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§ 47. Die Lorentzsche Transformation.

Wir verstehen unter \Sigma und \Sigma' zwei ausgezeichnete, gleichförmig gegeneinander bewegte Bezugssysteme, unter x, y, z, l Koordinaten und Lichtweg im ersten, unter x', y', z', l' Koordinaten und Lichtweg im zweiten System. Zwischen diesen Größen mögen die in § 45 auf induktivem Wege gewonnenen Beziehungen (243a, b) gelten:

(247) \varkappa l'=l-\beta x,\ \varkappa x'=x-\beta l,\ y'=y,\ z'=z.

Da hier gesetzt ist

\varkappa=\sqrt{1-\beta^{2}}

so folgt durch Umkehrung der Formeln (247):

(247a) \varkappa l=l'+\beta x',\ \varkappa x=x'+\beta l',\ y=y',\ z=z'.

Die durch (247), bzw. durch (247a) gegebene Transformation der Koordinaten und des Lichtweges nennt man eine „Lorentzsche Transformation“. Wir beschränken uns auf den Fall \beta<1, da für \beta>1 die Transformation zu imaginären Werten führen würde.

Aus (247) folgt, wenn wir x, y, z, l als Unabhängige betrachten:

(247b) \frac{\partial l'}{\partial l}=\frac{1}{\varkappa},\ \frac{\partial l'}{\partial x}=-\frac{\beta}{\varkappa},\ \frac{\partial x'}{\partial l}=-\frac{\beta}{\varkappa},\ \frac{\partial x'}{\partial x}=\frac{1}{\varkappa},

Entsprechend folgt aus (247a), wenn x', y', z', l' Unabhängige sind:

(247c) \frac{\partial l}{\partial l'}=\frac{1}{\varkappa},\ \frac{\partial l}{\partial x'}=\frac{\beta}{\varkappa},\ \frac{\partial x}{\partial l'}=\frac{\beta}{\varkappa},\ \frac{\partial x}{\partial x'}=\frac{1}{\varkappa},


Aus jedem dieser Gleichungssysteme kann man schließen, daß die Determinante der Lorentzschen Transformation gleich 1 ist

Wir denken uns jetzt einen — materiellen oder elektrischen — Punkt, der sich in vorgegebener Weise bewegt. In dem Systeme \Sigma wird seine Bewegung dargestellt, indem seine Koordinaten x, y, z als Funktionen der Zeit t und damit des vom Lichte in der Zeit t zurückgelegten Weges ct=l angegeben werden:

(248) x=x(l),\ y=y(l),\ z=z(l).