RE:Abacus 9

9) als Rechenbrett (ἄβαξ, ἀβάκιον). Der Gebrauch des Rechenbrettes war weit verbreitet bei den Völkern des Altertums. Das Wesentliche dabei ist die Anordnung nach Reihen, die durch Striche oder in anderer Weise abgegrenzt sind, sei es in horizontaler, sei es in verticaler Lage. Die verschiedenen Reihen bezeichnen die aufeinanderfolgenden Stufen des zu Grunde gelegten Zahlensystems, z. B. im Decimalsystem die Einer, Zehner u. s. w. Die Zahlen der zu jeder Reihe gehörigen Einheiten werden eingeschrieben oder durch Steinchen oder sonstige Marken bezeichnet. So oft beim Addieren oder Multiplicieren die Einheiten der einen Reihe soweit sich mehren, dass eine Einheit der nächst höheren Reihe erreicht ist, wandert auch die Zahlenbezeichnung von der ersteren Reihe in die letztere. Geschriebene Zahlzeichen werden also in der einen Reihe getilgt und in die andere übertragen, Steinchen oder Marken wurden versetzt (Polyb. V 26, 13. Diog. L. I 59), Stifte, die in Einschnitten hin und her geschoben werden können, sind gültig für die Rechnung, wenn sie nach der Mitte gerückt werden, ungültig aber, so lange sie am Ende ihres Einschnittes stehen. Beim Subtrahieren und Dividieren werden umgekehrt die [6] Einheiten einer höheren Reihe aufgelöst, und die Ergebnisse nach Einheiten der untergeordneten Reihen vermerkt. Um die Einheiten einer jeden Reihe recht übersichtlich darzustellen scheint man schon in ältester Zeit die halbe Summe der Einheiten besonders bezeichnet zu haben. Beim Decimalsystem kam dazu noch die Analogie des Fingerrechnens. Die Finger werden gezählt von 1–4, aber 5 Finger bilden eine neue Einheit, die Hand. Ebenso gehen die Einheitsstriche bei der römischen Zahlenbezeichnung bis zu IIII, dann tritt das Zeichen V ein. Dass eine ähnliche Abkürzung auch bei dem Gebrauch von Steinchen oder Marken eintreten konnte, wird noch gezeigt werden. Im allgemeinen können, wie schon bemerkt, die Reihen des Rechenbrettes sowohl vertical als horizontal geordnet sein, doch bedienten sich Ägypter und Griechen, wie aus Herodot II 36 hervorgeht, lediglich der senkrechten Reihen. Auch die salaminische Rechentafel und die verschiedenen Formen des römischen A. zeigen dieselbe Richtung der Kolumnen. Nach Herodot a. a. O. rechneten die Griechen so, wie sie die Hand heim Schreiben führten, also von links nach rechts (nämlich absteigend von dem Grösseren zum Kleineren), die Ägypter aber umgekehrt. Eine auf der Insel Salamis aufgefundene Rechentafel von Marmor weist links 11 senkrechte Striche auf, von denen drei, etwa in der Mitte ihrer Länge, durch Sternchen in je zwei Abschnitte geteilt sind. Daran schliessen sich, durch einen merklichen Zwischenraum getrennt, rechts 5 senkrechte Striche. Unten sind in einer fortlaufenden Zeile (aber nicht in Correspondenz mit den Strichen) die Zeichen für 1 Talent, für 5000, 1000, 500, 100, 50, 10, 5, 1 Drachme, für 1, ½, ¼ Obolos, endlich für 1 Chalkus (= ⅛ Obolos) beigeschrieben. Dieselbe Zeile, nur verkürzt um die Zeichen für 1 Talent und für 5000 Drachmen, findet sich noch zweimal beigefügt, einmal als Überschrift oberhalb der Striche, das andere Mal als Beischrift längshin an der schmäleren linken Seite. Das uns erhaltene Monument hat schwerlich selbst als Rechentafel gedient, sondern stellt nur das ungefähre Bild einer solchen dar. Eine dem wirklichen Gebrauche dienende Tafel der Art hatte offenbar den Zweck, alle Teile des Talentes bis herab zum Achtelobolos darzustellen, und zwar war die Hauptsache die Bezeichnung der Drachmen (die zu Tausenden, Hunderten, Zehnern und Einern gruppiert waren) und der Teile der Drachme vom Obolos bis zum Chalkus. Denn die Zeichen für diese Grössen sind dreimal beigeschrieben, nur einmal aber die Zeichen für 5000 Drachmen und für 1 Talent. Nun braucht man an der überlieferten Nachbildung nichts weiter zu ändern, als dass man die senkrechten Striche der linken Seite abwechselnd stark und fein zeichnet und die Sterne ein wenig nach rechts zusammendrängt. So gelangt man zur folgenden Gruppierung, die viel Wahrscheinlichkeit für sich hat: [7]

