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§ 12. Die ponderomotorische Kraft.

Da nunmehr für jede der vorliegenden Theorieen die relativen Spannungen, sowie die Impulsdichte, in ihrer Abhängigkeit von den elektromagnetischen Vektoren bestimmt sind, so ergeben sich aus den Gleichungen (8) die Komponenten der ponderomotorischen Kraft. Nach (Va) ist

(56) \begin{cases}
X'_{x}=\frac{1}{2}\left\{ \mathfrak{E}'_{x}\mathfrak{D}_{x}-\mathfrak{E}'_{y}\mathfrak{D}_{y}-\mathfrak{E}'_{z}\mathfrak{D}_{z}\right\} +\frac{1}{2}\left\{ \mathfrak{H}'_{x}\mathfrak{B}_{x}-\mathfrak{H}'_{y}\mathfrak{B}_{y}-\mathfrak{H}'_{z}\mathfrak{B}_{z}\right\} ,\\
\\X'_{y}=\mathfrak{E}'_{x}\mathfrak{D}_{y}+\mathfrak{H}'_{x}\mathfrak{B}_{y},\\
\\X'_{z}=\mathfrak{E}'_{x}\mathfrak{D}_{z}+\mathfrak{H}'_{x}\mathfrak{B}_{z}.\end{cases}

Hieraus folgt

(57) \begin{cases}
\frac{\partial X'_{x}}{\partial x}+\frac{\partial X'_{y}}{\partial y}+\frac{\partial X'_{z}}{\partial z}=\mathfrak{E}'_{x}\mathrm{div}\mathfrak{D}+\mathfrak{H}'_{x}\mathrm{div}\mathfrak{B}\\
\\\qquad-\mathfrak{D}_{y}\mathrm{curl}_{z}\mathfrak{E}'+\mathfrak{D}_{z}\mathrm{curl}_{y}\mathfrak{E}'-\mathfrak{B}_{y}\mathrm{curl}_{z}\mathfrak{H}'+\mathfrak{B}_{z}\mathrm{curl}_{z}\mathfrak{H}'\\
\\\qquad-\frac{1}{2}\left\{ \mathfrak{E}'\frac{\partial\mathfrak{D}}{\partial x}-\mathfrak{D}\frac{\partial\mathfrak{E'}}{\partial x}+\mathfrak{H}'\frac{\partial\mathfrak{B}}{\partial x}-\mathfrak{B}\frac{\partial\mathfrak{H'}}{\partial x}\right\} .\end{cases}

Betrachten wir die letzte Zeile, so springt die Analogie zur linken Seite von (54) in die Augen; die Ausdrücke unterscheiden sich nur dadurch, dass dort nach der Zeit, hier nach einer Koordinate differenziiert wird.

Da nun der Gedankengang, der zur Relation (54) geführt hat, von der Bedeutung der unabhängigen Variablen nicht berührt wird, so gilt

(57a) \frac{1}{2}\left\{ \mathfrak{E}'\frac{\partial\mathfrak{D}}{\partial x}-\mathfrak{D}\frac{\partial\mathfrak{E'}}{\partial x}+\mathfrak{H}'\frac{\partial\mathfrak{B}}{\partial x}-\mathfrak{B}\frac{\partial\mathfrak{H'}}{\partial x}\right\} =\mathfrak{g}\frac{\partial\mathfrak{w}}{\partial x}+\zeta\frac{\partial\epsilon}{\partial x}+\eta\frac{\partial\mu}{\partial x}

Die vektorielle Verallgemeinerung von (57) ergiebt als den von den relativen Spannungen herrührenden Kraftanteil

(58) \begin{cases}
\mathfrak{K}_{1}=\mathfrak{E}'\mathrm{div}\mathfrak{D}+\mathfrak{H}'\mathrm{div}\mathfrak{B}-[\mathfrak{D}\mathrm{curl}\mathfrak{E'}]-[\mathfrak{B}\mathrm{curl}\mathfrak{H'}]\\
\quad-(\mathfrak{g}\nabla)\mathfrak{w}-[\mathfrak{g}\mathrm{curl}\mathfrak{w}]-\zeta\nabla\epsilon-\eta\nabla\mu.\end{cases}

Hierzu tritt, gemäss (8), der von dem elektromagnetischen Impulse herrührende Anteil

(58a) \mathfrak{K}_{2}=-\frac{\delta\mathfrak{g}}{\delta t}

Die in (58) auftretenden Vektorprodukte wollen wir mit Hilfe der beiden ersten Hauptgleichungen des § 4 umformen in

\begin{array}{l}
-[\mathfrak{D}\mathrm{curl}\mathfrak{E'}]=\frac{1}{c}\left[\mathfrak{D}\frac{\partial'\mathfrak{B}}{\partial t}\right]\\
\\-[\mathfrak{B}\mathrm{curl}\mathfrak{H'}]=\frac{1}{c}[\mathfrak{JB}]+\frac{1}{c}\left[\frac{\partial'\mathfrak{D}}{\partial t}\mathfrak{B}\right]\end{array}
Empfohlene Zitierweise:

Max Abraham: Zur Elektrodynamik bewegter Körper. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 28, Palermo 1909, Seite 23. Digitale Volltext-Ausgabe in Wikisource, URL: http://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:AbrahamMinkowski1.djvu/23&oldid=1644945 (Version vom 4.09.2011)