Nicolaus Coppernicus aus Thorn über die Kreisbewegungen der Weltkörper/Erstes Buch
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Nicolaus Copernicus’ Kreisbewegungen
Erstes Buch.
[1] Unter den vielen verschiedenen Studien der Wissenschaften und Künste, durch welche sich der Menschengeist entwickelt, halte ich diejenigen vorzüglich für werth, ergriffen und mit dem höchsten Eifer betrieben zu werden, welche sich mit den schönsten und wissenswürdigsten Gegenständen beschäftigen. Diese sind nun diejenigen, welche von den himmlischen Kreisbewegungen der Welt, dem Laufe der Gestirne, den Grössen und Entfernungen, dem Auf- und Untergange und den Ursachen der übrigen Himmelserscheinungen handeln, und endlich die gesammte Form entwickeln. Was aber ist schöner, als der Himmel, welcher ja alles Schöne enthält? Die lateinischen Namen selbst, — caelum der Himmel und mundus die Welt, — deuten dies schon an, dieser durch die Bezeichnung der Reinheit und des Schmuckes, jener durch die Bedeutung des kunstreich Gestalteten. Wegen seiner sichtlichen, übergrossen Herrlichkeit nannten ihn die meisten Philosophen: Gott. Deswegen, wenn die Würde der Wissenschaften nach dem Gegenstande abgeschätzt werden soll, den sie behandeln, wird diejenige bei Weitem die Höchste sein, welche Einige Astronomie, Andere Astrologie, viele der Alten aber die Vollendung der Mathematik nennen. In der That wird die dem freien Manne würdigste, als das Haupt der freien Künste, fast von allen Zweigen der Mathematik getragen. Arithmetik, Geometrie, Optik, Geodäsie, Mechanik und wenn es sonst noch Andere giebt, alle beziehen sich auf jene. Wenn es aber die Aufgabe aller Wissenschaften ist, den Menschengeist der Sünde zu entziehen und auf das Bessere zu lenken, so kann sie dies, neben einer unglaublichen Beseligung des Geistes, im Uebermasse bewirken. Denn wer würde nicht beim Erforschen dessen, was er in der besten Ordnung gegründet, von der göttlichen Vorsehung gelenkt erkennt, durch fleissige Betrachtung desselben und durch eine gewisse Vertrautheit damit, zu dem Besten angeregt, und den Urheber des All's bewundern, worin alles Glück und alles Gute besteht? Vergebens würde jener göttliche Sänger von sich sagen, dass er sich an der Schöpfung Gottes erfreue, und bei den Werken seiner Hände jauchzen möchte, wenn wir nicht durch diese Mittel, gleichsam wie auf einem Gefährt, zu der Anschauung des höchsten Gottes geführt würden. Welchen Nutzen und welche Zierde [10] sie dem Staate, — um die unzähligen Vortheile des Privatmannes zu übergehen, — verleiht, hat Plato sehr gut nachgewiesen, der sie im siebenten Buche der Gesetze hauptsächlich deswegen für erstrebenswerth erachtet, weil die durch sie nach dem Massstabe der Tage in Monate und Jahre eingetheilte Zeit den Staat in Bezug auf die Feste und Opfer lebendig und wachsam macht; und er sagt, dass, wenn Jemand behauptete, dass für Einen, der irgend welche der höchsten Wissenschaften erfassen will, diese nicht nöthig sei, dieser sehr thöricht denken würde. Er ist der Ansicht, es sei weit gefehlt, dass Jemand als gross aufgestellt und bezeichnet werden könnte, der weder von der Sonne, noch von dem Monde, noch von den übrigen Gestirnen die nothwendige Kenntniss besitze. Diese mehr göttliche als menschliche Wissenschaft, welche die höchsten Dinge erforscht, entbehrt aber auch nicht der Schwierigkeiten, zumal wir sehen, dass die Meisten, welche es unternommen haben, sich damit zu beschäftigen, über ihre Grundlagen und Annahmen, welche die Griechen Hypothesen nennen, uneinig gewesen sind und daher sich nicht auf dieselben Berechnungen gestützt haben. Ferner weil der Lauf der Fixsterne und die Kreisbewegung der Planeten nur erst mit der Zeit und nach vielen vorangegangenen Beobachtungen, aus welchen sie, so zu sagen, von Hand zu Hand der Nachwelt überliefert wurden, durch zuverlässige Zahlen bestimmt und zu einer vollkommenen Wissenschaft gestaltet werden können. Denn obgleich Cl. Ptolemäus von Alexandrien, welcher an bewunderungswürdiger Geschicklichkeit und Umsicht die Uebrigen weit überragt, mit Hülfe der Beobachtungen von vierhundert und mehr Jahren diese Wissenschaft fast zur höchsten Vollendung gebracht hat, so dass es bereits den Anschein hatte, als gäbe es nichts, was er nicht berührt hätte: so sehen wir doch, dass das Meiste mit dem nicht übereinstimmt, was aus seiner Ueberlieferung folgen sollte, weil noch einige andere Bewegungen aufgefunden sind, welche ihm noch unbekannt waren. Deshalb sagt auch Plutarch da, wo er vom Sonnenjahre handelt: „bis jetzt übersteigt die Bewegung der Gestirne die Einsicht der Mathematiker." Um nämlich bei dem Beispiele von dem Jahre stehen zu bleiben, so halte ich es für bekannt, wie verschieden die Meinungen darüber immer gewesen sind, und zwar bis zu dem Grade, dass Viele daran verzweifelten, eine zuverlässige Berechnung desselben finden zu können. Damit es aber nicht so scheine, als wollte ich meine Schwachheit unter dem Vorwande dieser Schwierigkeit verbergen, so werde ich mit Hülfe Gottes, ohne den wir nichts vermögen, an den andern Planeten dieses weitläufiger zu prüfen versuchen, indem wir desto mehr Hülfsmittel besitzen, unsere Theorie zu unterstützen, um einen je grösseren Zeitraum die Gründer dieser Wissenschaft uns vorangegangen sind, mit deren Beobachtungen wir das vergleichen können, was auch wir von Neuem beobachtet haben. Uebrigens gestehe ich, dass ich Vieles anders, als meine Vorgänger darstellen werde, wenngleich auf Grund ihrer eigenen Dienste, da sie ja den ersten Zugang zu der Untersuchung dieser Gegenstände eröffnet haben. [11]Capitel 1.
Dass die Welt kugelförmig sei.[2]
Zuerst müssen wir bemerken, dass die Welt kugelförmig ist, theils weil diese Form, als die vollendete, keiner Fuge bedürftige Ganzheit, die vollkommenste von allen ist, theils weil sie die geräumigste Form bildet, welche am meisten dazu geeignet ist, Alles zu enthalten und zu bewahren; oder auch weil alle in sich abgeschlossene Theile der Welt, ich meine die Sonne, den Mond und die Planeten, in dieser Form erscheinen; oder weil Alles dahin strebt, sich in dieser Form zu begrenzen, was an den Tropfen des Wassers und an den übrigen flüssigen Körpern zur Erscheinung kommt, wenn sie sich aus sich selbst zu begrenzen streben. So dass Niemand bezweifeln wird, dass diese Form den himmlischen Körpern zukommt. Capitel 2.
Dass die Erde gleichfalls kugelförmig sei.[3]
Dass die Erde gleichfalls kugelförmig sei, ist deshalb ausser Zweifel, weil sie sich von allen Seiten auf ihren Mittelpunkt stützt. Obgleich ein vollkommener Kreis bei der grossen Erhebung der Berge und der Vertiefung der Thäler nicht sogleich wahrgenommen wird, so beeinträchtigt dies doch die allgemeine Rundung der Erde keineswegs. Dies wird auf folgende Weise klar. Für Diejenigen, welche irgend woher nach Norden gehen, erhebt sich der Nordpol der täglichen Kreisbewegung allmälig, während der andere um ebensoviel sinkt. Die meisten Sterne in der Gegend des grossen Bären scheinen nicht unterzugehen, und im Süden Einige nicht mehr aufzugehn. So sieht Italien den Canopus nicht, der den Aegyptern sichtbar ist. Und Italien sieht den äussersten Stern des Flusses, welchen unsre Gegend einer kältern Zone nicht kennt. Dagegen erheben sich für Diejenigen, welche nach Süden reisen, jene, während diejenigen untergehen, welche für uns hoch stehen. Nun haben auch die Neigungen der Pole selbst zu den durchmessenen Räumen der Erde immer dasselbe Verhältniss, was bei keiner andern, als bei der Kugelgestalt, zutrifft. Daher ist offenbar, dass auch die Erde zwischen den Polen eingeschlossen und deswegen kugelförmig ist. Nehmen wir noch hinzu, dass die Bewohner des Ostens die am Abend, und die nach Westen Wohnenden die am Morgen eintretenden Sonnen- und Mond-Finsternisse nicht wahrnehmen, die dazwischen Wohnenden aber jene später, diese dagegen früher sehen. Dass auch das Wasser derselben Form unterworfen ist, wird auf den Schiffen wahrgenommen, indem das Land, was man vom Schiffe aus nicht sehen kann, von der Spitze des Mastbaums erspäht wird, und umgekehrt, wenn eine Leuchte an der Spitze des Mastbaums angebracht wird: so scheint dieselbe, wenn das Schiff sich vom Lande entfernt, den am Gestade Zurückbleibenden allmälig hinabzusteigen, bis sie zuletzt, gleichsam untergehend, verschwindet. Es ist klar, dass auch das [12] Wasser seiner flüssigen Natur nach, ebenso wie die Erde, immer nach unten strebt, und sich vom Ufer ab nicht höher erhebt, als dies seine Convexität zulässt. Daher ragt das Land überall um so viel aus dem Ocean hervor, als das Land zufällig höher ist. Capitel 3.
Wie das Land mit dem Wasser eine Kugel ausmacht.
Indem der das Land umgebende Ocean seine Gewässer nach allen Seiten verbreitet, füllt er die eingesenkten Vertiefungen desselben aus. Daher war es nöthig, dass es weniger Wasser gäbe, als Land, damit das Wasser nicht den ganzen Erdkreis verschlänge, indem Beide vermöge ihrer Schwere nach einem und demselben Mittelpunkte streben; sondern dass es einige Erdtheile und so viele nach allen Seiten freiliegende Inseln, den lebendigen Wesen zum Heile, übrig lasse. Denn selbst das Festland und der Erdkreis, was sind sie Anders, als eine Insel, grösser, als die übrigen? Und man darf nicht auf gewisse Peripatetiker hören, welche behauptet haben, das gesammte Wasser sei zehnmal so viel, als das ganze Land, weil nämlich bei der Verwandlung der Elemente aus einem Theile Erde zehn Theile Wasser in flüssigem Zustande entständen; und welche, unter Annahme dieser Voraussetzung, sagen, das Land rage deswegen hervor, weil es wegen seiner Höhlungen in Hinsicht der Schwere nicht nach allen Seiten im Gleichgewichte stehe, und der Mittelpunkt der Schwere daher ein anderer sei, als der Mittelpunkt des Umfanges. Sie täuschten sich aber aus Unkenntniss der Geometrie, indem sie nicht wussten, dass das Wasser nicht einmal siebenmal so viel betragen darf, wenn noch irgend ein Theil des Landes trocken gelegt werden soll, ohne dass das ganze Land den Mittelpunkt der Schwere räumt und dem Wasser überlässt, als ob dieses schwerer wäre, als jenes. Es stehen nämlich die Kugeln zu einander im cubischen Verhältnisse ihrer Durchmesser: wenn daher, bei sieben Theilen Wasser, der achte Theil Land wäre, so könnte der Durchmesser des letzteren nicht grösser sein, als der Halbmesser der Wasserkugel; um so weniger ist es möglich, dass das Wasser gar zehnmal so viel sein sollte.[4] Dass auch kein Unterschied zwischen dem Mittelpunkte der Schwere der Erde und dem Mittelpunkte ihres Umfanges besteht, kann daraus erkannt werden, dass die aus dem Ocean hervorgetretene Erhebung des Landes nicht zu einer zusammenhängenden Beule angeschwollen ist; sonst würde sie das Wasser des Meeres aufs Aeusserste von sich ausschliessen, und durchaus nicht gestatten, dass Binnenmeere und grosse Busen sie unterbrächen. Ferner würde die Tiefe des Grundes von der Meeresküste an immer grösser werden, und deshalb würde Denen, welche grössere Seefahrten ausführten, weder eine Insel, noch eine Klippe, noch irgend etwas Landartiges aufstossen. Nun ist aber bekannt, dass zwischen dem ägyptischen Meere und dem arabischen Meerbusen fast in der Mitte der Ländermasse kaum fünfzehn Stadien breites Land hervorragt; dagegen dehnt [13] Ptolemäus in seiner Kosmographie das bewohnte Land bis zum mittleren Längenkreise[5] aus, wobei noch überdies das unbekannte Land ausser Acht gelassen ist, wo die Neueren Cathagya[6] und sehr ausgedehnte Gegenden bis zu sechzig Längengraden hinzugefügt haben; so dass die Erde schon in einer grösseren Länge bewohnt ist, als das Uebrige des Oceans ausmacht. Das wird noch klarer werden, wenn diejenigen Inseln hinzugenommen werden, welche in unsrer Zeit unter den Herrschern Spaniens und Portugals entdeckt sind, und vorzüglich Amerika, welches nach seinem Entdecker, einem Schiffskapitän, benannt ist, und welches man, bei seiner noch nicht feststehenden Grösse für ein zweites Festland hält, ausser den vielen früher unbekannten Inseln; so dass wir uns nicht wundern dürfen, dass es Antipoden oder Antichthonen giebt. Denn nach geometrischer Berechnung muss man Amerika seiner Lage nach dem Indien des Ganges diametral entgegengesetzt annehmen. Nach allem Diesen halte ich es endlich für ausgemacht, dass das Land zugleich mit dem Wasser sich auf einem einzigen Mittelpunkt bezieht, dass es keinen andern Mittelpunkt des Umfanges des Landes giebt, dass die zerrissenen Theile des Landes, obgleich Letzteres schwerer ist, mit Wasser ausgefüllt sind, und dass also das Wasser im Vergleich zu dem Lande gering ist, wenngleich an der Oberfläche vielleicht mehr Wasser erscheint. Dass das Land mit dem es umfliessenden Wasser eine solche Gestalt habe, wie der Schatten der Erde zeigt, ist durchaus nothwendig, dieser aber verfinstert den Mond in Theilen eines vollkommenen Kreises. Die Erde ist daher weder eben, wie Empedokles und Anaximenes gemeint haben, noch paukenförmig, wie Leucipp, noch beckenförmig, wie Heraklid, noch auf eine andere Weise ausgehöhlt, wie Demokrit, noch walzenförmig, wie Anaximander, noch am untern Ende mit abnehmender Dicke nach der Tiefe hin unbegrenzt, wie Xenophanes: — sondern von vollkommener Rundung, wie die Philosophen dafür halten. Capitel 4.
