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Ist \mathfrak{v} der Geschwindigkeitsvektor des Punktes, so werden die Geschwindigkeitskomponenten, wenn man sie auf die Lichtgeschwindigkeit als Einheit bezieht:

(248a) \mathfrak{q}_{x}=\frac{\mathfrak{v}_{x}}{c}=\frac{dx}{dl},\quad \mathfrak{q}_{y}=\frac{\mathfrak{v}_{y}}{c}=\frac{dy}{dl},\quad \mathfrak{q}_{z}=\frac{\mathfrak{v}_{z}}{c}=\frac{dz}{dl}.

Man gehe nun durch die Lorentzsche Transformation (247) zu dem Systeme \Sigma' über; die durch

(249) x'=x'(l'),\quad y'=y'(l'),\quad z'=z'(l')

gegebene Bewegung in \Sigma' mag der durch (248) gegebenen Bewegung in \Sigma entsprechen, mithin die Geschwindigkeitskomponenten in \Sigma', bezogen auf die Lichtgeschwindigkeit c' in \Sigma' als Einheit:

(249a) \mathfrak{q}'_{x}=\frac{\mathfrak{v}'_{x}}{c'}=\frac{dx'}{dl'},\quad \mathfrak{q}'_{y}=\frac{\mathfrak{v}'_{y}}{c'}=\frac{dy'}{dl'},\quad \mathfrak{q}'_{z}=\frac{\mathfrak{v}'_{z}}{c'}=\frac{dz'}{dl'}

den durch (248a) gegebenen Geschwindigkeitskomponenten in \Sigma. Es ist die Aufgabe, die Regeln festzustellen, nach denen die Geschwindigkeiten in \Sigma und \Sigma' vermöge der Lorentzschen Transformation einander zuzuordnen sind.

Aus (247) folgt, wenn gemäß (248) x als Funktion von l betrachtet wird:

(250) \varkappa\dfrac{dl'}{dl}=1-\beta\dfrac{dx}{dl}=1-\beta\mathfrak{q}{}_{x},


\varkappa\dfrac{dx'}{dl}=\dfrac{dx}{dl}-\beta=\mathfrak{q}{}_{x}-\beta.

Durch Division der beiden letzten Gleichungen ergibt sich

(250a) \mathfrak{q}'_{x}=\frac{dx'}{dl'}=\frac{\mathfrak{q}{}_{x}-\beta}{1-\beta\mathfrak{q}{}_{x}}.

In entsprechender Weise erhält man für die y-Komponente von \mathfrak{q'}

\mathfrak{q}'_{y}=\frac{dy'}{dl'}=\frac{dy}{dl}\frac{dl}{dl'}=\mathfrak{q}{}_{y}\frac{dl}{dl'}

aus Gl. (250) den Ausdruck

(250b) \mathfrak{q}'_{y}=\frac{\varkappa\mathfrak{q}{}_{y}}{1-\beta\mathfrak{q}{}_{x}},

und für die z-Komponente

(250c) \mathfrak{q}'_{z}=\frac{\varkappa\mathfrak{q}{}_{z}}{1-\beta\mathfrak{q}{}_{x}}.