Die stärkeren Striche teilen die Kolumnen ab und zwar sind die linken fünf Kolumnen für Talente und Drachmen bestimmt (a für die Talente, b für die Tausende von Drachmen u. s. w.), die vier rechten Kolumnen aber der Reihe nach für die Obolen, für ½, ¼, ⅛ Obolos. Die feineren Striche in den linken Kolumnen sollten nicht etwa Abteilungen bezeichnen, sondern lediglich die Richtungslinien für die aufzusetzenden Marken angeben. In den rechten Kolumnen fehlen diese Richtungslinien, weil nur in α bis zu 5 Marken, in β bis δ aber je nur 1 Marke vorkommen können. Die Kolumnen c d e weisen in der Mitte einen Stern auf: die Marken unterhalb des Sternes bezeichnen die Einheiten der Kolumnen (also sind z. B. 2 Marken in d unten = 20), die Marken oberhalb des Sternes das Fünffache der Einheit. In Kolumne b fehlt der Stern, weil das Talent 6000 Drachmen hat, mithin in dieser Reihe höchstens 5 Einheiten vorkommen können, die geradeso wie in der Reihe der Obolen (α) durch 5 einzelne Marken bezeichnet wurden (denn hätte man auch hier die Teilung durch den Stern anbringen wollen, so wären ebenfalls 5 Marken, eine für den Fünfer und vier für die Einheiten erforderlich gewesen, mithin die Rechnung nicht vereinfacht worden). Kam man durch Addition von Drachmen auf ein oder mehrere Talente, so wurden diese in der Reihe a verzeichnet; es fehlt aber an jeder Andeutung dafür, dass auch die Einsetzung grösserer Zahlen von Talenten in Aussicht genommen war. Um eine Vorstellung von der Anwendung der Rechentafel zu geben, tragen wir zunächst in unser Schema das mögliche Maximum von Teilen des Talentes, nämlich 5999 Dr. 5⅞ Ob., ein:

[8] Es ist klar, dass wenn hierzu die Marke für ⅛ Obolos gefügt wurde, zunächst die Marken aus Beihe δ zu entfernen waren und 1 Marke in Reihe γ einzulegen war. Das waren nun 2/4, d. i. ½, also war auch Reihe γ frei zu machen und dafür 1 Marke in Reihe β einzulegen. Und so ging es fort, bis endlich auch Reihe b frei wurde und nur in Reihe a 1 Marke = 1 Talent stand. Doch das nur zum vorläufigen Überblick. Wir fügen nun das Beispiel einer Addition hin zu, wie sie im grösseren Geldverkehr täglich vorkommen konnte, und geben unter A, oberhalb der von uns sowohl bei den Fünfern als bei den Einern hinzugefügten punktierten Linien die zuerst eingetragene Summe von 728 Drachmen 2 ¾ Obolen und unterhalb dieser Linien die dazu zu addierende Summe von 5803 Drachmen 4 ⅝ Obolen; hiernach folgt unter B das Bild der vollzogenen Addition, d. i. die Darstellung der Summe von 1 Talent 532 Dr. 1 ⅜ Ob.:

[9] Dass in der That so, wie bei A dargestellt ist, grössere Zahlen von Marken in den einzelnen Reihen eingelegt wurden, geht aus dem salaminischen Monument deutlich hervor, denn die dort nachgebildeten Kolumnen erscheinen im Verhältnis zu ihrer Breite auffällig lang. In ähnlicher Weise sind sicher auch Subtractionen ausgeführt worden. Auf Multiplicationen und Divisionen darf nicht einmal vermutungsweise eingegangen werden, da das Monument so, wie es vorliegt, keinen Anhalt dafür bietet. Ähnliche Zahlzeichen wie auf der salaminischen Rechentafel finden sich auf der Dareiosvase in Neapel (Welcker, Böckh und Ascherson in Archäol. Zeit. 1857, 53. 59ff. Baumeister Denkmäler d. klass. Altert. I 408f. und Taf. VI); doch ist dort lediglich ein Zahltisch, kein A., dargestellt.