Dass die Bewegung der Himmelskörper gleichmässig, kreisförmig, ununterbrochen, oder aus kreisförmigen zusammengesetzt sei.
Hiernach bemerken wir, dass die Bewegung der Himmelskörper kreisförmig ist. Die Beweglichkeit einer Kugel besteht nämlich darin, sich im Kreise zu bewegen, indem sie durch diese Thätigkeit ihre Form, als diejenige des einfachsten Körpers, ausdrückt, an welchem weder ein Anfang noch ein Ende zu finden, noch eines von dem andern zu unterscheiden ist, während sie durch dieselben Zwischenpunkte in ihre ursprüngliche Lage gelangt. Wegen der Vielheit der Kreise giebt es aber mehrere Bewegungen. Die bekannteste von Allen ist die tägliche Kreisbewegung, welche die Griechen Nychthemeron nennen, d. h. der Zeitraum von Tag und Nacht. Durch diese, meint man[7], bewege sich die ganze Welt, mit Ausnahme der Erde, von Osten nach Westen. Sie wird als gemeinschaftliches Maass für alle [14] Bewegungen erkannt, da die Zeit selbst hauptsächlich nach der Anzahl der Tage gemessen wird. Ferner sehen wir andere, gleichsam rückläufige Kreisbewegungen, d. h. von Westen nach Osten, vor sich gehen: nämlich diejenige der Sonne, des Mondes und der fünf Planeten. So misst uns die Sonne das Jahr, der Mond die Monate, als die gewöhnlichsten Zeitabschnitte, zu; so vollendet jeder der andern fünf Planeten seinen Umlauf. — Sie unterscheiden sich jedoch in mehrfacher Weise: erstens darin, dass sie sich nicht um dieselben Pole, um welche jene erste Bewegung vor sich geht, drehen, indem sie in der schiefen Lage des Thierkreises fortschreiten; zweitens darin, dass sie in ihrem eigenen Umlaufe sich nicht gleichmässig zu bewegen scheinen, denn Sonne und Mond werden bald in langsamerem, bald in schnellerem Laufe begriffen angetroffen; die übrigen fünf Planeten sehen wir aber auch zuweilen zurückgehen und bei dem Uebergange stillstehen, und, während die Sonne immer in ihrem directen Wege fortrückt, irren jene auf verschiedene Weisen ab, indem sie bald nach Süden, bald nach Norden schweifen, weshalb sie eben Planeten heissen. Hierzu kommt noch, dass sie zuweilen der Erde näher kommen, wo sie perigeisch, dann wieder sich mehr von ihr entfernen, wo sie apogeisch genannt werden. Nichtsdestoweniger muss zugegeben werden, dass die Bewegungen kreisförmig, oder aus mehreren Kreisen zusammengesetzt sind, wodurch derartige Ungleichheiten sich nach einem zuverlässigen Gesetze und einer feststehenden Periode richten, was nicht geschehen könnte, wenn sie nicht kreisförmig wären. Denn der Kreis kann allein das Vergangene zurückführen, wie denn die Sonne, so zu sagen, uns durch ihre aus Kreisen zusammengesetzte Bewegung die Ungleichheit der Tage und Nächte und die vier Jahreszeiten zurückführt, woran mehrere Bewegungen erkannt werden, weil es nicht geschehen kann, dass die einfachen Himmelskörper sich in einem einzigen Kreise ungleichmässig bewegen; denn dies müsste geschehen, entweder wegen einer Unbeständigkeit in der Natur des Bewegenden, — möchte sie nun durch eine ihm äusserliche Ursache, oder durch sein inneres Wesen herbeigeführt sein —, oder wegen einer Ungleichheit des bewegten Körpers. Da aber der Verstand sich gegen Beides sträubt, und es unwürdig ist, so etwas bei Demjenigen anzunehmen, welches nach der besten Ordnung eingerichtet ist: so muss man zugeben, dass die gleichmässigen Bewegungen uns ungleichmässig erscheinen, entweder wegen der Verschiedenheit der Pole jener Kreise, oder weil die Erde nicht im Mittelpunkte der Kreise sich befindet, in welchen sich jene bewegen; und dass sie uns, die wir die Bewegungen der Gestirne von der Erde aus beobachten, wegen der ungleichen Entfernungen, in grösserer Nähe grösser vorkommen, als wenn sie in grösserem Abstande von uns vor sich gehen, — wie das in der Optik nachgewiesen wird —. Auf diese Weise erscheinen uns die Bewegungen, welche in gleichen Zeiten durch gleiche Bogen verlaufen, wegen der verschiedenen Entfernungen, ungleich. Deshalb halte ich es vor allen Dingen für nothwendig, dass wir sorgfältig untersuchen, welche Stellung die Erde zum Himmel hat, damit wir, während wir das Erhabenste [15] erforschen wollen, nicht das Nächste ausser Acht lassen, und irrthümlich das, was der Erde zukommt, den Himmelskörpern zuschreiben. Capitel 5.
Ob der Erde eine kreisförmige Bewegung zukomme? und über ihren Ort.
Da schon nachgewiesen ist, dass die Erde die Gestalt einer Kugel hat, so halte ich dafür, dass untersucht werden muss, ob aus ihrer Form auch eine Bewegung folgt, und welchen Ort sie im Weltall einnimmt? — Ohne Dieses ist keine sichere Berechnung der am Himmel vor sich gehenden Erscheinungen zu finden. Der grösste Theil der Schriftsteller stimmt freilich darin überein, dass die Erde in der Mitte der Welt ruhe, so dass sie es für unbegreiflich und sogar für lächerlich halten, das Gegentheil zu meinen. Wenn man jedoch die Sache sorgfältiger erwägt, so wird man einsehen, dass diese Frage noch nicht erledigt, und deshalb keinesweges gering zu achten ist. Jede Ortsveränderung, welche wahrgenommen wird, rührt nämlich von einer Bewegung entweder des beobachteten Gegenstandes, oder des Beobachters, oder von, natürlich verschiedenen, Bewegungen Beider her; denn wenn der beobachtete Gegenstand und der Beobachter sich in gleicher Weise und in gleicher Richtung bewegen: so wird keine Bewegung wahrgenommen. Nun ist es aber die Erde, von wo aus der Umlauf des Himmels beobachtet, und wo derselbe unsern Augen vorgeführt wird. Wenn daher der Erde irgend eine Bewegung zukäme, so würde diese au Allem, was sich ausserhalb jener befindet, zur Erscheinung kommen, aber in entgegengesetzter Richtung, gleichsam als ob Alles an der Erde vorüber zöge; und dieser Art ist denn vorzüglich die tägliche Kreisbewegung. Denn diese scheint die ganze Welt zu ergreifen und zwar Alles, was ausserhalb der Erde ist, mit alleiniger Ausnahme der Erde selbst. Wenn man aber zugäbe, dass dem Himmel nichts von dieser Bewegung eigen sei, sondern dass die Erde sich von Westen nach Osten drehe, und wenn man dies ernstlich in Bezug auf den erscheinenden Auf- und Untergang der Sonne, des Mondes und der Sterne erwöge: so würde man finden, dass es sich so verhält. Da der Himmel, der Alles enthält und birgt, der gemeinschaftliche Ort aller Dinge ist, so lässt sich nicht sogleich verstehen, warum nicht eher dem Enthaltenen als dem Enthaltenden, dem Gesetzten, als dem Setzenden, eine Bewegung zugeschrieben wird. Dieser Meinung waren wirklich die Pythagoräer Heraklid und Ekphantus4) und der Syracusaner Nicetas bei Cicero3), indem sie die Erde in der Mitte der Welt sich drehen liessen. Sie waren nämlich der Ansicht, dass die Gestirne durch das Dazwischentreten der Erde unter- und durch das Zurückweichen derselben aufgingen. Aus dieser Annahme folgt der andere, nicht geringere Zweifel über den Ort der Erde, obgleich fast von Allen angenommen und geglaubt worden ist, dass die Erde die Mitte der Welt einnehme. Wenn daher Jemand behauptete, dass die Erde sich [16] nicht in dem Mittelpunkte der Welt befinde, dass aber der Abstand zwischen Beiden zwar nicht gross genug sei, um an der Fixsternsphäre gemessen werden zu können, wohl aber an den Bahnen der Sonne und der Planeten merklich und erkennbar würde; und wenn er ferner der Ansicht wäre, dass die Bewegungen der Letzteren ans diesem Grunde unregelmässig erschienen, gleichsam als wenn dieselben in Bezug auf einen andern Mittelpunkt, als denjenigen der Erde, geregelt wären: — so könnte ein Solcher vielleicht den wahren Grund der ungleichmässig erscheinenden Bewegung angegeben haben. Denn da die Planeten der Erde bald näher bald entfernter erscheinen, so verräth dies nothwendig, dass der Mittelpunkt der Erde nicht der Mittelpunkt jener Kreisbahnen ist; weshalb auch nicht feststeht, ob die Erde ihre Entfernung von Jenen verkleinert oder vergrössert, oder Jene ihre Entfernung von der Erde. Es würde also nicht zum Verwundern sein, wenn Jemand ausser jener täglichen Umwälzung, der Erde noch eine andere Bewegung zuschriebe. Dass aber die Erde sich drehe, mit mehreren Bewegungen sich im Raume fortbewege und zu den Planeten gehöre, soll nun der Pythagoräer Philolaus4), ein nicht gewöhnlicher Mathematiker, geglaubt haben, weshalb Plato nicht zögerte, nach Italien zu reisen, um ihn aufzusuchen, wie Diejenigen erzählen, welche Plato's Leben beschrieben haben. Viele glaubten dagegen, es könne durch mathematische Berechnung erwiesen werden, dass sich die Erde in der Mitte der Welt befinde, und, da sie gegen die ungeheure Grösse des Himmels als Punkt gelten könne, den Ort des Mittelpunktes einnähme, und aus diesem Grunde unbeweglich sei; weil, wenn sich das Universum bewegte, der Mittelpunkt unbewegt bliebe, und dasjenige, was dem Mittelpunkte am nächsten wäre, sich am langsamsten bewegte. Capitel 6.
