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Geschwindigkeit, \tfrac{1}{4} des gesamten elektromagnetischen Impulses sein, damit für die Ruhmasse der Wert (131d) herauskommt

Da in W und \mathfrak{G} alle beteiligten Energiearten mitgerechnet sind, so gilt für die longitudinale Masse, außer (115), auch (115b). Mithin sind W und |\mathfrak{G}| durch die Bedingung (111b) verknüpft, die identisch erfüllt wird, indem man Bewegungsgröße und Energie aus der Lagrangeschen Funktion ableitet:

(132) |\mathfrak{G}|=\frac{dL}{d|\mathfrak{v}|},\ W=|\mathfrak{v}|\frac{dL}{d|\mathfrak{v}|}-L

Führt man diese Ausdrücke in (131b) ein:

|\mathfrak{G}|=\frac{|\mathfrak{v}|}{c^{2}}W

und setzt

\beta=\frac{|\mathfrak{v}|}{c}

so folgt

\left(1-\beta^{2}\right)\frac{dL}{d\beta}=-\beta L

Die Integration dieser Differentialgleichung ergibt

L=L_{0}\sqrt{1-\beta^{2}}

wobei, gemäß (132) und (131d), zu setzen ist:

L_{0}=-W_{0}=-m_{0}c^{2}

Demnach folgt als Ausdruck der Lagrangeschen Funktion

(132a) L=-m_{0}c^{2}\sqrt{1-\beta^{2}}

Indem man L in die Lagrangeschen Gleichungen (116) einsetzt, erhält man die für quasistationäre Translationsbewegungen gültigen Bewegungsgleichungen des Systemes.

Aus (132) folgen die Beträge von Impuls und Energie:

|\mathfrak{G}|=\frac{1}{c}\frac{dL}{d\beta}=\frac{m_{0}c\beta}{\sqrt{1-\beta^{2}}}
(132b) W=\beta\frac{dL}{d\beta}-L=m_{0}c^{2}\left(1-\beta^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}

Der Impulsvektor (131b) ist also

(132c) \mathfrak{G}=m_{0}\mathfrak{v}\left(1-\beta^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}