESEN DER SONNE. Gemein- schaftliche Zahlen Prosthaphä- rese des Mit- telpunktes Proportional- Minuten Prostha- phärese der Bahn Ueber- schuss Gemein- schaftliche Zahlen Prosthaphä- rese des Mit- telpunktes Proportional- Minuten Prostha- phärese der Bahn Ueber- schuss Grad Grad Grad Min. Grad Min. Min. Grad Grad Grad Min. Grad Min. Min. 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60 63 66 69 72 75 78 81 84 87 90 357 354 351 348 345 342 339 336 333 330 327 324 321 318 315 312 309 306 303 300 297 294 291 288 285 282 279 276 273 270 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 21 41 2 23 44 3 24 44 4 23 41 0 18 35 51 6 20 34 47 3 12 27 33 42 51 58 5 11 16 21 60 60 60 60 60 59 59 59 58 57 57 56 55 54 53 51 50 49 47 46 44 42 41 40 39 38 36 35 33 32 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 11 17 22 27 33 38 43 48 53 58 3 7 12 16 20 24 28 31 34 37 39 42 44 46 48 49 49 50 51 1 3 4 6 7 9 11 13 14 16 17 18 20 21 22 23 24 25 27 28 29 29 30 30 30 31 31 31 31 32 93 96 99 102 105 108 111 114 117 120 123 126 129 132 135 138 141 144 147 150 153 156 159 162 165 168 171 174 177 180 267 264 261 258 255 252 249 246 243 240 237 234 231 228 225 222 219 216 213 210 207 204 201 198 195 192 189 186 183 180 7 7 7 7 7 7 7 7 6 6 6 6 6 6 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 2 1 1 0 0 0 24 24 24 23 21 18 13 6 58 49 37 25 14 50 44 28 19 51 30 9 46 23 1 37 12 47 21 54 27 0 30 29 27 26 24 23 21 20 18 16 15 14 12 11 10 9 7 6 5 4 3 3 2 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 50 50 50 49 48 47 45 43 40 38 35 32 29 25 21 17 12 7 3 58 53 47 42 36 30 24 18 12 6 0 32 33 32 32 31 31 31 30 30 29 28 27 25 24 23 22 21 20 18 17 14 13 12 10 9 7 5 4 2 0 [188] Capitel 25. Ueber die Berechnung der erscheinenden Bewegung der Sonne. Hieraus, glaube ich, ist es nun hinreichend deutlich, auf welche Weise der erscheinende Ort der Sonne für jede beliebige gegebene Zeit berechnet wird. Man muss nämlich für diese Zeit den wahren Ort der Frühlingsnachtgleiche, oder dessen Vorrücken nebst seiner ersten einfachen Anomalie suchen, wie wir das früher auseinandergesetzt haben; demnächst die einfache mittlere Bewegung des Mittelpunkts der Erde, welche man, wenn man will, auch die Bewegung der Sonne nennen kann; und die jährliche Anomalie aus den Tafeln der gleichmässigen Bewegungen, welche dann zu ihren festgestellten Anfangspunkten addirt weiden. Mit der ersten einfachen Anomalie, nachdem man ihre Zahl, oder deren nächstliegende in der ersten oder zweiten Rubrik der vorstehenden Tafel aufgesucht hat, findet man die ihr entsprechende Prosthaphärese der jährlichen Anomalie in der dritten Rubrik, und notirt sich die folgenden Proportional-Minuten. Diese Prosthaphärese wird, wenn die erste Anomalie kleiner als der Halbkreis ist, oder ihre Zahl sich in der ersten Rubrik findet, zur jährlichen Anomalie addirt, sonst von derselben abgezogen. Diese Summe oder Differenz ist die ausgeglichene Anomalie der Sonne, durch welche man wiederum die Prosthaphärese der Jahresbahn in der fünften Rubrik, nebst dem folgenden Ueberschusse findet. Wenn dieser Ueberschuss durch die vorhin notirten Proportional-Minuten dividirt, einen merklichen Quotienten giebt: so wird dieser Quotient zur letzten Prosthaphärese addirt; hierdurch wird diese Prosthaphärese corrigirt, und diese wird dann vom mittleren Orte der Sonne abgezogen, wenn die Zahl der jährlichen Anomalie in der ersten Rubrik sich findet, oder kleiner als der Halbkreis ist; dagegen zu demselben addirt, wenn Letztere grösser ist oder in der zweiten Rubrik steht. Die