Seite:AbrahamElektromagnetismus1914.djvu/197

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Lichtgeschwindigkeit, wo das Elektron in eine Kreisscheibe übergeht, wird \varkappa gleich Null, mithin die innere Energie

(128d) E_{1}=E_{0}-\frac{e^{2}}{6a}.

Wir können daher (128c) auch schreiben

(129) E=E_{1}+\frac{e^{2}\varkappa}{6a}.

Diese Energie nicht elektromagnetischer Art muß man dem Lorentzschen Elektron zuschreiben, wenn man das Energieprinzip aufrecht zu erhalten wünscht.

Das Lorentzsche Elektron ist ein spezielles Heaviside-Ellipsoid, mit den Halbachsen a\varkappa,\ a,\ a

\left\{ \varkappa=\sqrt{1-\beta^{2}}\right\},

wo a von \beta unabhängig ist.

Es liegt nahe, ein allgemeineres Heaviside-Ellipsoid zu betrachten, indem man a als Funktion von \beta auffaßt; auch für ein solches sind durch (124a, e, g) Lagrangesche Funktion Impuls und Energie gegeben:

L=-\varkappa\frac{e^{2}}{2a},\quad |\mathfrak{G}|=\frac{2}{3}\frac{e^{2}}{ac^{2}}\frac{|\mathfrak{v}|}{\varkappa},\quad W=\frac{e^{2}}{2a\varkappa}\left(1+\frac{1}{3}\beta^{2}\right).

Man kann nun folgende Frage aufwerfen: Ist es möglich, a als Funktion der Geschwindigkeit so zu bestimmen, daß die Beziehung gilt

|\mathfrak{G}|=\frac{dL}{d|\mathfrak{v}|},

daß mithin aus Impuls und Energie der gleiche Wert der longitudinalen Masse folgt:

m_{s}=\frac{d|\mathfrak{G}|}{d|\mathfrak{v}|}=\frac{1}{|\mathfrak{v}|}\frac{dW}{d|\mathfrak{v}|},

ohne daß man wie beim Lorentzschen Elektron eine Energieform nicht elektromagnetischer Art heranzuziehen hat?

Indem wir den Betrag des elektromagnetischen Impulses dem Differentialquotienten der Lagrangeschen Funktion nach der Geschwindigkeit gleichsetzen, erhalten wir

\frac{1}{a}\frac{da}{d\beta}=\frac{1}{3}\frac{\beta}{\varkappa^{2}}=-\frac{1}{3\varkappa}\frac{d\varkappa}{d\beta},