Seite:Über die Möglichkeit einer elektromagnetischen Begründung der Mechanik.djvu/8

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Nun darf naturgemäss \mathfrak{E}, die Energie des ruhenden Ellipsoides, die Geschwindigkeit v nicht enthalten.

Es ist also, da e unveränderlich ist, a variabel

2a=\frac{e^{2}\arcsin Av\sqrt{1-A^{2}v^{2}}}{Av\mathfrak{E}},

E=\mathfrak{E}\frac{Av\left(1+\frac{1}{2}A^{2}v^{2}\right)}{\sqrt{1-A^{2}v^{2}}\arcsin Av}

oder durch die Reihenentwickelung

(7) E=\mathfrak{E}\left(1+\frac{2}{3}A^{2}v^{2}+\frac{16}{45}A^{4}v^{4}\dots\right).

Die durch die Bewegung hervorgebrachte Energievermehrung ist also in erster Näherung

\frac{2}{3}\mathfrak{E}A^{2}v^{2}=\frac{m}{2}v^{2},

also die träge Masse m=\frac{4}{3}\mathfrak{E}A^{2}.

Hiernach wäre die durch Trägheit definirte Masse nur bei kleinen Geschwindigkeiten constant und würde mit grösser werdender Geschwindigkeit zunehmen. Da die Trägheit der Anzahl der Quanten, aus denen sich ein Körper zusammensetzt, proportional ist, ebenso die von diesem Körper ausgehende Gravitation, so folgt, dass die durch die Trägheit definirte Masse der durch die Gravitation bestimmten proportional sein muss. Lassen wir einen Körper, dessen Masse m=\frac{4}{3}\mathfrak{E}A^{2} ist, bis in die Entfernung r von einem Körper von der Masse M anziehen, so ist der elektromagnetische Energievorrat der Gravitation um den Betrag \epsilon\frac{4}{3}\mathfrak{E}A^{2}M/r vermindert, wo \epsilon die Gravitationsconstante bezeichnet.

Diese Energie ist zur Herstellung der Geschwindigkeit v in Bewegungsenergie verwandelt. Wir haben also

\frac{2}{3}\mathfrak{E}A^{2}v^{2}\left(1+\frac{8}{15}A^{2}v^{2}\dots\right)=\epsilon\frac{\frac{4}{3}\mathfrak{E}A^{2}M}{r},

oder, da v = dr/dt ist

(8) \frac{1}{2}\left(\frac{dr}{dt}\right)^{2}=\frac{\epsilon M}{r}\left(1-\frac{8}{15}A^{2}\left(\frac{dr}{dt}\right)^{2}\right).

Hierfür lässt sich schreiben

(9) \frac{1}{2}\left(\frac{dr}{dt}\right)^{2}\left(1+\frac{16}{15}A^{2}\frac{\epsilon M}{r}\right)=\frac{\epsilon M}{r}.