Ueber die Unermesslichkeit des Himmels im Verhältnisse zu der Grösse der Erde.[8]
Erblickt man nun durch ein, in e aufgestelltes Diopter, oder Horoskop, oder durch [17] eine Wasserwage, den Aufgang des Anfanges des Krebses im Punkte c: so sieht man in demselben Augenblicke den Anfang des Steinbocks in a untergehen. Da die Punkte a, e und c in einer durch das Diopter gehenden graden Linie liegen: so ist klar, dass letztere der Durchmesser der Ekliptik ist; und da sechs Zeichen den Halbkreis bestimmen, so ist auch e der Mittelpunkt des Horizontes. Wenn bei einer andern Umwälzung der Anfang des Steinbocks in b aufgeht, so wird der Untergang des Krebses in d gesehen werden, und bed wird eine grade Linie, und zwar der Durchmesser der Ekliptik sein. Es hat sich aber schon gezeigt, dass aec der Durchmesser desselben Kreises ist, folglich ist klar, dass der Mittelpunkt des Kreises in dem gemeinschaftlichen Durchschnittspunkte liegt. So halbirt also immer der Horizont die Ekliptik, welche ein grösster Kreis der Kugel ist. Da nun ein Kreis auf einer Kugel, wenn er durch den Mittelpunkt eines grössten Kreises geht, selbst ein grösster Kreis ist, so gehört der Horizont zu den grössten Kreisen, und sein Mittelpunkt ist zugleich derjenige der Ekliptik. Weil aber die Linie durch die Oberfläche der Erde nothwendig eine andere ist, als diejenige durch ihren Mittelpunkt, beide aber wegen der Unermesslichkeit im Verhältnisse zur Erde gewissermassen Parallelen ähnlich sind, welche, wegen des zu kleinen Abstandes an der Grenze, eine einzige Linie zu sein scheinen, — da der Zwischenraum, den sie einschliessen, im Verhältnisse zu ihrer Länge, in der Weise, wie dies in der Optik gezeigt wird, nicht wahrnehmbar ist: — so scheint dies ohne Zweifel hinreichend zu beweisen, dass der Himmel im Vergleiche mit der Erde unermesslich sei, und den Anschein einer unendlichen Grösse gewinnt, und dass die Erde zum Himmel, nach der Sinnenschätzung, wie ein Punkt zu einem Körper, und ein endlich Grosses zu einem unendlich Grossen sich verhält.[9] Weiter ist aber auch nichts bewiesen, und es folgt namentlich nicht daraus, dass die Erde in der Mitte der Welt ruhen müsse. Vielmehr müsste es uns recht befremden, wenn die so unermesslich ausgedehnte Welt sich leichter in 24 Stunden im Raume bewegte, als ein sehr kleiner Theil derselben, welcher die Erde ist. Denn, dass man behauptet, der Mittelpunkt sei unbeweglich, und das dem Mittelpunkte Benachbarte bewege sich langsamer, beweist nicht, dass die Erde im Mittelpunkte der Welt ruhe; es ist nämlich nichts Anderes, als wenn man sagte, der Himmel bewege sich, aber die Pole ruhen, und das den Polen Benachbarte bewege sich sehr langsam; wie denn der Polarstern sich viel langsamer, als der Adler oder der Sirius zu bewegen scheint, weil ersterer, als dem Pole nahe stehend, einen kleineren Kreis beschreibt, indem alle einer Kugel angehören, deren Bewegung, nach ihrer Axe hin abnehmend, eine unter sich gleiche Bewegung aller ihrer Theile nicht zulässt, während die Bewegung des Ganzen sie alle in gleichen Zeiten, aber durch ungleiche Räume hindurch herumführt. Hierauf beruht also der Grund des Beweises, dass die Erde, indem sie einen Theil der Himmelskugel ausmacht und derselben Art und Bewegung theilhaftig ist, als dem Mittelpunkte benachbart sich wenig bewege. Da sie nun ein existirender [18] Körper und nicht selbst der Mittelpunkt ist: so würde sie sich selbst in derselben Zeit in den Himmelskreisen ähnlichen, wenn auch kleineren Kreisen bewegen. Wie falsch dies sei, ist klarer als das Licht, denn es müsste an einem und demselben Orte (der Erde) immer Mittag, an einem andern immer Mitternacht sein, so dass weder ein täglicher Aufgang, noch ein Untergang eintreten könnte, weil die Bewegung des Ganzen und des Theiles eine einzige untrennbare wäre. Es besteht aber ein sehr verschiedenes Verhältniss in Bezug auf das Ganze und dessen Theile, und dies löst die Schwierigkeit der Sache. Diejenigen nämlich, welche einen kleineren Kreis beschreiben, bewegen sich schneller, als diejenigen, welche einen grösseren Kreis durchlaufen. So vollendet der oberste der Planeten, der Saturn, seine Kreisbahn in dreissig Jahren, und der Mond, der ohne Zweifel der Erde am nächsten ist, in einem Monate, endlich wird man einräumen, dass die Erde in dem Zeiträume von einem Tage und einer Nacht sich um sich selbst drehe. Es kehrt also derselbe Zweifel über die tägliche Kreisbewegung hier wieder. Aber es handelt sich auch noch um den Ort der Erde, der aus dem Obigen noch nicht ganz gewiss folgt. Denn jener Beweis enthält nichts weiter, als dass die Grösse des Himmels im Verhältnisse zur Erde unendlich ist, aber bis wie weit sich diese Unermesslichkeit erstrecke, steht keinesweges fest. Ebenso wie sehr kleine und untheilbare Körperchen, sogenannte Atome, wenn sie zwei- oder einigemal genommen werden, wegen ihrer Unmerklichkeit, nicht sofort einen wahrnehmbaren Körper zusammensetzen; dennoch aber so oft multiplicirt werden können, dass sie endlich ausreichen, um zu einer wahrnehmbaren Grösse anzuwachsen: so verhält es sich auch mit dem Orte der Erde, — obgleich derselbe nicht in dem Mittelpunkte der Welt liegt, so ist dennoch diese Entfernung, namentlich im Vergleiche mit der Fixsternsphäre, noch nicht messbar.[10] Capitel 7.
Warum die Alten geglaubt haben, die Erde ruhe in der Mitte der Welt, gleichsam als Mittelpunkt?[11]
Deshalb haben die alten Philosophen aus einigen anderen Gründen zu beweisen versucht, dass die Erde in der Mitte der Welt stehe. Als hauptsächlichste Ursache aber führen sie die Schwere und Leichtigkeit an. Das Element der Erde ist nämlich am schwersten, und alles Wägbare bewegt sich, seinem Streben gemäss, nach der innersten Mitte derselben hin. Da nun die Erde, nach welcher die schweren Gegenstände von allen Seiten her rechtwinklig auf die Oberfläche, vermöge ihrer eigenen Natur sich hinbewegen, kugelförmig ist: so würden sie, wenn sie nicht eben auf der Oberfläche zurückgehalten würden, in ihrem Mittelpunkte zusammentreffen; weil in der That eine grade Linie, welche gegen die Tangentialebene im Berührungspunkte senkrecht gerichtet ist, zum Mittelpunkte führt. Für diejenigen [19] Körper aber, welche sich nach der Mitte hin bewegen, scheint zu folgen, dass sie in der Mitte ruhen würden. Um so mehr wird also die ganze Erde in der Mitte ruhen, und, was sie auch alles für fallende Körper in sich aufnimmt, durch ihr Gewicht unbeweglich bleiben. Ebenso stützen sie sich auch bei ihren Beweisen auf den Grund der Bewegung und deren Natur. Aristoteles[12] sagt nämlich, dass die Bewegung eines einfachen Körpers einfach sei; von den einfachen Bewegungen sei aber die eine gradlinig, die andere kreisförmig; von der gradlinigen aber die eine aufwärts, die andere abwärts. Deshalb sei jede einfache Bewegung entweder nach der Mitte hin, nämlich abwärts, oder von der Mitte fort, nämlich aufwärts, oder um die Mitte herum, und diese wäre eben die kreisförmige. Nur der Erde und dem Wasser, welche für schwer gelten, kommt es zu, sich abwärts zu bewegen, d. h. nach der Mitte hin zu streben; der Luft aber und dem Feuer, welche mit Leichtigkeit begabt sind, aufwärts und von der Mitte fort sich zu bewegen. Es scheint klar, dass diesen vier Elementen die gradlinige Bewegung zugestanden werden muss; in Bezug auf die himmlischen Körper aber, dass sie sich um die Mitte im Kreise drehen. So Aristoteles. Wenn daher, sagt der Alexandriner Ptolemäus15), die Erde sich drehete, wenigstens in täglicher Umdrehung: so müsste das Gegentheil von dem Obengesagten eintreten, es müsste nämlich die Bewegung, welche in vier und zwanzig Stunden den ganzen Umfang der Erde durchliefe, die heftigste und ihre Geschwindigkeit unübertreffbar sein. Was aber in jähe Drehung versetzt wird, scheint zu einer Zusammenhäufung durchaus nicht geeignet zu sein, vielmehr zerstreut zu werden, wenn nicht die zusammenhängenden Theile mit einiger Festigkeit zusammengehalten würden. Und schon lange, sagt er, würde die lose Erde über den Himmel selbst, — was sehr lächerlich ist, — hinausgelangt, und um so weniger würden die lebenden Wesen und sonstigen losgelösten Massen irgendwie unerschüttert geblieben sein. Aber auch die gradlinig fallenden Körper würden nicht in der Senkrechten an den ihnen bestimmten Ort gelangen, da derselbe inzwischen mit so grosser Gechwindigkeit darunter weggezogen wäre. Auch würden wir die Wolken und was sonst in der Luft schwebte, immer nach Westen hin sich bewegen sehen. Capitel 8.
Widerlegung der angeführten Gründe und ihre Unzulänglichkeit.