auf diese Weise erhaltene Differenz oder Summe, bestimmt den wahren Ort der Sonne vom ersten Stern des Widders gerechnet. Wenn endlich zu diesem die wahre Präcession der Frühlingsnachtgleiche hinzugefügt wird: so erhält man sofort den Ort von diesem Nachtgleichenpunkte in einem der zwölf Zeichen und in Graden der Zeichen des Kreises. Will man anders verfahren: so nimmt man anstatt der einfachen Bewegung die gleichmässige zusammengesetzte, und macht das Uebrige wie angegeben ist, ausser dass man anstatt der Präcession der Nachtgleichen, nur ihre Prosthaphärese addirt oder subtrahirt, je nachdem es die Umstände erfordern. So stellt sich die Berechnung des erscheinenden Orts der Sonne aus der Bewegung der Erde, übereinstimmend mit den alten und neueren Beobachtungen; um so mehr ist anzunehmen, dass man denselben dadurch für die Zukunft vorausberechnen kann. Aber auch das wollen wir nicht unerwähnt lassen, dass wenn Jemand meinen sollte, der Mittelpunkt des jährlichen Umlaufs stehe als Mittelpunkt der Welt fest, die Sonne aber sei beweglich und zwar folge sie zweien Bewegungen, welche ähnlich und gleich wären denen, welche [189] wir von dem Mittelpunkte des excentrischen Kreises nachgewiesen haben, — dass dann allerdings Alles, dieselben Zahlen und dieselbe Rechnung, wie vorher sich ergeben würde, während nichts weiter darin verändert würde, als die Stellung selbst; nämlich in Bezug auf die Sonne. Die Bewegung des Mittelpunkts der Erde fände dann abgetrennt für sich, und einfach um den Mittelpunkt der Weit statt, während die übrigen beiden Bewegungen auf die Sonne übertragen wären. Es bleibt deshalb noch ein Zweifel über den Mittelpunkt der Welt, weswegen wir uns darüber von Anfang an schwankend ausgedrückt haben, ob er nämlich in oder ausserhalb der Sonne liege. Ueber diese Frage werden wir bei der Entwickelung über die fünf Planeten, welche wir nach unsern Kräften ebenfalls durchführen wollen, noch mehr sagen, während wir es für genügend erachten, sichere und untrügliche Zahlen über den erscheinenden Ort der Sonne erlangt zu haben . Capitel 26. Ueber das Nychthemeron, d. h. über die Ungleichmässigkeit des natürlichen Tages. Es bleibt in Bezug auf die Sonne noch übrig, Einiges über die Ungleichmässigkeit des natürlichen Tages zu sagen, unter welcher Zeit man die Dauer von 24 gleichen Stunden versteht, und die wir bisher als das gemeinsame und zuverlässige Maass der Himmelsbewegungen angewendet haben. Einen solchen Tag bestimmen Einige als die Zeit, welche zwischen zweien Aufgängen der Sonne liegt, wie die Chaldäer und das jüdische Alterthum, Andere als die Zeit zwischen zweien Untergängen, wie die Athenienser, Andere als die Zeit von Mitternacht zu Mitternacht, wie die Römer, Andere als die Zeit von Mittag zu Mittag, wie die Aegypter. Es ist aber klar, dass in dieser Zeit die eigentliche Umdrehung der Erdkugel vollendet wird, einschliesslich dessen, was inzwischen durch die jährliche Bewegung in Bezug auf die scheinbare Bewegung der Sonne hinzukommt. Dass aber dieser Zuwachs ungleichmässig ist, beweist hauptsächlich der ungleichmässige scheinbare Lauf der Sonne, und ausserdem der Umstand, dass jener natürliche Tag von der Umdrehung um die Pole des Aequators abhängt, die jährliche Bewegung aber in der Ekliptik vor sich geht. Deshalb kann diese erscheinende Zeit kein gemeinsames und zuverlässiges Maass der Bewegung sein da weder die Tage, noch ihre Theile unverändert sich gleich bleiben; und darum war es zweckmässig einen mittleren gleichmässigen Tag aus jenem abzuleiten, durch welchen ohne Zweifel die