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Grundgleichung (VI), welche verlangt, daß die resultierenden elektromagnetischen Kräfte des äußeren und des vom Elektron selbst erregten Feldes einander im Sinne der Mechanik starrer Körper das Gleichgewicht halten. Er nimmt indessen das Elektron nicht als „starr“ an, sondern läßt eine Formänderung desselben zu. Im Ruhezustande soll das Elektron eine Kugel vom Radius a sein; bei der Bewegung aber soll es sich parallel der Bewegungsrichtung im Verhältnis

\varkappa=\sqrt{1-\beta^{2}}

kontrahieren. Das gleichförmig translatorisch bewegte Elektron soll demnach ein Heaviside-Ellipsoid sein.

Wir wollen die Lagrangesche Funktion sowie die elektromagnetische Energie und Bewegungsgröße eines solchen Lorentzschen Elektrons berechnen. Das elektromagnetische Feld bestimmt sich aus den Ansätzen des § 18; die Anwendung der dort gegebenen Transformation (105) gestaltet sich hier besonders einfach. Das bewegte System \Sigma ist ein Heaviside-Ellipsoid; geht man durch Streckung parallel der Bewegungsrichtung im Verhältnis \varkappa^{-1} zum ruhenden System \Sigma_{0} über, so erhält man eine Kugel vom Radius a. Die Energie dieser Kugel ist, im Falle der Flächenladung,

(124) U_{0}=\int\frac{dv_{0}}{8\pi}\mathfrak{E}_{0}^{2}=\frac{e^{2}}{2a}.

Die Lagrangesche Funktion, welche nach (104b) im Falle gleichförmiger Bewegung der Kräftefunktion entgegengesetzt gleich ist, wird, gemäß (106d),

(124a) L=-\varkappa U_{0}=-\varkappa\frac{e^{2}}{2a}.

Ferner folgt aus (102) und (106)

(124b) \Phi=\frac{1}{\varkappa}\varphi_{0},

und daher aus (101d) und (105)

(124c) \begin{cases}
\mathfrak{E}_{y}=-\frac{\partial\Phi}{\partial y}=-\frac{1}{\varkappa}\frac{\partial\varphi_{0}}{\partial y_{0}}=\frac{1}{\varkappa}\mathfrak{E}_{0y},\\
\\
\mathfrak{E}_{z}=-\frac{\partial\Phi}{\partial z}=-\frac{1}{\varkappa}\frac{\partial\varphi_{0}}{\partial z_{0}}=\frac{1}{\varkappa}\mathfrak{E}_{0z}.
\end{cases}