Aus diesen und ähnlichen Gründen behauptet man, dass die Erde in der Mitte der Welt ruhe, und dass es sich unzweifelhaft so verhalte. Aber wenn Einer glaubt, dass die Erde sich drehe, so wird er gewiss auch der Meinung sein, dass diese Bewegung eine natürliche und keine gewaltsame sei. Was aber der Natur gemäss ist, das bringt Wirkungen hervor, welche dem entgegengesetzt sind, was durch Gewalt geschieht. Dinge, auf welche Gewalt oder ein äusserer Anstoss ausgeübt wird, müssen zerstört werden, [20] und können nicht lange bestehen; was aber von Natur geschieht, verhält sich richtig und bleibt in seinem besten Zusammenhange. Ohne Grund also fürchtet Ptolemäus15), dass die Erde und alle die in Umdrehung versetzten irdischen Gegenstände durch die Thätigkeit der Natur zerfahren würden, da diese Letztere eine ganz andere ist, als die der Kunst; oder als das, was vom menschlichen Geiste hervorgebracht werden könnte. Warum aber fürchtet er nicht Dasselbe, und zwar in noch viel höherem Masse von der Welt, deren Bewegung um so viel geschwinder sein müsste, um wie viel der Himmel grösser ist, als die Erde? Oder ist der Himmel deswegen unermesslich geworden, weil er durch die unaussprechliche Gewalt der Bewegung von der Mitte entfernt worden ist; während er sonst, wenn er stillstände, zusammenfallen würde? Gewiss würde, wenn dieser Grund stattfände, auch die Grösse des Himmels in's Unendliche gehen. Denn je mehr er durch den äusseren Anstoss der Bewegung in die Höhe getrieben würde, um so geschwinder würde die Bewegung werden, wegen des immer wachsenden Kreises, den er in dem Zeitraume von 24 Stunden durchlaufen müsste; und umgekehrt, wenn die Bewegung wüchse, so wüchse auch die Unermesslichkeit des Himmels. So würde die Geschwindigkeit die Grösse und die Grösse die Geschwindigkeit in's Unendliche steigern. Nach jenem physischen Grundsatze: dass das Unendliche weder durchlaufen werden,[13] noch sich aus irgend einem Grunde bewegen kann,[14] müsste jedoch der Himmel nothwendig stillstehen. Aber man[15] sagt, dass ausserhalb des Himmels kein Körper, kein Ort, kein leerer Raum, und überhaupt gar nichts existire, und deshalb nichts da sei, über welches der Himmel hinausgehen könnte; dann ist es doch recht wunderbar, dass etwas von nichts umschlossen werden kann. Wenn jedoch der Himmel unendlich, und nur an der inneren Höhlung begrenzt wäre, so bestätigt sich vielleicht um so mehr, dass ausserhalb des Himmels nichts ist, weil jedes Ding, welche Grösse es auch haben mag, innerhalb desselben ist, dann aber wird der Himmel unbeweglich bleiben. Das Vorzüglichste nämlich, worauf man sich beim Beweise von der Endlichkeit der Welt stützt, ist die Bewegung. Ob nun die Welt endlich oder unendlich sei, wollen wir dem Streite der Physiologen überlassen, sicher bleibt uns dies, dass die Erde, zwischen Polen eingeschlossen; von einer kugelförmigen Oberfläche begrenzt ist. Warum wollen wir also noch Anstand nehmen, ihr eine von Natur ihr zukommende, ihrer Form entsprechende Beweglichkeit zuzugestehen, eher als anzunehmen, dass die ganze Welt, deren Grenze nicht gekannt wird, und nicht gekannt werden kann, sich bewege? und warum wollen wir nicht bekennen, dass der Schein einer täglichen Umdrehung dem Himmel, die Wirklichkeit derselben aber der Erde angehöre? und dass es sich daher hiermit so verhalte, wie wenn Virgil's Aeneas[16] sagt: „Wir laufen aus dem Hafen aus, und Länder und Städte weichen zurück.“ Weil, wenn ein Schiff ruhig dahinfährt, Alles, was ausserhalb desselben ist, von den Schiffern so gesehen wird, als ob es nach dem Vorbilde der Bewegung des Schiffes sich bewege, und die Schiffer umgekehrt der [21] Meinung sind, dass sie mit Allem, was sie bei sich haben, ruhen: so kann es sich ohne Zweifel mit der Bewegung der Erde ebenso verhalten, und scheinen, als ob die ganze Welt sich drehe. Was sollen wir nun über die Wolken und das übrige irgend wie in der Luft Schwebende, oder Fallende oder in die Höhe Steigende sagen? als, dass nicht nur die Erde sich mit dem ihr verbundenen, wässrigen Elemente so bewege, sondern auch ein nicht geringer Theil der Luft, und was sonst noch auf dieselbe Weise mit der Erde verknüpft ist; — sei es nun, dass die zunächst liegende Luft, mit erdiger und wässriger Materie vermischt, derselben Natur, wie die Erde, folgt, sei es, dass der Luft die Bewegung mitgetheilt worden ist, indem sie mittelst der Berührung mit der Erde, und vermöge des Widerstandes durch die fortwährende Umdrehung derselben theilhaftig wird. Man behauptet aber wiederum zu gleicher Verwunderung, dass die höchste Gegend der Luft der himmlischen Bewegung folge, was jene plötzlich erscheinenden Gestirne, welche von den Griechen Cometen oder Bartsterne genannt werden, verrathen sollen, für deren Entstehung man eben jene Gegend anweist, und welche gleich den anderen Gestirnen ebenfalls auf- und untergehen. Wir können sagen, dass jener Theil der Luft, wegen seiner grossen Entfernung von der Erde, von der irdischen Bewegung frei geblieben sei. Daher wird die Luft, welche der Erde am nächsten liegt, ruhig erscheinen, und ebenso die in ihr schwebenden Gegenstände, wenn sie nicht vom Winde oder von irgend einer andern, äusseren Kraft, wie es der Zufall mit sich bringt, hin und her getrieben werden; denn was ist der Wind in der Luft Anderes, als die Fluth im Meere? Wir müssen zugeben, dass die Bewegung der fallenden und steigenden Gegenstände in Beziehung zu dem Weltall eine gedoppelte, und stets aus gradlinigen und kreisförmigen Bewegungen zusammengesetzt sei. Da dasjenige, was durch sein Gewicht nach unten strebt, vorzüglich erdig ist, so leidet es keinen Zweifel, dass diese Theile derselben Natur folgen, wie ihr Ganzes; und aus keinem andern Grunde geschieht es, dass diejenigen Gegenstände, welche dem Feuer angehören, mit Gewalt in die Höhe gerissen werden. Das irdische Feuer wird nämlich hauptsächlich durch erdige Materie ernährt, und man sagt, die Flamme sei nichts Anderes, als brennender Rauch. Die Eigenschaft des Feuers besteht aber darin, das auszudehnen, was es ergriffen hat; und es führt dies mit solcher Gewalt aus, dass es auf keine Weise und durch keine Maschine daran gehindert werden kann, die Schranken zu durchbrechen, und sein Werk zu vollführen. Die ausdehnende Bewegung ist aber vom Mittelpunkte nach der Peripherie hin gerichtet; wenn daher etwas aus erdigen Theilen Bestehendes angezündet wird, so bewegt es sich von der Mitte nach oben. Daher kommt, wie man behauptet hat, dem einfachen Körper eine einfache Bewegung zu, und dies erweist sich vorzüglich an der Kreisbewegung, so lange der einfache Körper an seinem natürlichen Orte und in seiner Einheit verharrt. An diesem Orte ist nämlich die Bewegung keine andere, als die kreisförmige, welche ganz in sich bleibt, als ob der Körper ruhete. Die gradlinige Bewegung [22] ergreift aber diejenigen Körper, welche von ihrem natürlichen Orte weggegangen oder gestossen, oder auf irgend eine Weise ausserhalb desselben gerathen sind. Nichts widerstrebt der Ordnung und der Form der ganzen Welt so sehr, als das Ausserhalb-seines-Ortes-sein. Die gradlinige Bewegung tritt also nur ein, wenn die Dinge sich nicht richtig verhalten, und nicht vollkommen ihrer Natur gemäss sind, indem sie sich von ihrem Ganzen trennen und seine Einheit verlassen. Ausserdem führen diejenigen Körper, welche aufwärts oder abwärts, abgesehen von der Kreisbewegung, getrieben werden, keine einfache, gleichförmige und gleichmässige Bewegung aus; denn sie können sich nicht nach ihrer Leichtigkeit oder nach dem Drucke ihres Gewichtes richten; und wenn sie beim Fallen anfänglich eine langsamere Bewegung haben, so vermehren sie ihre Geschwindigkeit im Fallen: während wir dagegen das in die Höhe getriebene irdische Feuer, — und wir kennen kein anderes, — sogleich träge werden sehen, gleichsam als ob sich dadurch die Ursache der Kraft der erdigen Materie zeigte. Die kreisförmige Bewegung verläuft dagegen immer gleichmässig, weil sie eine nicht nachlassende Ursache hat. Jene aber nehmen in der fortschreitenden Bewegung ab, in welcher sie, wenn sie ihren Ort erreicht haben, aufhören, schwer oder leicht zu sein, und deshalb hört ihre Bewegung auf. Wenn also die Kreisbewegung dem Weltall zukäme, den Theilen aber auch die gradlinige: so könnten wir sagen, die Kreisbewegung bestehe mit der gradlinigen, wie das Thier mit der Krankheit. Dass nämlich Aristoteles16) die einfache Bewegung in drei Arten, von der Mitte fort, nach der Mitte hin und um die Mitte herum eingetheilt hat, scheint bloss eine Verstandesthätigkeit zu sein, wie wir ja auch die Linie, den Punkt und die Oberfläche unterscheiden, während doch das Eine nicht ohne das Andere, und Keines von ihnen ohne den Körper bestehen kann. Es kommt nun noch hinzu, dass der Zustand der Unbeweglichkeit für edler und göttlicher gehalten wird, als der der Veränderung und Unbeständigkeit, welcher letztere deshalb eher der Erde, als der Welt zukommt; und ich füge noch hinzu, dass es widersinnig erscheint, dem Enthaltenden und Setzenden eine Bewegung zuzuschreiben, und nicht vielmehr dem Enthaltenen und Gesetzten, welches die Erde ist. Da endlich die Planeten offenbar der Erde bald näher bald ferner zu stehen kommen, so wird auch dann die Bewegung eines und desselben Körpers, welche um die Mitte, die der Mittelpunkt der Erde sein soll, stattfindet, auch von der Mitte fort und nach ihr hin gerichtet sein. Man muss also die Bewegung um die Mitte herum allgemeiner fassen, und es genügt, wenn jede einzelne Bewegung ihre eigene Mitte hat. Man sieht also, dass aus allem Diesen die Bewegung der Erde wahrscheinlicher ist, als ihre Ruhe, zumal in Bezug auf die tägliche Umdrehung, welche der Erde am eigenthümlichsten ist. [23]Capitel 9.
Ob der Erde mehrere Bewegungen beigelegt werden können? und vom Mittelpunkte der Welt.
Da also der Beweglichkeit der Erde nichts im Wege steht: so, glaube ich, muss nun untersucht werden, ob ihr auch mehrere Bewegungen zukommen, so dass sie für einen der Planeten gehalten werden könnte. Dass sie nämlich nicht der Mittelpunkt aller Kreisbewegungen ist, beweisen die scheinbar ungleichmässigen Bewegungen der Planeten, und ihre veränderlichen Abstände von der Erde, welche aus concentrischen Kreisen, mit der Erde im Mittelpunkte, nicht erklärt werden können. Da also mehrere Mittelpunkte existiren, so wird Niemand ohne Grund im Zweifel sein, ob der Mittelpunkt der Welt derjenige der irdischen Schwere, oder ein anderer sei. Ich bin wenigstens der Ansicht, dass die Schwere nichts Anderes ist, als ein von der göttlichen Vorsehung des Weltenmeisters den Theilen eingepflanztes, natürliches Streben, vermöge dessen sie dadurch, dass sie sich zur Form einer Kugel zusammenschliessen, ihre Einheit und Ganzheit bilden.[17] Und es ist anzunehmen, dass diese Neigung auch der Sonne, dem Monde und den übrigen Planeten innewohnt, und sie durch deren Wirkung in der Rundung, in welcher sie erscheinen, verharren; während sie nichtsdestoweniger in vielfacher Weise ihre Kreisläufe vollenden. Wenn also auch die Erde andere Bewegungen, als diejenige um ihren Mittelpunkt besitzt, so werden dieselben solche sein müssen, die nach aussen hin an Vielem in entsprechender Weise zur Erscheinung kommen, und unter diesen erkennen wir den jährlichen Umlauf. Da, wenn man die Unbeweglichkeit der Sonne zugegeben hat, und den jährlichen Umlauf von der Sonne auf die Erde überträgt, der Auf- und Untergang der Zeichen und Fixsterne, wodurch sie Morgen- und Abendsterne werden, sich in derselben Weise ergiebt: so wird es den Anschein gewinnen, dass auch die Stillstände und das Rück- und Vorwärtsgehen der Planeten nicht Bewegungen dieser, sondern der Erde sind, welche diese den Erscheinungen jener leiht. Endlich wird man sich überzeugen, dass die Sonne selbst die Mitte der Welt einnimmt. Und dies Alles lehrt uns das Gesetz der Reihenfolge, in welcher jene auf einander folgen, und die Harmonie der Welt, wenn wir selbst nur die Sache, wie man sagt, mit beiden Augen ansehen. Capitel 10.
Ueber die Ordnung der Himmelskreise.
