Seite:Über die Möglichkeit einer elektromagnetischen Begründung der Mechanik.djvu/11

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Diese Ausdrücke genügen den Maxwell’schen Gleichungen, wenn

\frac{d}{dt}=-v\frac{\partial}{\partial x}

ist, und führen zu der Gleichung

\left(1-A^{2}v^{2}\right)\frac{\partial^{2}U}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}U}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}U}{\partial z^{2}}=0.

Ist aber v von t abhängig, so haben wir

\frac{d}{dt}=\frac{\partial}{\partial t}-v\frac{\partial}{\partial x}.

Soll unser Wert für x allgemein gelten, so muss also

\frac{\partial X}{\partial t} klein gegen v\frac{\partial X}{\partial x} sein.

Nun ist

\frac{\partial X}{\partial t}=\frac{\partial^{2}}{\partial x\partial t}U\left(1-A^{2}v^{2}\right),

also muss

\frac{\partial}{\partial t}\left[\frac{\partial U}{\partial x}\left(1-A^{2}v^{2}\right)\right] klein gegen v\frac{\partial^{2}U}{\partial x^{2}}\left(1-A^{2}v^{2}\right),

oder

A^{2}x\frac{\partial v}{\partial t} klein gegen 1-A^{2}v^{2},

sein.

Ebenso ergeben die Werte von Y, Z und M, N, dass

\left[2x^{2}-\left(1-A^{2}v^{2}\right)\varrho^{2}\right]A^{2}\frac{\partial v}{\partial t} klein gegen 3x\left(1-A^{2}v^{2}\right)

und

\left(1-A^{2}v^{2}\right)\left[\left(x^{2}+\left(1-A^{2}v^{2}\right)\varrho^{2}\right)\right]\frac{\partial v}{\partial t}

-\left[2x^{2}-\left(1-A^{2}v^{2}\right)\varrho^{2}\right]A^{2}v^{2}\frac{\partial v}{\partial t}

klein gegen 3x\left(1-A^{2}v^{2}\right)v^{2} sein muss.

Diese Bedingung ist erfüllt, wenn die Dimensionen des Raumes, in welchem die Energie wesentlich in Betracht kommt, genügend klein sind. Denn die zu vernachlässigenden Glieder enthalten alle die Lineardimensionen in einer höheren Potenz. Doch darf dv/dt nicht zu gross und die absolute Geschwindigkeit v nicht zu klein sein.

Wenn diese Vernachlässigung zulässig ist, so können wir für die Aenderung der Bewegungsenergie setzen

\frac{d}{dt}\left(\frac{m}{2}v^{2}\right)=mv\frac{dv}{dt}=K\frac{dr}{dt}dt=m\frac{dr}{dt}\frac{d^{2}r}{dt^{2}},