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§ 47. Die Lorentzsche Transformation.

Wir verstehen unter \Sigma und \Sigma' zwei ausgezeichnete, gleichförmig gegeneinander bewegte Bezugssysteme, unter x,\ y,\ z,\ l Koordinaten und Lichtweg im ersten, unter x',\ y',\ z',\ l' Koordinaten und Lichtweg im zweiten System. Zwischen diesen Größen mögen die in § 45 auf induktivem Wege gewonnenen Beziehungen (243a, b) gelten:

(247) \varkappa l'=l-\beta x,\quad \varkappa x'=x-\beta l,\quad y'=y,\quad z'=z.

Da hier gesetzt ist

\varkappa=\sqrt{1-\beta^{2}},

so folgt durch Umkehrung der Formeln (247):

(247a) \varkappa l=l'+\beta x',\quad \varkappa x=x'+\beta l',\quad y=y',\quad z=z'.

Die durch (247), bzw. durch (247a) gegebene Transformation der Koordinaten und des Lichtweges nennt man eine „Lorentzsche Transformation“. Wir beschränken uns auf den Fall \beta<1, da für \beta>1 die Transformation zu imaginären Werten führen würde.

Aus (247) folgt, wenn wir x,\ y,\ z,\ l als Unabhängige betrachten:

(247b) \frac{\partial l'}{\partial l}=\frac{1}{\varkappa},\quad \frac{\partial l'}{\partial x}=-\frac{\beta}{\varkappa},\quad \frac{\partial x'}{\partial l}=-\frac{\beta}{\varkappa},\quad \frac{\partial x'}{\partial x}=\frac{1}{\varkappa}.

Entsprechend folgt aus (247a), wenn x',\ y',\ z',\ l' Unabhängige sind:

(247c) \frac{\partial l}{\partial l'}=\frac{1}{\varkappa},\quad \frac{\partial l}{\partial x'}=\frac{\beta}{\varkappa},\quad \frac{\partial x}{\partial l'}=\frac{\beta}{\varkappa},\quad \frac{\partial x}{\partial x'}=\frac{1}{\varkappa}.

Aus jedem dieser Gleichungssysteme kann man schließen, daß die Determinante der Lorentzschen Transformation gleich 1 ist.

Wir denken uns jetzt einen — materiellen oder elektrischen — Punkt, der sich in vorgegebener Weise bewegt. In dem Systeme \Sigma wird seine Bewegung dargestellt, indem seine Koordinaten x,\ y,\ z als Funktionen der Zeit t und damit des vom Lichte in der Zeit t zurückgelegten Weges ct=l angegeben werden:

(248) x=x(l),\quad y=y(l),\quad z=z(l).