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§ 48. Die Gruppeneigenschaft der Feldgleichungen der Elektronentheorie.

Die im vorigen Paragraphen erörterte Lorentzsche Transformation steht, wie wir gesehen haben, in enger Beziehung zu den Gesetzen der Lichtfortpflanzung im Raume. Da diese Gesetze, der Theorie der elektromagnetischen Strahlung zufolge, sich aus den Feldgleichungen der Maxwellschen Theorie ableiten, so kann man erwarten, die Lorentzsche Transformation mit diesen Feldgleichungen verknüpft zu finden. In der Tat ist H. A. Lorentz von den Feldgleichungen seiner Theorie aus zu jener Transformation gelangt. Wir verstehen, indem wir uns der Schreibweise des § 28 bedienen, unter \mathfrak{e} und \mathfrak{h} die elektromagnetischen Vektoren, die in den Feldgleichungen der Elektronentheorie auftreten; diese lauten im System \Sigma, wenn man ct=l,\ \mathfrak{v}=c\mathfrak{q} setzt:

(I) \mathrm{curl}\ \mathfrak{h}-\frac{\partial\mathfrak{e}}{\partial l}=4\pi\varrho\mathfrak{q},
(II) \mathrm{curl}\ \mathfrak{e}+\frac{\partial\mathfrak{h}}{\partial l}=0,
(III) \mathrm{div}\ \mathfrak{e}=4\pi\varrho,
(VI) \mathrm{div}\ \mathfrak{h}=0.

Welche Form nehmen diese Feldgleichungen an, wenn man statt der Unabhängigen x,\ y,\ z,\ l durch die Lorentzsche Transformation (274) die neuen Unabhängigen x',\ y',\ z',\ l' einführt?

Wir transformieren zunächst die 4 partiellen Differentialgleichungen (III) und (I), indem wir die Regeln (247b) beachten; sie ergeben dann:

\begin{array}{rl}
\dfrac{\partial\mathfrak{e}_{x}}{\partial x'}\dfrac{1}{\varkappa}-\dfrac{\partial\mathfrak{e}_{x}}{\partial l'}\dfrac{\beta}{\varkappa}+\dfrac{\partial\mathfrak{e}_{y}}{\partial y'}+\dfrac{\partial\mathfrak{e}_{z}}{\partial z'} & =4\pi\varrho,\\
\\
\dfrac{\partial\mathfrak{h}_{z}}{\partial y'}-\dfrac{\partial\mathfrak{h}_{y}}{\partial z'}-\dfrac{\partial\mathfrak{e}_{x}}{\partial l'}\dfrac{1}{\varkappa}+\dfrac{\partial\mathfrak{e}_{x}}{\partial x'}\dfrac{\beta}{\varkappa} & =4\pi\varrho\mathfrak{q}_{x},\\
\\
\dfrac{\partial\mathfrak{h}_{x}}{\partial z'}-\dfrac{\partial\mathfrak{h}_{z}}{\partial x'}\dfrac{1}{\varkappa}+\dfrac{\partial\mathfrak{h}_{z}}{\partial l'}\dfrac{\beta}{\varkappa}-\dfrac{\partial\mathfrak{e}_{y}}{\partial l'}\dfrac{1}{\varkappa}+\dfrac{\partial\mathfrak{e}_{y}}{\partial x'}\dfrac{\beta}{\varkappa} & =4\pi\varrho\mathfrak{q}_{y},\\
\\
\dfrac{\partial\mathfrak{h}_{y}}{\partial x'}\dfrac{1}{\varkappa}-\dfrac{\partial\mathfrak{h}_{y}}{\partial l'}\dfrac{\beta}{\varkappa}-\dfrac{\partial\mathfrak{h}_{x}}{\partial y'}-\dfrac{\partial\mathfrak{e}_{z}}{\partial l'}\dfrac{1}{\varkappa}+\dfrac{\partial\mathfrak{e}_{z}}{\partial x'}\dfrac{\beta}{\varkappa} & =4\pi\varrho\mathfrak{q}_{z}.
\end{array}