Seite:AbrahamElektromagnetismus1905.djvu/211

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der dort gegebenen Transformation (105) gestaltet sich hier besonders einfach. Das bewegte System \Sigma ist ein Heaviside-Ellipsoid; geht man durch Streckung parallel der Bewegungsrichtung im Verhältnis \varkappa^{-1} zum ruhenden System \Sigma_{0} über, so erhält man eine Kugel vom Radius a. Die Energie dieser Kugel ist, im Falle der Flächenladung,

(124) U_{0}=\int\frac{dv_{0}}{8\pi}\mathfrak{E}_{0}^{2}=\frac{e^{2}}{2a}.

Die Lagrangesche Funktion, welche nach (104b) im Falle gleichförmiger Bewegung der Kräftefunktion entgegengesetzt gleich ist, wird, gemäß (106d),

(124a) L=-\varkappa U_{0}=-\varkappa\frac{e^{2}}{2a}.

Ferner folgt aus (102) und (106)

(124b) \Phi=\frac{1}{\varkappa}\varphi_{0},

und daher aus (101d) und (105)

(124c) \begin{cases}
\mathfrak{E}_{y}=-\frac{\partial\Phi}{\partial y}=-\frac{1}{\varkappa}\frac{\partial\varphi_{0}}{\partial y_{0}}=\frac{1}{\varkappa}\mathfrak{E}_{0y},\\
\\\mathfrak{E}_{z}=-\frac{\partial\Phi}{\partial z}=-\frac{1}{\varkappa}\frac{\partial\varphi_{0}}{\partial z_{0}}=\frac{1}{\varkappa}\mathfrak{E}_{0z}.\end{cases}

Hieraus und aus (101f) bestimmt sich die x-Komponente des Vektors \mathfrak{g}, welcher die Dichte der elektromagnetischen Bewegungsgröße anzeigt:

\mathfrak{g}_{x}=\frac{1}{4\pi c}\left\{ \mathfrak{E}_{y}\mathfrak{H}_{z}-\mathfrak{E}_{z}\mathfrak{H}_{y}\right\} =\frac{\beta}{4\pi c}\left\{ \mathfrak{E}_{y}^{2}+\mathfrak{E}_{z}^{2}\right\} =\frac{\beta}{4\pi c\varkappa^{2}}\left\{ \mathfrak{E}_{0y}^{2}+\mathfrak{E}_{0z}^{2}\right\}.

Durch Integration über das Feld des Systemes \Sigma, dessen Volumelemente denen des ruhenden Systemes \Sigma_{0} durch (105) zugeordnet, und daher im Verhältnis

dv:dv_{0}=\varkappa

verkleinert sind, folgt

(124d) \mathfrak{G}_{x}=\int dv\mathfrak{g}_{x}=\frac{\beta}{4\pi c\varkappa}\cdot\int dv_{0}\left\{ \mathfrak{E}_{0y}^{2}+\mathfrak{E}_{0z}^{2}\right\}.