Dass die Fixsternsphäre das Höchste von allem Sichtbaren ist, sehe ich Niemanden bezweifeln. Die Reihenfolge der Planeten wollten die alten Philosophen nach ihren Umlaufszeiten bestimmen, indem sie als Grund dafür anführten, dass, wenn mehrere Körper mit gleicher Geschwindigkeit sich bewegen, diejenigen langsamer fortzurücken scheinen, welche weiter entfernt [24] sind, wie dies von Euklid in der Optik[18] bewiesen wird. Deshalb glauben sie, dass der Mond, weil er, als der Erde am nächsten stehend, sich in dem kleinsten Kreise bewegt, seinen Umlauf auch in der kürzesten Zeit vollendet; der Saturn aber, als der höchste, die grösste Bahn in der längsten Zeit durchläuft. Unter diesem steht der Jupiter, darauf folgt der Mars. Ueber Venus aber und Merkur finden sich verschiedene Meinungen, weil sie nicht, wie jene, sich durch alle Grade von der Sonne entfernen. Deshalb stellen Einige dieselben über die Sonne, wie Timäus bei Plato, Andere unter dieselbe, wie Ptolemäus[19] und ein guter Theil der Neueren[20]. Alpetragius[21] setzt die Venus über die Sonne, und den Merkur unter dieselbe. Da nun Diejenigen, welche dem Plato folgen, meinen, dass alle Planeten als sonst dunkle Körper, durch das von der Sonne empfangene Licht leuchten: so müssten jene, wenn sie sich unter der Sonne befänden, wegen ihres eben nicht grossen Abstandes von derselben, halb oder wenigstens nicht völlig rund gesehen werden; denn sie würden das empfangene Licht gewöhnlich seitlich, d. h. nach der Sonne hin, zeigen, wie wir dies beim zu- und abnehmenden Monde sehen. Auch sagen sie, die Sonne müsste durch ihr Dazwischentreten zuweilen verfinstert werden, und das Licht derselben nach Massgabe ihrer Grösse einen Verlust erleiden; da dies nun niemals bemerkt wird, so sind sie der Meinung, dass sie niemals unter der Sonne zu stehen kommen. Dagegen vertheidigen Diejenigen, welche Venus und Merkur unter die Sonne stellen, ihre Ansicht durch die Grösse des Raumes, den sie zwischen Sonne und Mond finden. Denn sie haben ermittelt, dass der grösste Abstand des Mondes von der Erde, also vier und sechzig und ein Sechstel solcher Theile, von denen einer vom Mittelpunkte der Erde bis zur Oberfläche reicht, — in der kleinsten Entfernung der Sonne fast achtzehnmal enthalten sei, und diese 1160 solcher Theile betrage, zwischen ihr und dem Monde also 1096. Damit nun ein so weiter Raum nicht leer bleibe, finden sie aus den Unterschieden der Abstände, aus denen sie die Grösse ihrer Bahnen berechnen, dass dieselben Grössen nahezu ausreichen, dass auf die grösste Entfernung des Mondes, die kleinste Merkurs, und auf dessen grösste Entfernung, die kleinste der Venus folge, welche dann endlich in ihrer grössten Entfernung die Sonne in ihrer kleinsten Entfernung gleichsam berührt. Sie glauben nämlich, dass die Merkursbahn 177 der obenbezeichneten Theile umfasse, und dass der übrige Raum von dem Durchmesser der Venusbahn mit 910 Theilen nahezu ausgefüllt werde. Sie geben daher auch nicht zu, dass sich an den Planeten irgend eine Dunkelheit, ähnlich derjenigen des Mondes, finde, sondern behaupten, dass sie entweder mit eigenem Lichte, oder mit ihrem ganzen Körper in Sonnenlicht getaucht, leuchten; und die Sonne deshalb nicht verfinstern, weil es höchst selten vorkomme, dass sie sich vor die Scheibe der Sonne stellen, indem sie meistentheils in der Breite abweichen; ausserdem weil sie im Vergleich zur Sonne kleine Körper sind, da die Venus, die noch grösser ist, als Merkur, kaum den hundertsten Theil der Sonne bedecken kann, wie Albategnius, der Aratenser[22] [25] behauptet, der den Durchmesser der Sonne für zehnmal grösser hält. Deshalb ist es nicht leicht, dass ein so kleiner Fleck in dem vorherrschenden Lichte gesehen werde, — obgleich Averroës[23] in der Ptolemäischen Paraphrase, sich erinnert etwas Schwärzliches gesehen zu haben[24], als er die Conjunction der Sonne und Merkur's berechnet hatte; — und so entscheidet man sich dafür, dass diese beiden Planeten sich unterhalb des Sonnenzirkels bewegen. Aber wie ungewiss und unsicher dieser Schluss sei, erhellt daraus, dass, während nach Ptolemäus die kleinste Entfernung des Mondes 38, nach richtiger Schätzung aber mehr als 49 Erdradien beträgt[25], — wie unten klar werden wird, — wir doch nicht wissen, dass in einem so grossen Raume etwas Anderes enthalten sei, als Luft und, wenn man will, dasjenige, was man das feurige Element nennt. Ferner daraus, dass der Durchmesser der Venusbahn, nach dessen Grösse sie von der Sonne nach beiden Seiten um mehr oder weniger als 45 Grade abweicht, sechsmal so gross sein muss, als die Linie, welche vom Mittelpunkte der Erde nach dem untersten Punkte der Venusbahn gezogen werden kann, wie seines Ortes bewiesen werden wird. Was soll also in diesem ganzen Raume enthalten sein, der um so grösser ist, als er Erde, Luft, Aether, Mond und Merkur und was ausserdem noch der ungeheure Epicyclus der Venus ausmacht, wenn er um die ruhende Erde kreist, umfasst? — Wie wenig überzeugend die Begründung des Ptotemäus ist, nach welcher die Sonne die Mitte zwischen den überallhin und den nicht so von ihr abweichenden Planeten einnehmen soll, geht daraus hervor, dass der Mond, indem er selbst überallhin abweicht, ihre Unwahrheit verräth.-— Was wollen aber Diejenigen, welche unter die Sonne die Venus und dann den Merkur setzen, oder dieselben nach einer andern Reihenfolge anordnen, für eine Ursache dafür anführen, dass diese nicht ebenso selbständige und von der Sonne unabhängige Bahnen durchlaufen, wie die übrigen Planeten, wenn das Verhältniss ihrer Geschwindigkeit und Langsamkeit ihre Reihenfolge nicht falsch darstellt? Also es würde entweder die Erde nicht in dem Mittelpunkte, auf welchen die Reihenfolge der Gestirne und Bahnen bezogen werden, stehen dürfen; oder es gäbe mindestens gar keinen Grund für ihre Reihenfolge, noch wäre es ersichtlich, warum dem Saturn mehr, als dem Jupiter oder irgend einem andern, die höchste Stelle gebührte. Deshalb scheint mir durchaus nicht unbeachtenswerth, was Martianus Capella, welcher eine Encyclopädie[26] geschrieben hat, und einige andere Lateiner sehr wohl wussten. Er glaubt nämlich[27], dass Venus und Merkur die Sonne als ihren Mittelpunkt umkreisen, und deswegen von ihr nicht weiter weggehen können, als es die Kreise ihrer Bahnen erlauben, weil sie die Erde nicht wie die andern umkreisen, sondern wechselnd-wiederkehrende Abstände haben. Was will dies Anderes bedeuten, als dass dieselben um die Sonne, als um den Mittelpunkt ihrer Bahnen, kreisen? So würde denn in der That die Bahn Merkur's von derjenigen der Venus, welche mehr als doppelt so gross ist, umschlossen, und fände in der Ausdehnung dieser die ihr genügende Stelle. [26] Nimmt man hiervon Gelegenheit, und bezieht Saturn, Jupiter und Mars auf denselben Mittelpunkt, während man die grosse Ausdehnung ihrer Bahnen in's Auge fasst, welche mit Jenen auch die darin liegende Erde enthält und umschliesst: so wird man die Erklärung der regelmässigen Ordnung ihrer Bewegungen nicht verfehlen. Denn es steht fest, dass jene der Erde immer dann am nächsten sind, wenn sie des Abends aufgehen, d. h. wenn sie in Opposition mit der Sonne treten, wo die Erde zwischen ihnen und der Sonne steht; dass sie aber von der Erde am entferntesten sind, wenn sie des Abends untergehen, d. h. wenn sie von der Sonne verdeckt werden, indem wir zwischen ihnen und der Erde die Sonne haben, was hinreichend beweist, dass ihr Mittelpunkt vielmehr der Sonne zugehöre, und derselbe sei, auf welchen auch Venus und Merkur ihre Bahnen beziehen. Da aber alle diese sich auf einen Mittelpunkt beziehen: so ist nothwendig, dass der kreis- oder kugelförmige Raum, welcher zwischen dem convexen Kreise der Venus und dem concaven des Mars übrig bleibt, und mit jenen an beiden Oberflächen concentrisch ist, unterbrochen wird, und die Erde mit dem sie begleitenden Monde, und Allem, was unter dem Monde sich befindet, aufnimmt. Denn wir können den Mond, der unstreitig der Erde am nächsten steht, in keiner Weise von ihr trennen, zumal da wir in jenem Räume für ihn eine überflüssig ausreichende Stelle finden. Daher scheuen wir uns nicht, zu behaupten, dass das Ganze, was der Mond einschliesst, mit dem Mittelpunkte der Erde, zwischen den Planeten jenen grossen Kreis in jährlicher Bewegung um die Sonne durchläuft, und sich um den Weltmittelpunkt bewegt, in welchem auch die Sonne unbeweglich ruht; und dass alle Dasjenige, was von einer Bewegung der Sonne erscheint, vielmehr in der Bewegung der Erde seine Wahrheit findet; — dass aber der Umfang der Welt so gross ist, dass jene Entfernung der Erde von der Sonne, während sie im Verhältnisse zu der Grösse der Bahnen der anderen Planeten eine merkliche Ausdehnung hat, gegen die Fixsternsphäre gehalten, verschwindet; was ich für leichter begreiflich halte, als wenn der Geist in eine fast endlose Menge von Kreisen zersplittert wird, was Diejenigen zu thun gezwungen gewesen sind, welche die Erde in der Mitte der Welt festgehalten haben. Man muss vielmehr der Weisheit der Natur nachgehen, welche, indem sie sich sehr gehütet hat, irgend etwas Ueberflüssiges oder Unnützes hervorzubringen, vielmehr oft einen und denselben Gegenstand mit vielen Wirkungen begabte. Wenn alle Dieses schwierig, fast unbegreiflich und gegen die Meinung Vieler sein sollte, so werden wir es, so Gott will, klarer als die Sonne machen, wenigstens Denen, die in der Mathematik nicht unwissend sind. Das erste Gesetz bleibt also unangefochten, und es wird Niemand ein zutreffenderes herbeibringen, dass nämlich die Grösse der Bahnen durch die Dauer der Umlaufszeit gemessen wird. Die Reihe der Sphären ordnet sich aber, von dem Höchsten anfangend, in folgender Weise. Die erste und höchste von allen Sphären ist diejenige der Fixsterne, sich selbst und Alles enthaltend, und daher unbeweglich, als der Ort des [27] Universums, auf welchen die Bewegung und Stellung aller übrigen Gestirne bezogen wird. Während nämlich Einige meinen, dass auch diese sich einigermassen verändern, so werden wir bei der Ableitung der irdischen Bewegung eine andere Ursache für diese Erscheinung darlegen. Es folgt der erste Planet, Saturn, welcher in 30 Jahren seinen Umlauf vollendet; hierauf Jupiter mit einem zwölfjährigen Umlaufe; dann Mars, welcher in 2 Jahren seine Bahn durchläuft. Die vierte Stelle in der Reihe nimmt der jährliche Kreislauf ein, in welchem die Erde mit der Mondbahn, als Epicyclus, enthalten ist. In fünfter Stelle kreist Venus in neun Monaten. Die sechste 
Stelle nimmt Merkur ein, der in einem Zeitraume von achtzig Tagen seinen Umlauf vollendet. In der Mitte aber von Allen steht die Sonne. Denn wer möchte in diesem schönsten Tempel diese Leuchte an einen andern oder bessern Ort setzen, als von wo aus sie das Ganze zugleich erleuchten kann? Wenn anders nicht unpassend Einige sie die Leuchte der Welt, Andere die Seele, noch Andere den Regierer nennen. Trimegistus[28] nennt sie den sichtbaren Gott, Electra[29] des Sophocles den Alles Sehenden. So lenkt in der That die Sonne, auf dem königlichen Throne sitzend, die sie umkreisende [28] Familie der Gestirne. Auch wird die Erde nicht des Dienstes des Mondes beraubt, sondern, wie Aristoteles de animalibus[30] sagt, der Mond hat zur Erde die grösste Verwandtschaft. Indessen empfängt die Erde von der Sonne und wird schwanger mit jährlicher Geburt. Wir finden also in dieser Anordnung eine bewunderungswürdige Harmonie der Welt, und einen zuverlässigen, harmonischen Zusammenhang der Bewegung und Grösse der Bahnen, wie er anderweitig nicht gefunden werden kann. Denn hier kann der eingehende Beobachter bemerken, warum das Vor- und Zurückgehen beim Jupiter grösser erscheint, als beim Saturn, und kleiner, als beim Mars, und wiederum bei der Venus grösser, als beim Merkur; und warum ein solcher Rückgang beim Saturn häufiger erscheint, als beim Jupiter; seltener beim Mars, und bei der Venus, als beim Merkur. Ausserdem warum Saturn, Jupiter und Mars, wenn sie des Abends aufgehen, der Erde näher sind, als bei ihrem Verschwinden und Wieder-sichtbar-werden. Vorzüglich aber scheint Mars, wenn er des Nachts am Himmel steht, an Grösse dem Jupiter gleich zu sein, indem er sich nur durch die röthliche Farbe unterscheidet; bald darauf wird er unter den Sternen zweiter Grösse gefunden, erkannt durch sorgfältige Beobachtung am Sextanten. Und dieses Alles ergiebt sich aus derselben Ursache, welche in der Bewegung der Erde liegt. Dass aber an den Fixsternen nichts von derselben zur Erscheinung kommt, beweist ihre unermessliche Entfernung, welche selbst die Bahn der jährlichen Bewegung oder deren Abbild für unsere Augen verschwinden lässt, weil alles Sichtbare eine gewisse Entfernung als Grenze hat, über welche hinaus es nicht gesehen werden kann, wie das in der Optik bewiesen wird. Dass nämlich zwischen dem höchsten Planeten, dem Saturn, und der Fixsternsphäre noch sehr Vieles liegt, beweist der funkelnde Glanz der Letzteren, durch welche Eigenschaft sie sich von den Planeten am meisten unterscheiden; wie denn zwischen Bewegtem und Unbewegtem der grösste Unterschied bestehen muss. So gross ist in der That diese göttliche, beste und grösste Werkstatt. Capitel 11.
Beweis von der dreifachen Bewegung der Erde.
