Seite:AbrahamElektromagnetismus1914.djvu/386

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mithin

(253) \dot{\mathfrak{q}}'_{x}=\frac{\dot{\mathfrak{q}}{}_{x}\varkappa^{3}}{\left(1-\beta\mathfrak{q}_{x}\right)^{3}},

oder

(253a) \dot{\mathfrak{q}}'_{x}=\frac{\dot{\mathfrak{q}}{}_{x}\varkappa^{3}}{\left(1-\beta\mathfrak{q}_{x}\right)^{2}}+\frac{\mathfrak{q}_{x}\beta\dot{\mathfrak{q}}{}_{x}\varkappa^{3}}{\left(1-\beta\mathfrak{q}_{x}\right)^{3}}.

Ähnlich erhalten wir aus (250b) durch Differentiation

\dot{\mathfrak{q}}'_{y}=\frac{dl}{dl'}\frac{d}{dl}\left\{ \frac{\varkappa\mathfrak{q}_{y}}{1-\beta\mathfrak{q}_{x}}\right\} =\frac{\varkappa}{1-\beta\mathfrak{q}_{x}}\frac{d}{dl}\left\{ \frac{\varkappa\mathfrak{q}_{y}}{1-\beta\mathfrak{q}_{x}}\right\},

folglich

(253b) \dot{\mathfrak{q}}'_{y}=\frac{\dot{\mathfrak{q}}{}_{y}\varkappa^{2}}{\left(1-\beta\mathfrak{q}_{x}\right)^{2}}+\frac{\mathfrak{q}_{y}\beta\dot{\mathfrak{q}}{}_{x}\varkappa^{2}}{\left(1-\beta\mathfrak{q}_{x}\right)^{3}},

und entsprechend für die z-Komponente

(253c) \dot{\mathfrak{q}}'_{z}=\frac{\dot{\mathfrak{q}}{}_{z}\varkappa^{2}}{\left(1-\beta\mathfrak{q}_{x}\right)^{2}}+\frac{\mathfrak{q}_{z}\beta\dot{\mathfrak{q}}{}_{x}\varkappa^{2}}{\left(1-\beta\mathfrak{q}_{x}\right)^{3}}.

Die Formeln (253a, b, c) können wir noch einfacher schreiben, wenn wir zur Abkürzung den Vektor einfügen

(254) \dot{\mathfrak{p}}=\frac{\dot{\mathfrak{q}}\varkappa^{3}}{\left(1-\beta\mathfrak{q}_{x}\right)^{2}}+\frac{\mathfrak{q}\beta\dot{\mathfrak{q}}{}_{x}\varkappa^{3}}{\left(1-\beta\mathfrak{q}_{x}\right)^{3}};

dann lauten sie nämlich

(254a) \dot{\mathfrak{q}}'_{x}=\dot{\mathfrak{p}}_{x},\quad \varkappa\dot{\mathfrak{q}}'_{y}=\dot{\mathfrak{p}}_{y},\quad \varkappa\dot{\mathfrak{q}}'_{z}=\dot{\mathfrak{p}}_{z}.

Betrachten wir insbesondere einen — materiellen oder elektrischen — Punkt, der sich gerade mit der Geschwindigkeit des Systems bewegt, aber nicht mit konstanter, sondern mit variabler Geschwindigkeit. Die Regeln, nach denen die Beschleunigungskomponenten aus dem System \Sigma in das System \Sigma' umzurechnen sind, gehen aus (253) und (253b, c) hervor, indem gesetzt wird

\mathfrak{q}_{x}=\beta,\quad \mathfrak{q}_{y}=0,\quad \mathfrak{q}_{z}=0;

dann folgt:

(255) \dot{\mathfrak{q}}'_{x}=\dot{\mathfrak{q}}{}_{x}\varkappa^{-3},\quad \dot{\mathfrak{q}}'_{y}=\dot{\mathfrak{q}}{}_{y}\varkappa^{-2},\quad \dot{\mathfrak{q}}'_{z}=\mathfrak{q}_{z}\varkappa^{-2}.

Diese Ergebnisse werden weiterhin von Nutzen sein.