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Systemes \Sigma, falls die Dichte der Elektrizität gemäß (257), und falls die Feldstärken gemäß (256) transformiert werden.

Wir wollen zunächst auf die Bedeutung der Relation (257) genauer eingehen. Die Vergleichung mit (250) ergibt für das Verhältnis der elektrischen Dichten in einander entsprechenden Punkten von \Sigma und \Sigma':

(258) \frac{\varrho'}{\varrho}=\frac{dl'}{dl}.

Andererseits ist aus dem im vorigen Paragraphen bereits erwähnten Umstände, daß die Funktionaldeterminante der Lorentzschen Transformation gleich 1 ist:

\left|\begin{array}{ccccccc}
\dfrac{\partial l'}{\partial l} &  & \dfrac{\partial l'}{\partial x} &  & \dfrac{\partial l'}{\partial y} &  & \dfrac{\partial l'}{\partial z}\\
\\
\dfrac{\partial x'}{\partial l} &  & \dfrac{\partial x'}{\partial x} &  & \dfrac{\partial x'}{\partial y} &  & \dfrac{\partial x'}{\partial z}\\
\\
\dfrac{\partial y'}{\partial l} &  & \dfrac{\partial y'}{\partial x} &  & \dfrac{\partial y'}{\partial y} &  & \dfrac{\partial y'}{\partial z}\\
\\
\dfrac{\partial z'}{\partial l} &  & \dfrac{\partial z'}{\partial x} &  & \dfrac{\partial z'}{\partial y} &  & \dfrac{\partial z'}{\partial z}
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccccccc}
\dfrac{1}{\varkappa} &  & -\dfrac{\beta}{\varkappa} &  & 0 &  & 0\\
\\
-\dfrac{\beta}{\varkappa} &  & \dfrac{1}{\varkappa} &  & 0 &  & 0\\
\\
0 &  & 0 &  & 1 &  & 0\\
\\
0 &  & 0 &  & 0 &  & 1
\end{array}\right|=1,

die bemerkenswerte Folgerung zu ziehen: Einander entsprechende Bereiche in den vierdimensionalen Mannigfaltigkeiten der Größen (x\ y\ z\ l) und (x'\ y'\ z'\ l') haben die gleiche Ausdehnung:

dx'\ dy'\ dz'\ dl'=dx\ dy\ dz\ dl.

Demnach ergibt (258):

(258a) \varrho'\ dx'\ dy'\ dz'=\varrho\ dx\ dy\ dz,

d. h. einander entsprechende Raumelemente in \Sigma und \Sigma', ersteres zu einer gegebenen allgemeinen Zeit t, letzteres zu der entsprechenden Zeit t', haben die gleiche elektrische Ladung. Wir können demnach das Resultat der obigen Entwickelungen so zusammenfassen: Geht man von dem Systeme \Sigma durch eine Lorentzsche Transformation (247) zum Systeme \Sigma' über, indem man die elektrischen Ladungen entsprechender Volumelemente zu entsprechenden Zeiten einander gleich setzt, so bleiben die Feldgleichungen