Da also so viele und so gewichtige den Planeten entnommene Zeugnisse für die Beweglichkeit der Erde sprechen: so wollen wir nun eben diese Bewegung im Allgemeinen darlegen, insofern durch dieselbe, gleich wie an einer Hypothese, die Erscheinungen nachgewiesen werden. Man muss dieselbe überhaupt als eine dreifache annehmen: die erste, von der wir gesagt haben, dass sie von den Griechen Nychthemerinon genannt wird, ist der eigentliche Kreislauf von Tag und Nacht, der um die Erdaxe von Westen nach Osten ebenso vor sich geht, wie man bisher geglaubt hat, dass die Welt sich im entgegengesetzten Sinne bewege, und welcher Kreislauf den Nachtgleichenkreis (Aequator) beschreibt, den Einige den Taggleichenkreis nennen, indem [29] sie die Bezeichnung der Griechen nachahmen, bei denen er Isemerinos heisst. Die zweite ist die jährliche Bewegung des Mittelpunktes mit dem sich auf denselben Beziehenden, welche, wie gesagt, den Thierkreis um die Sonne ebenfalls von Westen nach Osten, d. h. rechtläufig, zwischen Venus und Mars durchläuft. Hierdurch geschieht es, dass, wie wir sagten, die Sonne selbst in ähnlicher Bewegung den Thierkreis zu durchlaufen scheint, wie wenn z. B. der Mittelpunkt der Erde durch Steinbock, Wassermann u. s. w. geht, die Sonne durch Krebs, Löwe u. s. w. zu gehen scheint. — Man muss sich vorstellen, dass der Aequator und die Axe der Erde gegen die Ebene des Kreises, welcher durch die Mitte der Zeichen geht,[31] eine veränderliche Neigung haben. Weil, wenn sie in unveränderlicher Neigung verharrten, und nur der Bewegung des Mittelpunktes einfach folgten, keine Ungleichheit der Tage und Nächte erscheinen würde, sondern immer entweder Solstitium, oder der kürzeste Tag, oder Nachtgleiche, entweder Sommer, oder Winter, oder was sonst für eine und dieselbe sich gleiche Jahreszeit stattfinden müsste. Es folgt also die dritte Bewegung der Declination[32], ebenfalls im jährlichen Kreislaufe, aber rückläufig, d. h. entgegengesetzt der Bewegung des Mittelpunktes. Und so kommt es durch beide, einander fast gleiche und entgegengesetzte Bewegungen, dass die Axe der Erde, und also auch der Aequator, als der grösste Parallelkreis, fast nach derselben Himmelsgegend gerichtet bleiben, gleich als ob sie unbeweglich wären, während die Sonne, wegen der Bewegung, mit welcher der Mittelpunkt der Erde fortrückt, durch die Schiefe des Thierkreises sich zu bewegen scheint; nicht anders, als ob eben dieser Mittelpunkt der Erde der Mittelpunkt der Welt wäre, wofern man sich nur erinnert, dass die Entfernung der Sonne von der Erde an der Fixsternsphäre unser Wahrnehmungsvermögen bereits überschritten hat. Da dies nun so beschaffen ist, dass es leichter mit den Augen aufgefasst, als gesagt werden kann: so beschreiben wir einen Kreis abcd, welcher den jährlichen Umlauf des Mittelpunktes der Erde in der Ebene des Thierkreises vorstellt, und sei e die um dessen Mittelpunkt herum befindliche Sonne. Diesen Kreis theile ich in vier gleiche Theile durch die Durchmesser aec und bed. Den Punkt a nehme der Anfang des Krebses, b der der Wage, c der des Steinbocks und d der des Widders ein. Nehmen wir nun den Mittelpunkt der Erde zuerst in a an, und beschreiben um denselben den Erdäquator fghi, aber nicht in derselben Ebene, nur dass der Durchmesser gai den gemeinschaftlichen Durchschnitt der Kreise, nämlich des Aequators und des Thierkreises darstellt. Nachdem wir den Durchmesser fah rechtwinklig gegen gai gezogen haben, sei f der Punkt der grössten Declination nach Süden, h dagegen der nach Norden. Stellt man sich dies so richtig vor: so sehen die Erdbewohner die um den Mittelpunkt e herum befindliche Sonne im Steinbock ihre Winterwende machen, welche durch die nach der Sonne hin gewendete, grösste, nördliche Declination h bewirkt wird; weil die tägliche Umdrehung, wegen der schrägen Lage des Aequators, dem von dem Neigungswinkel eah umfassten Abstände gemäss, an der [30]
Linie ae den parallelen südlichen Wendekreis einschneidet.[33] Nun rücke der Mittelpunkt der Erde rechtläufig, und um eben so viel der Punkt der grössten Declination f rückläufig fort, bis beide in b Kreisquadranten zurückgelegt haben: dann bleibt während dem der Winkel eai, wegen der Gleichmässigkeit der Kreisbewegungen, immer gleich aeb, und der Durchmesser fah mit fbh, und gai mit gbi, und der Aequator mit dem Aequator parallel. Und zwar erscheinen sie wegen der schon oft angegebenen Ursache, bei der Unermesslichkeit des Himmels, als dieselben. Daher erscheint vom Anfange b der Wage aus, e im Widder, und fällt der gemeinschaftliche Durchschnitt der Kreise in die eine Linie gbie, an welcher die tägliche Umdrehung keine Declination zulässt, sondern alle Declination liegt nach den Seiten hin. Deshalb wird die Sonne im Frühlingspunkte gesehen werden. Der Mittelpunkt der Erde möge unter den angenommenen Bedingungen fortfahren, sich zu bewegen; wenn nun in c der Halbkreis zurückgelegt ist, so wird die Sonne in den Krebs einzutreten scheinen. Aber da f, die südliche Abweichung des Aequators, der Sonne zugewendet ist: so bewirkt dies, dass die Sonne nördlich erscheint, indem sie den nördlichen Wendekreis, nach Massgabe des Neigungswinkels ecf durchläuft. Wenn f bis zum dritten Quadranten sich wieder abwendet: so fällt der gemeinschaftliche Durchschnitt gi von Neuem in die Linie ed; weshalb die Sonne, in der Wage gesehen, das Herbstäquinoctium erreicht zu haben scheint. Und indem [31] hf bei demselben Fortrücken sich allmälig nach der Sonne hin wendet, so bewirkt dies, dass dasselbe wiederkehrt, von dem wir Anfangs ausgegangen sind. — In anderer Weise. — Es sei ebenso aec der Durchmesser 
in der Zeichenebene und der gemeinschaftliche Durchschnitt derselben mit dem senkrecht gegen diese Ebene construirten Kreise abc. In der ersteren Ebene möge in a und c, d. h. beziehlich in Krebs und Steinbock, der Meridian der Erde durch dgfi, und die Axe der Erde durch df bezeichnet werden. Der nördliche Pol sei d, der südliche f, und der Durchmesser des Aequators sei gi. Wenn nun f sich der Sonne, welche in e stehen mag, zuwendet, und die Neigung des Aequators um den Winkel iae nördlich ist: so beschreibt die Bewegung um die Axe, in dem Abstande li, den mit dem Aequator parallelen, von der Sonne beschienenen, südlichen Wendekreis des Steinbocks mit dem Durchmesser kl. Oder um richtiger zu sprechen. Jene Bewegung um die Axe beschreibt in der Richtung ae eine Kegeloberfläche, die ihren Gipfel im Mittelpunkte der Erde, ihre Basis aber parallel mit dem Aequator liegen hat. In dem entgegengesetzten Zeichen c trifft Alles in gleicher Weise, nur umgekehrt, zu. Es ist also klar, wie die beiden, einander entgegengesetzten Bewegungen, nämlich die des Mittelpunktes und der Declination, die Axe der Erde zwingen, in derselben Neigung und in ganz ähnlicher Stellung zu verharren, und dass dies Alles so erscheint, als wären es Bewegungen der Sonne. Wir sagten aber, dass die jährlichen Umläufe des Mittelpunktes und der Declination fast gleich wären, weil, wenn dies genau der Fall wäre, die Aequinoctial- und Solstitialpunkte und die ganze Schiefe des Thierkreises gegen die Fixsternsphäre sich durchaus nicht ändern dürften. Da aber jene Differenz gering ist: so wird sie nur mit zunehmender Zeit merklich: von Ptolemäus nämlich bis auf uns sind jene Aequinoctial- und Solstitialpunkte ungefähr um 21 Grade zurückgerückt. Deshalb haben Einige geglaubt, dass die Fixsternsphäre sich ebenfalls bewege, so dass sie aus diesem Grunde eine neunte höhere Sphäre annahmen; und da diese noch nicht hinreicht, fügen jetzt die Neueren noch eine zehnte hinzu, und dennoch haben sie das Ziel noch nicht erreicht, welches wir durch die Bewegung der Erde zu erreichen hoffen, indem wir uns derselben bei der Entwicklung des Nachfolgenden als Prinzip und Voraussetzung bedienen.[34] [32]Capitel 12.
Ueber die graden Linien, welche Sehnen im Kreise sind.[35]
Weil die Entwicklungen, deren wir uns fast in dem ganzen Werke bedienen, mit graden Linien und Bogen, mit ebenen und sphärischen Dreiecken sich beschäftigen, und man, obgleich darüber schon Vieles in Euklid's Elementen vorliegt, dennoch nicht Dasjenige besitzt, warum es sich hier hauptsächlich handelt: wie man nämlich aus den Winkeln die Seiten, und aus den Seiten die Winkel finden kann; indem der Winkel nicht die Sehne, und nicht diese, sondern der Bogen den Winkel misst; und deswegen eine Methode erfunden ist, durch welche man die Sehne eines beliebigen Bogens erkennen, und aus der Sehne mit Hülfe des Winkels den entsprechenden Bogen, und umgekehrt aus dem Bogen die Sehne, welche einem Winkel zugehört, erhalten kann: — so wird es nicht befremden, wenn wir von diesen Linien handeln. Auch über die Seiten und Winkel, sowohl der ebenen, als auch der sphärischen Dreiecke, werden wir das, was Ptolemäus zerstreut und beispielsweise mitgetheilt hat, an dieser Stelle ein für alle Mal soweit untersuchen, als später Dasjenige, was wir besprechen müssen, dadurch klarer wird. Wir theilen den Kreis nach der allgemeinen Sitte der Mathematiker in 360 Theile. Den Durchmesser nehmen die Alten als aus 120 Theilen bestehend an. Um aber bei der Multiplication und Division mit diesen Linien, die wie meistens in der Länge, so auch in der Potenz incommensurabel sind, die Verwicklung sehr kleiner Zahlen zu vermeiden, führten die Späteren von der Zeit an, wo die indischen Zahlzeichen in Gebrauch kamen, entweder einen zwölfmal oder zwanzigmal hunderttausendtheiligen, oder einen andern rationalen Durchmesser ein. Eine solche Zahlenangabe aber übertrifft jede andere, sowohl die griechische als auch die lateinische, durch ihre besondere Brauchbarkeit, und fügt sich am besten jeder Art von Rechnung. Auch wir haben deswegen 200000 Theile des Durchmessers für hinreichend gehalten, um einen merklichen Irrthum ausschliessen zu können. Was sich nämlich nicht wie eine Zahl zu einer Zahl verhält, davon genügt es, einen Näherungswerth zu erlangen. Wir wollen nun nachstehende sechs Lehrsätze und eine Aufgabe erörtern, indem wir meistentheils dem Ptolemäus folgen. Erster Lehrsatz.
Wenn der Durchmesser eines Kreises gegeben ist, so sind auch die Seiten des Dreiecks, Vierecks, Sechsecks, Fünfecks und Zehnecks, welche derselbe Kreis umschreibt, gegeben. Der Radius, als die Hälfte des Durchmessers, ist nämlich gleich der Seite des Sechsecks. Das Quadrat der Dreiecksseite ist aber das Dreifache, und dasjenige der Quadratsseite das Doppelte von dem Quadrate der Sechsecksseite, wie das bei Euklid in den Elementen bewiesen ist.[36] Die Seite des Sechsecks wird also in der Länge 100000 Theile, die des Vierecks 141422 Theile, die des Dreiecks 173205 [33] Theile enthalten.
Zusatz.
Daraus erhellt, dass wenn die Sehne irgend eines Bogens bekannt ist auch diejenige Sehne gegeben ist, welche dem, jenen zum Halbkreise ergänzenden Bogen zugehört. Denn der Winkel im Halbkreise ist ein Rechter. In rechtwinkligen Dreiecken ist aber das Quadrat der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite, das ist des Durchmessers, gleich den Quadraten, welche über den den rechten Winkel einschliessenden Seiten construirt worden sind. Weil also die Seite des Zehnecks, welche die Sehne eines Bogens von 36 Graden ist, bewiesenermassen 61803 Theile enthält, von denen 200000 auf den Durchmesser gehen: so ist auch die Sehne des jenen zum Halbkreise ergänzenden Bogens von 144 Graden mit 190211 solcher Theile gegeben. Und aus der Fünfecksseite, welche mit 117557 Theilen des Durchmessers 72 Grade spannt, ergiebt sich die Sehne des jenen zum Halbkreise ergänzenden Bogens von 108 Graden mit 161803 Theilen. Zweiter Lehrsatz.