Auch der römische A. hatte senkrechte Kolumnen und einen quer durchlaufenden Streifen, der nach oben je eine kürzere und nach unten eine längere Kolumne abteilte. Die Kolumnen waren durch Einschnitte dargestellt, in denen sich bewegliche Stifte mit Knöpfen befanden, und zwar in den oberen Abteilungen je 1 Knopf, in den unteren je 4 Knöpfe mit Ausnahme der Kolumne für die Unzen, welche unten 5 Knöpfe aufwies. Der obere Knopf bedeutete in der Kolumne der Unzen 6 Einheiten, in den übrigen Kolumnen je 5 Einheiten. Links findet sich zuerst die Kolumne für die Millionen (decies centena milia), dann folgen Reihen für die Hunderttausende, Zehntausende u. s. w. bis zu den Einern. Daran schliessen sich die schon erwähnte Kolumne für unciae, d. i. Zwölftel der Einheit, und drei kleinere, nur unterhalb des Querstreifens angebrachte Kolumnen für die Brüche 1/24, 1/48, 1/36 (dargestellt durch zwei Knöpfe der letzten Reihe), 1/72 (dargestellt durch einen Knopf der letzten Reihe). Eine abweichende, ebenfalls überlieferte Form, wo die Brüche von 1/24 bis 1/72 in einer Kolumne vereinigt sind, ist als fehlerhaft zu bezeichnen. Um nun in jeder Kolumne eine gewisse Zahl von Einheiten als gültig für die Rehnung einzusetzen, wurden die entsprechenden Knöpfe nach dem durchgehenden Querstreifen, also nach der Mitte hin, geschoben; um also z. B. 7 Millionen in Rechnung zu setzen, brachte man in der ersten Kolumne den oberen Knopf (= 5mal decies centena milia) und zwei untere Knöpfe (= 2mal dec. cent. mil.) nach der Mitte. Dieselbe Gruppe bedeutete in der zweiten Kolumne 7mal 100000, in der dritten 7mal 10000 und so fort bis zu 7 Einheiten. In der achten Kolumne aber, die für die Unzen bestimmt war, wurde die Zahl 7 durch den oberen und einen unteren Knopf bezeichnet. Es ist klar, dass dieser A. nur für die einfachsten Ausrechnunen ausreichte. Für den gewöhnlichen Bedarf der Haushaltungen und kleinen Warenhandlungen, auch für den Elementarunterricht mag er gute Dienste geleistet haben; aber mehrfache Additionen, Multiplicationen mit mehrstelligen Zahlen oder Divisionen durch solche liessen sich mit diessem Rechenbrett nur so umständlich ausführen, dass dabei keine Erleichterung stattfand. Weit schneller und sicherer ging die Ausrechnung vor sich, wenn der schwerfällige Querstrich wegfiel und die Zahlen in die einzelnen Kolumnen eingeschrieben [10] wurden, was, wie bei geometrischen Zeichnungen (Pers. s. I 131. Sen. epist. 74, 26. Cic. de d. n. II 48) auf einer mit feinem Sand bestreuten Tafel geschehen konnte (s. oben Nr. 1), oder wenn beschriebene Marken in ausreichender Menge vorhanden waren, die aus freier Hand in die Kolumnen eingesetzt wurden. Nach dem Verfasser des Anhangs zur Geometrie des Boethius, der allerdings erst im Mittelalter schrieb, aber ältere gute Quellen benutzte, nannte man diese Rechentafel mensa Pythagorea oder geometricalis (Boethii de instit. arithm. etc. 393. 396ff. Friedlein). Die Marken hiessen apices oder charakteres. Nun müssen wir aus der mittelalterlichen Quelle alles ausscheiden, was mit der Bezeichnung der Marken durch indische Ziffern (die in der That handschriftlich überliefert sind) zusammenhängt; denn das ist dem Altertume fremd, selbst wenn man (mit Cantor) annimmt, dass die Kenntnis jener Zahlzeichen unmittelbar aus Indien nach Alexandreia gedrungen, nicht erst später durch die Araber vermittelt worden ist. Allein der angebliche Boethius teilt noch zwei andere Bezeichnungen der Marken mit, die eine durch die gewöhnlichen (römischen) Ziffern, die andere durch die ersten Buchstaben des Alphabets, womit wohl die griechischen Zahlzeichen α bis θ gemeint sind. Genug, die beschriebenen Marken galten wie die Finger beim Rechnen (vgl. digiti a. a. O. 398), nur mit dem Unterschied, dass bloss die Zahlen bis 9 erforderlich waren, da die Summe von zehn Fingern allemal durch die Einheit der nächst höheren Kolumne ersetzt wurde (vgl. ebenda die Bezeichnung articulus = 10 digiti). Es lag mithin in diesem Systeme der Fortschritt, dass überhaupt nur 9 Zahlzeichen in Anwendung kamen, um jede beliebige (ganze) Zahl, mochte sie auch noch so hoch sein, auszudrücken, sowie dass die Änderungen der Werte durch Multiplication und Division Zug um Zug in die Kolumnen, welche den decimalen Stellenwert bezeichneten, eingetragen werden konnten. Das Endresultat wurde dann ebenso durch die gewöhnlichen römischen Zahlzeichen ausgedrückt, wie schon die Aufgabe in solchen Zahlzeichen gestellt, beziehentlich durch Zahlwörter ausgesprochen worden war. Vergl. Cantor Vorles. über Gesch. d. Mathem. I 43–45. 109–112. 448f. 493–496. 705. Gow History of Greek mathematics, Cambridge 1884, 29ff. Böckh Gesamm. kl. Schr. VI 452ff. Marquardt-Mau Privatleben der Römer I² 99–104. Grasberger Erziehung und Unterricht im klass. Altert. II 326ff.