Seite:AbrahamMinkowski1.djvu/16

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Fügt man die Minkowski’schen Verknüpfungsgleichungen zwischen den elektromagnetischen Vektoren in unser System ein, so wird die Impulsdichte im bewegten Körper gleich dem durch c^{2} geteilten Energiestrome.

Aus (40) und (21) folgt, mit Rücksicht auf (37)

(40a) c\mathfrak{g=[EH]-q(qW]}

wobei sich der Vektor

(40b) \mathfrak{W=[DB]}-c\mathfrak{g}

bestimmt aus

(40c) \mathfrak{W-q(qW)=[DB]-[EH]}

Lassen wir die x-Achse in die Richtung von \mathfrak{q} weisen, und setzen

(40d) k^{2}=1-|\mathfrak{q}|^{2}

so werden die Komponenten von \mathfrak{W}

(41) \begin{cases}
\mathfrak{W}_{x}=k^{-2}\left\{ [\mathfrak{DB}]_{x}-[\mathfrak{EH}]_{x}\right\} ,\\
\mathfrak{W}_{y}=[\mathfrak{DB}]_{y}-[\mathfrak{EH}]_{y},\\
\mathfrak{W}_{z}=[\mathfrak{DB}]_{z}-[\mathfrak{EH}]_{z},\end{cases}

und es folgt aus (40a),

(42) \begin{cases}
c\mathfrak{g}_{x}=\frac{\mathfrak{S}_{x}}{c}=k^{-2}[\mathfrak{EH}]_{x}-|\mathfrak{q}|^{2}k^{-2}[\mathfrak{DB}]_{x},\\
\\c\mathfrak{g}_{y}=\frac{\mathfrak{S}_{y}}{c}=[\mathfrak{EH}]_{y},\\
\\c\mathfrak{g}_{z}=\frac{\mathfrak{S}_{z}}{c}=[\mathfrak{EH}]_{z}.\end{cases}

Die obige Ableitung hat eine Lücke; es fehlt der Nachweis, dass die als geltend angenommene Gleichung (39) wirklich erfüllt ist. Um ihn zu führen, berechnen wir den Vektor

\begin{array}{ll}
\mathfrak{R}' & =\mathfrak{[DE']+[BH']=\left[E'[qH]\right]-\left[H'[qE]\right]}\\
 & =\mathfrak{q(E'H)-q(EH')+E(qH')-H(qE')}\end{array}

Da man hat

\begin{array}{c}
\mathfrak{E'H-EH'=q\left\{ [DE']+[BH']\right\} =(qR')},\\
\mathfrak{E(qH')-H(qE')=E(qH)-H(qE)=\left[q[EH]\right]},\end{array}

so wird mit Rücksicht auf (40a)

\mathfrak{R'-q(qR')}=[\mathfrak{q}c\mathfrak{g}]

Man kann, weil hiernach die in die Richtung des Vektors \mathfrak{q} fallende Komponente von \mathfrak{R}' gleich Null ist, auch schreiben

(43) \mathfrak{R'=[DE']+[BH'}]=[\mathfrak{q}c\mathfrak{g}]

Damit ist die Bedingung (18a) als giltig dargetan, und gleichzeitig die Lücke in der obigen Ableitung des Wertes von \mathfrak{g} ausgefüllt.

Aus (19) folgt der Wert der Energiedichte

(44) \psi=\frac{1}{2}\mathfrak{E'D}+\frac{1}{2}\mathfrak{H'B}+\mathfrak{q}c\mathfrak{g}
Empfohlene Zitierweise:

Max Abraham: Zur Elektrodynamik bewegter Körper. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 28, Palermo 1909, Seite 16. Digitale Volltext-Ausgabe in Wikisource, URL: http://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:AbrahamMinkowski1.djvu/16&oldid=1644937 (Version vom 4.09.2011)