Wenn ein Viereck einem Kreise einbeschrieben ist: so ist das Rechteck aus den Diagonalen gleich den beiden Rechtecken aus je zweien einander gegenüberliegenden Seiten. Es sei nämlich abcd das dem Kreise einbeschriebene Viereck: so behaupte ich, dass das Rechteck aus den Diagonalen ac und bd gleich ist denjenigen aus ab und cd und aus ad und bc. Denn machen wir den Winkel abe gleich cbd: so wird der ganze Winkel [34] abd gleich dem ganzen ebc, indem ebd zu jedem der Beiden hinzuaddirt ist.
Dritter Lehrsatz.
Vierter Lehrsatz.
[35] ecf gemeinschaftlich haben, so sind sie ähnlich; wie daher cf die Hälfte von bfc ist, so ist ef die Hälfte von ab. Aber ab ist als die Sehne des, jenen zum Halbkreise ergänzenden, Bogens gegeben, also ist auch ef gegeben, so wie der Rest df von dem halben Durchmesser; dieser werde als deg vollendet und dann bg gezogen. In dem Dreiecke bdg bildet nun bf das Loth von dem rechten Winkel b aus auf die Basis. Das Rechteck gd · df ist also gleich dem Quadrate von bd; es ergiebt sich also die Länge von bd, welche die Sehne zur Hälfte des Bogens bdc ist. Und da schon die Sehne von 12 Graden gegeben ist, so ergiebt sich auch die von 6 Graden zu 10467 Theilen[43], die von 3 Graden zu 5235, die von anderthalb Graden zu 2618 und die von dreiviertel Graden zu 1309 Theilen. Fünfter Lehrsatz.
Sechster Lehrsatz.
Das Verhältniss eines grösseren zu einem kleineren Bogen ist grösser, als das der entprechenden Sehnen. ab und bc seien zwei ungleiche, zusammenhängende Bogen in einem Kreise, bc aber der grössere, so behaupte ich, [36] dass bc : ab ein grösseres Verhältniss sei, als das der Seimen bc : ab, welche den Winkel b bilden, welcher durch die Linie bd halbirt wird.
Aufgabe.
[37] ac, indem sie nur tun 2617 Theile grösser ist, als jene. Wenn wir aber den Bogen ab zu anderthalb und ac zu dreiviertel Graden annehmen: so haben wir die Sehne ab gleich 2618 und ac gleich 1309 Theilen, und obgleich die Sehne ac grösser als ½ ab sein muss, so scheint sie doch von der Hälfte sich nicht zu unterscheiden, sondern das Verhältniss der Bogen erscheint schon als dasselbe, wie dasjenige der Sehnen. Da wir also dahin gelangt zu sein scheinen, wo der Unterschied der graden und krummen Linie der Merklichkeit sich entzieht, gleichsam als ob beide nur eine Linie wären, so zweifeln wir nicht, dass sich die Sehnen, — für dreiviertel Grade gleich 1309, — in gleichem Verhältnisse einem Grade und den übrigen Theilen anschliessen, so dass, wenn wir den drei Theilen ein Viertel hinzufügen, wir einen Grad gleich 1745, einen halben Grad gleich 872½ Theilen, und einen drittel Grad gleich 582 Theilen setzen. Ich halte es aber für hinreichend, wenn wir nur die halben Sehnen der doppelten Bogen in das Verzeichniss aufnehmen, durch welche Abkürzung wir Dasjenige im Quadranten zusammenfassen, was für den Halbkreis ausgeführt werden müsste. Und dies zwar um so eher, als im Gebrauche häufiger die halben, als die ganzen Sehnen in der Entwicklung und Rechnung vorkommen. Wir haben aber ein um Sechstel-Grade fortschreitendes und drei Abtheilungen enthaltendes Verzeichniss angefertigt. In der ersten Abtheilung stehen die Grade oder Bogentheile und ihre Sechstel, die zweite Abtheilung enthält die Zahlen der halben Sehnen der doppelten Bogen, die dritte Abtheilung giebt die Differenzen dieser Zahlen, welche zwischen den einzelnen Graden liegen, und aus welchen man Dasjenige proportional berechnen kann, was den einzelnen Theilchen der Grade entspricht. Die Tafel ist nun folgende. [38]
[39]
[40]
[41]
[42]
Capitel 13.
Ueber die Seiten und Winkel der ebenen gradlinigen Dreiecke.
1. 
2.
Wenn aber irgend ein Winkel nebst zweien Seiten des Dreiecks gegeben ist: so ergiebt sich auch die dritte Seite nebst den übrigen Winkeln. Entweder sind nämlich die gegebenen Seiten einander gleich oder ungleich. Der gegebene Winkel ist aber entweder ein rechter oder ein spitzer oder ein stumpfer; und die gegebenen Seiten schliessen entweder den gegebenen Winkel ein oder nicht. 
3.
[44] so ergeben sich ab und ac als die Sehnen der beiden andern Winkel b und c, welche nun die Einrichtung des Verzeichnisses in Theilen, von denen 180 gleich zweien Rechten sind, nachweist. Dasselbe wird sich ergeben, wenn bc nebst einer der den rechten Winkel einschliessenden Seiten gegeben ist, was mir hinreichend klar zu sein scheint. 4.
5.
6.
Wenn eine von den gegebenen Seiten ac und ab dem gegebenen Winkel b gegenüberliegt: so ergiebt sich aus dem Verzeichnisse ac in Theilen, von denen der Durchmesser des das Dreieck abc umschreibenden Kreises 200000 enthält; und da das Verhältniss von ab zu ac gegeben ist: so ergiebt sich ab in denselben Theilen, folglich aus dem Verzeichnisse der Winkel acb nebst dem andern bac, aus welchem wiederum bc als Sehne sich ergiebt, und hierdurch sind sie nach jedem beliebigen Maassstabe gegeben. [45]7.
[46] be, die Sehne des Bogens be. Wenn wir ec ziehen: so haben wir ein gleichschenkliges Dreieck bce von gegebenen Seiten. Daraus ergiebt sich der Winkel ebc und dadurch werden auch in dem Dreiecke abc die übrigen Winkel c und a nach dem Früheren gefunden. Schneidet aber der Kreis, ab nicht, wie in der andern Figur, wo ab auf den convexen Bogen trifft: so ist be nichtsdestoweniger gegeben, und in dem gleichschenkligen Dreiecke bce ist der Winkel cbe, wie auch der Aussenwinkel abc bekannt, und auf dieselbe Weise, wie vorhin, ergeben sich sofort die übrigen Winkel. Und dies mag für die gradlinigen Dreiecke hinreichen, worauf ein grosser Theil der Geodäsie beruht. Wir wenden uns nun zu den sphärischen Dreiecken. Capitel 14.
Ueber die sphärischen Dreiecke.
Wir nehmen hier dasjenige convexe Dreieck, welches auf einer Kugeloberfläche von dreien Bogen grösster Kreise eingeschlossen wird; die Differenz und Grösse der Winkel aber auf dem Bogen des grössten Kreises, welcher von dem Schnittpunkte als von einem Pole aus beschrieben wird, und welchen Bogen die Quadranten der den Winkel bildenden Kreise einschliessen. Denn wie der so eingeschlossene Bogen zur ganzen Peripherie: so verhält sich der Winkel am Schnittpunkte zu vier Rechten, welche, wie wir gesagt haben, 360 gleiche Theile enthalten. 1.
Aus dreien Bogen grösster Kreise einer Kugel, von denen zwei beliebige zusammengenommen grösser sind, als der dritte, kann offenbar ein sphärisches Dreieck zusammengesetzt werden. Denn was hier von den Bogen behauptet wird, beweist der 23ste Satz des elften Buches des Euklid von den Winkeln[50], da das Verhältniss der Winkel und der Bogen dasselbe ist, und grösste Kreise solche sind, welche durch den Mittelpunkt der Kugel gehen: so ist klar, dass jene drei Kreissectoren, von denen jene Bogen sind, am Mittelpunkte der Kugel eine Ecke bilden. Es ist also sicher, was behauptet ist. 2.
Jeder Bogen eines Dreiecks muss kleiner sein, als ein Halbkreis. Denn ein Halbkreis bildet am Mittelpunkte keinen Winkel, sondern projicirt sich als grade Linie. Aber die beiden übrigen Winkel, zu denen die Bogen gehören, können am Mittelpunkte keine Ecke einschliessen, also auch kein sphärisches Dreieck. Und dies ist, wie ich glaube, die Ursache gewesen, warum Ptolemäus bei der Untersuchung dieser Art von Dreiecken besonders an der Figur des Kugelsectors beweist, dass Bogen, die grösser als Halbkreise angenommen werden, nicht existiren. [47]3.
In sphärischen Dreiecken, die einen rechten Winkel enthalten, verhält sich die Sehne der doppelten Seite, welche dem rechten Winkel gegenüberliegt, zur Sehne des Doppelten einer von den beiden den rechten Winkel Einschliessenden, wie der Durchmesser der Kugel, zu der Sehne des doppelten Winkels, welcher von der übrigen und der ersten Seite auf dem grössten Kreise der Kugel eingeschlossen ist.
4.
Wenn in einem rechtwinkligen Dreiecke noch ein Winkel und irgend eine Seite gegeben sind: so ergiebt sich auch der dritte Winkel und die beiden andern Seiten.
[49] wie die Sehne des doppelten ad zu der Sehne des doppelten be. Es ergiebt sich also der Bogen bf, und als Rest die Seite ab. Auf ähnliche Weise, wie im Vorhergehenden, ergiebt sich aus den Sehnen der doppelten bc, ab und fbe, die Sehne des doppelten de, oder der Winkel c. Wenn ferner bc als bekannt angenommen würde: so würde sich wieder wie vorhin ac, ad und be ergeben, wodurch mittelst der Sehnen und des Durchmessers, wie oft gesagt ist, der Bogen bf sich ergiebt und als Rest die Seite ab; und aus dem bekannten bc, ab und cbe ergiebt sich sogleich nach dem vorhergehenden Lehrsatze der Bogen ed, d. h. der Winkel c, welchen wir suchten. Und so ist wiederum in dem Dreiecke abc, wenn die Winkel a und b, von denen a ein Rechter ist, und irgend eine der drei Seiten gegeben sind, der dritte Winkel mit den übrigen beiden Seiten gegeben, was zu beweisen war. 5.
Bei einem Dreiecke von gegebenen Winkeln, von denen irgend einer ein Rechter ist, ergeben sich die Seiten. Behalten wir noch die vorhergehende Figur bei, in welcher wegen des gegebenen Winkels c, der Bogen de und, als Rest des Kreisquadranten, ef sich ergeben. Weil nun bef ein rechter Winkel ist, indem be von dem Pole des Kreises def herkommt, und weil der Winkel ebf Scheitelwinkel eines gegebenen ist: so sind die Winkel und Seiten des Dreiecks bef, welches den rechten Winkel e, den gegebenen Winkel b und die gegebene Seite ef enthält, nach dem vorhergehenden Lehrsatze bekannt; es ergiebt sich also bf und als Rest des Quadranten ab; und durch das Vorhergehende ist bewiesen, dass in dem Dreiecke abc ebenfalls die übrigen Seiten ac und bc sich ergeben. 6.
Wenn auf derselben Kugel zwei Dreiecke einen rechten, und ausserdem noch einen gleichen Winkel und eine gleiche Seite haben, mag nun Letztere dem gleichen Winkel an- oder gegenüberliegen: so sind auch die andern Seiten und der dritte Winkel beziehlich gleich. 