Gleichmässigkeit der Bewegung gemessen werden kann. Da nun in dem Laufe eines ganzen Jahres 365 Umwälzungen um die Pole der Erde stattfinden, und zu diesen durch den täglichen Zuwachs wegen des scheinbaren Fortrückens der Sonne, fast eine ganze überzählige Umwälzung hinzukommt: so folgt, dass der 365ste Theil derselben Dasjenige sei, was den natürlichen Tag ausmacht. Deshalb haben [190] wir den gleichmässigen Tag von dem ungleichmässigen erscheinenden zu trennen und zu unterscheiden. Wir nennen also denjenigen Tag den gleichmässigen, welcher eine ganze Umdrehung des Aequators enthält, und ausserdem noch so viel, als die Sonne während derselben Zeit in gleichmässiger Bewegung zu durchlaufen scheint. Den ungleichmässigen aber und den erscheinenden Tag nennen wir denjenigen, welcher eine ganze Umdrehung von 360 Zeitgraden des Aequators umfasst, und ausserdem dasjenige, was durch das scheinbare Fortschreiten der Sonne im Horizonte oder Meridiane noch hinzukommt. Der Unterschied dieser Tage, obgleich gering, wird zwar nicht sofort bemerkt, wächst aber durch seine Vermehrung während einiger Tage zur Merklichkeit. Es giebt zwei Ursachen dieses Unterschiedes: theils die Ungleichmässigkeit der scheinbaren Bewegung der Sonne, theils auch die ungleiche Aufsteigung der Schiefe der Ekliptik. Ueber die Erste, welche wegen der ungleichmässigen scheinbaren Bewegung der Sonne stattfindet, hat sich schon ergeben, dass in dem einen Halbkreise, in welchem die grösste Abside liegt, an den Graden der Ekliptik nach Ptolemäus 4¾° fehlten, und im andern Halbkreise, in welchem die kleinste Abside liegt, ebenso viel zu viel war. Deshalb betrug der ganze Ueberschuss des einen Halbkreises über den andern 9½. Bei der andern Ursache aber, welche von dem Auf- und Untergange abhängt, tritt der grösste Unterschied zwischen den Halbkreisen der beiden Sonnenwenden ein, und dieser Unterschied herrscht auch zwischen dem kürzesten und längsten Tage, ist sehr verschieden, und jeder einzelnen Gegend eigenthümlich. Der Unterschied aber, welcher vom Mittage oder von der Mitternacht abhängt, wird immer durch vier Grenzen bestimmt. Nämlich zwischen dem 16ten Grade des Stiers und dem 14ten Grade des Löwen liegen 88° und diese gehen durch den Meridian, während ungefähr 93° des Aequators passiren; und zwischen dem 14ten Grade des Löwen und dem 16ten Grade des Skorpions liegen 92°, und diese gehen durch den Meridian, während 87° des Aequators passiren, so dass hier 5° des Aequators fehlen, dort ebensoviel zu viel sind. Die im ersten Abschnitte enthaltenen Tage übertreffen diejenigen des zweiten Abschnittes um 10° des Aequators, das macht ⅔ Stunden. Und das trifft in dem andern Halbkreise in den Gegenden zwischen den jenen diametral entgegengesetzten Grenzen ebenso zu. Es hat aber den Mathematikern gefallen, den Anfang des natürlichen Tages nicht vom Auf- oder Untergang, sondern vom Mittag oder der Mitternacht zu nehmen, weil der vom Horizonte herrührende Unterschied grösser ist, sogar einige Stunden beträgt und ausserdem nicht überall derselbe ist, sondern nach der Schiefe des Horizontes vielfältig sich ändert. Der sich auf den Meridian beziehende Unterschied ist aber überall derselbe, und einfacher. Der ganze Unterschied, welcher aus beiden schon angegebenen Ursachen, sowohl von dem ungleichmässigen scheinbaren Fortschreiten der Sonne, als auch von dem ungleichen Durchgange durch den Meridian, herrührt, betrug vor Ptolemäus, wo er von der Mitte des Wassermannes anfing abzunehmen, und vom Anfange des [191] Skorpions wuchs. 