Seite:AbrahamElektromagnetismus1914.djvu/389

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an Stelle von \mathfrak{e}',\ -\mathfrak{e}' an Stelle von \mathfrak{h}' tritt, so lauten offenbar die transformierten Feldgleichungen (IV) und (II):

(IV’) \mathrm{div}'\ \mathfrak{h}'=0.
(II’) \mathrm{curl}'\ \mathfrak{e}'+\frac{\partial\mathfrak{h}'}{\partial l'}=0.

Es haben also die auf das System \Sigma' transformierten Feldgleichungen die gleiche Form, wie die Feldgleichungen des Systemes \Sigma, falls die Dichte der Elektrizität gemäß (257), und falls die Feldstärken gemäß (256) transformiert werden. Die Feldgleichungen der Elektronen sind in diesem Sinne invariant gegenüber der Gruppe der Lorentzschen Transformationen.

Wir wollen zunächst auf die Bedeutung der Relation (257) genauer eingehen. Die Vergleichung mit (250) ergibt für das Verhältnis der elektrischen Dichten in einander entsprechenden Punkten von \Sigma und \Sigma':

(258) \frac{\varrho'}{\varrho}=\frac{dl'}{dl}.

Andererseits ist aus dem im vorigen Paragraphen bereits erwähnten Umstande, daß die Funktionaldeterminante der Lorentzschen Transformation gleich ist:

\left|\begin{array}{ccccccc}
\dfrac{\partial l'}{\partial l} &  & \dfrac{\partial l'}{\partial x} &  & \dfrac{\partial l'}{\partial y} &  & \dfrac{\partial l'}{\partial z}\\
\\
\dfrac{\partial x'}{\partial l} &  & \dfrac{\partial x'}{\partial x} &  & \dfrac{\partial x'}{\partial y} &  & \dfrac{\partial x'}{\partial z}\\
\\
\dfrac{\partial y'}{\partial l} &  & \dfrac{\partial y'}{\partial x} &  & \dfrac{\partial y'}{\partial y} &  & \dfrac{\partial y'}{\partial z}\\
\\
\dfrac{\partial z'}{\partial l} &  & \dfrac{\partial z'}{\partial x} &  & \dfrac{\partial z'}{\partial y} &  & \dfrac{\partial z'}{\partial z}
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccccccc}
\dfrac{1}{\varkappa} &  & -\dfrac{\beta}{\varkappa} &  & 0 &  & 0\\
\\
-\dfrac{\beta}{\varkappa} &  & \dfrac{1}{\varkappa} &  & 0 &  & 0\\
\\
0 &  & 0 &  & 1 &  & 0\\
\\
0 &  & 0 &  & 0 &  & 1
\end{array}\right|=1,

die bemerkenswerte Folgerung zu ziehen: Einander entsprechende Bereiche in den vierdimensionalen Mannigfaltigkeiten der Größen (x\,y\,z\,l) und (x'\,y'\,z'\,l') haben die gleiche Ausdehnung:

(258a) dx'\,dy'\,dz'\,dl'=dx\,dy\,dz\,dl.

Demnach ergibt (258):

\varrho'\,dx'\,dy'\,dz'=\varrho\,dx\,dy\,dz,