[50] ad und ce als gleiche Seiten angenommen sind: so werden auch die Reste di und ie gleiche Bogen sein, und die Winkel idh und iek sind gleich, denn sie sind Scheitelwinkel der als gleich angenommenen Winkel; und die Winkel bei h und k sind rechte; und da diejenigen Verhältnisse, welche einem Dritten gleich sind, auch unter sich gleich sind: so verhält sich die Sehne des Doppelten id zir Sehne des Doppelten hi, wie die Sehne des Doppelten ei zur Sehne des Doppelten ik; da jedes von diesen beiden Verhältnissen nach dem obigen 3ten Satze gleich ist dem Verhältnisse des Durchmessers der Kugel zu der Sehne des doppelten Winkels idh, oder zu der gleichen Sehne des doppelten Winkels iek. Und da die Seime des doppelten Bogens di gleich ist der Sehne des Doppelten ie: so sind auch nach dem 14ten Satze des fünften Buches der Elemente von Euklid die Sehnen der doppelten ik und ih gleich; und da in gleichen Kreisen gleiche grade Linien gleiche Bogen abschneiden, und die Theile in dem halben Verhältnisse wie die Vielfachen stehen: so sind die einfachen Bogen ih und ik einander gleich, und also auch die Reste der Quadranten gh und kl, wodurch sich die Winkel b und f als gleiche ergeben. Weshalb auch zwischen der Sehne des doppelten ad und der Sehne des doppelten bd, oder zwischen der Sehne des doppelten ce und der Sehne des doppelten bd, dasselbe Verhältniss besteht, als zwischen der Sehne des doppelten ec und der Sehne des doppelten ef. Denn jedes von beiden Verhältnissen ist gleich demjenigen der Sehne des doppelten hg oder des diesem gleichen doppelten kl, zur Sehne des doppelten bdh d. h. zum Durchmesser, nach dem umgekehrten 3ten Lehrsatze, und ad ist gleich ce. Folglich ist nach dem 14ten Satze des fünften Buches der Elemente von Euklid bd gleich ef aus Gleichheit der Sehnen der doppelten Bogen. Auf dieselbe Weise werden wir aus der Gleichheit von bd und ef die Gleichheit der übrigen Seiten und Winkel beweisen. Und wiederum, wenn ab und cf als die gleichen Seiten angenommen werden, so folgen sie derselben Gleichheit in Bezug auf ihr Verhältniss. 7.
[51] Winkel hdn und kem enthalten, welche als Scheitelwinkel von als gleich angenommenen gleich sind, und weil diejenigen bei h und k rechte sind, wegen des Schneidens am Pole: so sind auch die Seiten dh und ek gleich. Die Dreiecke haben also gleiche Winkel und gleiche Seiten nach dem vorigen Beweise. Und wiederum weil gh und kl gleiche Bogen sind, wegen der als gleich vorausgesetzten Winkel b und f: so ist der ganze Bogen ghn gleich dem ganzen mkl nach dem Grundsatze der Addition von Gleichen. Es giebt also auch hier zwei Dreiecke agn und mcl, welche eine Seite gn gleich einer Seite ml und einen Winkel ang gleich cml und die rechten g und l enthalten. Deswegen sind also auch diese Dreiecke congruent. Wenn nun Gleiches von Gleichem abgezogen wird: so bleibt ad gleich ce, ab gleich cf, und Winkel bad gleich dem Winkel ecf. Was zu beweisen war. 8.
Aber auch wenn zwei Dreiecke zwei Paar gleiche Seiten und ein Paar gleiche Winkel enthalten, mögen Letzteren die gleichen Seiten einschliessen, oder mag derselbe an der Basis liegen: so ist auch die Basis der Basis und die übrigen Winkel den übrigen Winkeln gleich. Mag in der vorhergehenden Figur die Seite ab gleich der Seite cf, und ad gleich ce, und erstens der von den gleichen Seiten eingeschlossene Winkel a gleich dem Winkel c sein. Ich behaupte, dass auch die Basis bd der Basis ef, und der Winkel b dem Winkel f, und bda dem cef gleich sei. Denn wir haben zwei Dreiecke agn und clm, deren Winkel g und l rechte, und gan gleich mcl, als Reste von Gleichen bad und ecf. Diese Dreiecke sind also, da auch ga gleich lc ist, congruent. Deshalb lassen die Gleichen ad und ce auch gleiche Reste dn und me. Es ist aber schon bewiesen, dass der Winkel dnh gleich dem Winkel emk sei und dass die Winkel bei h und k rechte sind, also sind auch die Dreiecke dhn und emk congruent, woraus sich als Reste bd gleich ef, und gh gleich kl ergeben; und hieraus folgt, dass die Winkel b und f, und also auch die Reste adb und fec einander gleich sind. Wenn aber anstatt der Seiten ad und ec, die den gleichen Winkeln gegenüberliegenden Basen bd und ef als gleich angenommen werden: so lässt es sich für die anliegenden auf dieselbe Weise beweisen, weil wir wegen der gleichen Aussenwinkel gan und mcl und der rechten g und l und wegen der gleichen Seiten ag und cl wiederum wie früher zwei Dreiecke agn und mcl von beziehlich gleichen Seiten und Winkeln haben. Auf ähnliche Weise sind auch die Theil-Dreiecke dnh und mek congruent, weil h und k rechte, dnh und kme gleiche Winkel und dh und ek als Reste von Quadranten gleiche Seiten sind, woraus dasselbe folgt, was wir behauptet haben. 9.
Im gleichschenkligen sphärischen Dreiecke sind die Winkel an der Basis unter sich gleich. Es sei abc ein Dreieck, dessen beide Seiten ab und ac gleich sind, so behaupte ich, dass die Winkel an der Basis abc und [52] acb gleich sind. 
Zusatz.
Hieraus folgt, dass der Bogen, welcher von dem Scheitel eines gleichschenkligen Dreiecks aus die Basis rechtwinklig trifft, zugleich die Basis und den von den gleichen Seiten eingeschlossenen Winkel halbirt, und umgekehrt, was aus dem eben gegebenen Beweise sich ergiebt. 10.
Irgend welche zwei Dreiecke auf derselben Kugel, haben, wenn ihre Seiten beziehlich einander gleich sind, auch einzeln beziehlich gleiche Winkel. Denn weil drei Abschnitte grösster Kreise auf beiden Seiten Pyramiden bilden, welche ihre Gipfel im Mittelpunkte der Kugel haben, deren Grundflächen aber ebene Dreiecke sind, die von den Sehnen der Bogen der sphärischen Dreiecke eingeschlossen werden, so sind auch diese Pyramiden einander ähnlich und gleich, nach der Definition gleicher und ähnlicher körperlicher Figuren. Der Grund der Aehnlichkeit liegt darin, dass sie Winkel enthalten, die auf welche Weise sie auch genommen werden mögen, einander beziehlich gleich sind; folglich enthalten auch die Dreiecke selbst einander beziehlich gleiche Winkel. Zumal Diejenigen, welche die Aehnlichkeit der Figuren allgemeiner definiren, dieselbe darin finden wollen, dass diese irgendwie übereinstimmend geneigte Ebenen und in denselben einander gleiche Winkel enthalten. Hieraus scheint mir zu erhellen, dass sphärische Dreiecke, welche beziehlich gleiche Seiten haben, ähnlich sind, wie die ebenen. 11.
[53] mögen zuerst die gegebenen Seiten ab und ac denselben einschliessen, und nachdem c zum Pole genommen ist, werde ein Bogen eines grössten Kreises def beschrieben, die Quadranten cad und cbe vollendet, und die Verlängerung von ab möge den Bogen de im Punkte f schneiden. So wird auch in dem Dreiecke adf die Seite ad als Rest des Quadranten durch ac gegeben. Auch wird der Winkel bad durch cab zu zweien Rechten ergänzt, denn es herrscht dieselbe Beziehung und Grösse der Winkel, welche durch das Schneiden grader Linien und der Ebenen gebildet werden, und d ist ein rechter Winkel. Folglich ist nach dem vierten Satze dieses Capitels adf ein Dreieck von gegebenen Winkeln und Seiten. Und wiederum ist der Winkel f des Dreiecks bef gefunden, und e als rechter wegen des Polschnitts, auch die Seite bf, um welche die ganze abf die ab übertrifft. Es wird also nach demselben Lehrsatze auch bef ein Dreieck von gegebenen Winkeln und Seiten sein. Hieraus ergiebt sich durch be auch die gesuchte Seite bc als Rest des Quadranten, und durch ef auch de als Rest des Ganzen def, dies ist der Winkel c, und durch den Winkel ebf auch der gesuchte Scheitelwinkel abc. Wenn anstatt ab, die dem gegebenen Winkel gegenüberliegende cb als gegeben angenommen würde: so ergiebt sich dasselbe. Denn es ergeben sich als Reste der Quadranten ad und be, und nach derselben Beweismethode zwei Dreiecke adf und bef von gegebenen Winkeln und Seiten, wie vorhin; wodurch abc ein Dreieck von gegebenen Seiten und Winkeln wird, was verlangt wurde. 12.
Aber auch wenn irgend welche zwei Winkel nebst irgend einer Seite gegeben sind, ergiebt sich dasselbe. Denn wenn die Construction der vorigen Figur bleibt: so mögen die beiden Winkel acb und bac nebst der, beiden Winkeln anliegenden, Seite ac des Dreiecks abc gegeben sein. Wenn nun einer der beiden Winkel ein rechter wäre: so könnten alle übrigen Stücke nach dem obigen 4ten Satze durch Rechnung gefunden werden. Hiervon wollen wir aber den Fall unterscheiden, wo die Winkel keine rechte sind. Es ist nun ad der Rest des Quadranten cad, und bad der Rest, wenn bac von zweien Rechten abgezogen wird, und d ist ein Rechter. Folglich ergeben sich nach dem 4ten Satze dieses Capitels, die Winkel nebst den Seiten des Dreiecks afd. Durch den gegebenen Winkel c ergiebt sich der Bogen de und der Rest ef; bef ist ein Rechter und f ist beiden Dreiecken gemeinschaftlich. Ebenso ergeben sich nach dem 4ten Satze dieses Capitels be und bf, wodurch sich die beiden andern gesuchten Seiten ab und bc herausstellen. Wenn ferner einer der beiden gegebenen Winkel der gegebenen Seite gegenüberliegt, z. B. wenn der Winkel abc statt acb gegeben wäre, während die übrigen Stücke dieselben bleiben: so stellt sich durch dieselbe Beweismethode das ganze adf als ein Dreieck von gegebenen Winkeln und Seiten heraus, und ebenso das Theil-Dreieck bef, weil im vorigen Satze bewiesen ist, dass aus dem, beiden gemeinsamen, Winkel f, aus dem Winkel [54] ebf, welcher der Scheitelwinkel eines gegebenen ist, und aus dem rechten e, auch alle Seiten desselben sich ergeben. Hieraus folgt denn endlich dasselbe, was wir behauptet haben. Denn Alles dies steht immer in wechselseitigem und stetigem Zusammenhange, wie es der Form der Kugel zukommt. 13.
[55] in demselben Verhältnisse steht auch dg zu db, es ergiebt sich also auch dg in denselben Maasstheilen, in welchen dc gegeben ist, nämlich in 100000. Auch ist der Winkel gdc durch den Bogen cb gegeben. Es ergiebt sich also nach dem 2ten Satze der ebenen Dreiecke die Seite gc in denselben Maasstheilen, in welchen die übrigen Seiten des Dreiecks gfc gegeben sind, folglich haben wir nach dem letzten Satze der ebenen Dreiecke den Winkel gfc, das ist der gesuchte sphärische bac, und dann erhalten wir die übrigen nach dem 11ten Satze der sphärischen Dreiecke. 14.
Wenn ein gegebener Kreisbogen irgend wo geschnitten wird, so dass jeder von beiden Abschnitten kleiner ist, als ein Halbkreis, und das Verhältniss der halben Sehne des doppelten einen Abschnittes zur halben Sehne des doppelten andern gegeben ist: so ergeben sich auch die Bogen der Abschnitte selbst.
15.
In einem Dreiecke, dessen sämmtliche Winkel, auch wenn kein rechter dabei ist, gegeben sind, ergeben sich auch alle Seiten. Es sei abc ein Dreieck, dessen sämmtliche Winkel gegeben sind, deren keiner ein rechter ist. Ich behaupte, dass sich auch sämmtliche Seiten desselben ergeben.
Dies mag vorläufig über die Dreiecke genug sein, insofern es für unsern Zweck nöthig ist. Wenn dies hätte weitläufiger abgehandelt werden sollen: so würde es eines besondern Bandes bedurft haben. Ende des ersten Buches.
[Bearbeiten] Anmerkungen [des Übersetzers]
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.
, also 
, oder 
also 
und da ac = r — z, so ist auch 
, folglich 
, dies ergiebt v²=3z²+2rz-r²; setzt man hierin 
, so wird 
; setzt man denselben Werth in r² + z² so wird 
, mithin v²=r²+z².
. Nun ist ac als Fünfecksseite = 117557, bd als Dreiecksseite = 173205, ab als Sechsecksseite = 100000, 
= 161803, ad als Durchmesser = 200000 : folglich ac · bd =20361469678, ab · cd = 16180343553, und daraus bc = 20905,63063.
, 
, 
, ac²=40000000000,
= 198904,38559,
= 397808771 18, 
= 219122881,
109561440,5, 
, a gleich 
und c gleich 
, so sind die Bogen ac = 80°, bc = 120°, ab = 160°.
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