8⅓ Zeitgrade des Aequators. Und dieser Unterschied hat sich jetzt durch das Abnehmen von dem 20sten Grade des Wassermannes bis zum 10ten Grade des Skorpions, und durch das Wachsen vom 10ten Grade des Skorpions bis zum 20sten Grade des Wassermannes auf 7° 48' Aequator-Theile verringert. Es verändert sich nämlich selbst dieser Unterschied mit der Zeit, wegen der Unbeständigkeit des Perigeums und der Excentricität. Wenn man endlich hiermit auch noch den grössten Unterschied in dem Vorrücken der Nachtgleichen vereinigt, so kann in einer gewissen Anzahl von Jahren der ganze Unterschied der natürlichen Tage über 10 Zeitgrade betragen. Und hierin lag bis jetzt die dritte Ursache der Ungleichheit der Tage verborgen, weil die Umwälzung des Aequators in Bezug auf die mittlere gleichmässige Nachtgleiche als gleichmässig befunden wird, nicht aber in Bezug auf die erscheinenden Nachtgleichen, welche, wie hinreichend klar geworden ist, ganz und gar nicht gleichmässig sind. Zehn Zeitgrade verdoppelt geben 1⅓ Stunden, und um diese können einstmals die längsten Tage die kürzesten übertreffen. Dies hätte gegen das jährliche Fortrücken der Sonne und gegen die langsamere Bewegung der übrigen Planeten ohne merklichen Fehler vielleicht vernachlässigt werden können: aber wegen der Geschwindigkeit des Mondes, wegen deren ein Fehler von fünf sechstel Graden begangen werden könnte, ist es durchaus nicht zu vernachlässigen. Die Methode, die gleichmässige Zeit aus der ungleichmässigen erscheinenden abzuleiten, so dass alle Ungleichheiten berücksichtigt werden, ist folgende. Wenn irgend eine Zeit gegeben ist, so muss für jeden der beiden Grenzpunkte dieser Zeit, nämlich für den Anfang und das Ende, der mittlere Ort der Sonne von der Frühlingsnachtgleiche aus ihrer mittleren gleichmässigen Bewegung, welche wir die zusammengesetzte genannt haben, gesucht werden; und auch der wahre erscheinende Ort von der wahren Nachtgleiche; ferner muss beachtet werden, wie viel Zeitgrade wegen der graden Aufsteigung um Mittag oder Mitternacht passirt sind, und wie viel zwischen dem ersten und zweiten wahren Orte liegen. Wenn nämlich gleich viel Grade zwischen den beiden mittleren Oertern liegen, so ist die gegebene scheinbare Zeit gleich der mittleren. Wenn aber die Anzahl der Zeitgrade grösser ist, so addirt man den Ueberschuss zu der gegebenen Zeit; ist sie kleiner, so zieht man die Differenz von der scheinbaren Zeit ab. Wenn wir dies thun, so erhalten wir in der Summe oder Differenz die in gleichmässige verwandelte Zeit, wobei wir für jeden Zeitgrad 4/60 einer Stunde oder 10/60 eines sechzigstel Tages nehmen. Wenn aber eine mittlere Zeit gegeben wäre, und man wissen wollte, wie viel scheinbare Zeit derselben entspräche: so müsste man umgekehrt verfahren. Wir haben aber als mittleren Ort der Sonne vom mittleren Frühlingsnachtgleichenpunkte für die erste Olympiade um Mittag des ersten Tages des ersten atheniensischen Monats Hekatombäon 90° 59' erhalten, und vom scheinbaren Nachtgleichenpunkte 0° 36' des Krebses. Für die Jahre Christi aber ist die mittlere Bewegung [192] der Sonne 8° 2' des Steinbocks, die wahre Bewegung 8° 48' des Steinbocks. Es passiren aber an der graden Kugel von 0° 36' des Krebses bis 8° 48' des Steinbocks 188° 54' des Aequators. Diese übertreffen die Differenz der mittleren Oerter um 1° 53' des Aequators. Dies beträgt 7½m . Und so weiter, wodurch der Lauf des Mondes auf das Genaueste untersucht werden kann; hiervon soll in dem folgenden Buche gehandelt werden. Anmerkungen [des Übersetzers]

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