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§ 5. Bestimmung der Impulsdichte und der Energiedichte.


Die verschiedenen Theorieen der Elektrodynamik bewegter Körper unterscheiden sich durch die Beziehungen, die zwischen den vier in den Hauptgleichungen auftretenden Vektoren \mathfrak{E'H'DB} angenommen werden. Bevor wir jedoch zur Discussion spezieller Theorieen übergehen, wollen wir die allgemeinen Entwickelungen etwas weiter führen; dabei soll über die Form jener Beziehungen nur die recht allgemeine Voraussetzung gemacht werden: Die Vektoren \mathfrak{E'H'DB} sollen durch Gleichungen verknüpft sein, welche zwar den Geschwindigkeitsvektor \mathfrak{w} selbst, aber nicht irgend welche Ableitungen desselben nach der Zeit oder nach den Koordinaten enthalten.

Die Hauptgleichung (IV) ergiebt:

\mathrm{div}\mathfrak{S}'=c\{\mathfrak{H}'\mathrm{curl}\mathfrak{E}'-\mathfrak{E}'\mathrm{curl}\mathfrak{H}'\}

dies wird, mit Rücksicht auf die beiden ersten Hauptgleichungen:

\mathfrak{JE}'+\mathrm{div}\mathfrak{S}'=-\mathfrak{E}'\frac{\partial'\mathfrak{D}}{\partial t}-\mathfrak{H}'\frac{\partial'\mathfrak{B}}{\partial t}

Aus der Hauptgleichung (III), und der Relation (14) folgt:

(14a) \frac{\delta\psi}{\delta t}-\mathfrak{w}\frac{\delta\mathfrak{g}}{\delta t}-P'=\mathfrak{E}'\frac{\partial'\mathfrak{D}}{\partial t}+\mathfrak{H}'\frac{\partial'\mathfrak{B}}{\partial t}

eine Bedingung, die man, gemäss (4), auch schreiben kann

(14b) \frac{\delta\psi}{\delta t}-\mathfrak{w}\frac{\delta\mathfrak{g}}{\delta t}-P'=\mathfrak{E}'\frac{\delta\mathfrak{D}}{\delta t}+\mathfrak{H}'\frac{\delta\mathfrak{B}}{\delta t}-\mathfrak{E}'(\mathfrak{D}\nabla)\mathfrak{w}-\mathfrak{H}'(\mathfrak{B}\nabla)\mathfrak{w}

und die endlich, durch Heranziehung der Hauptgleichung (V), übergeht in:

(15) \frac{\delta\psi}{\delta t}-\mathfrak{w}\frac{\delta\mathfrak{g}}{\delta t}=\mathfrak{E}'\frac{\delta\mathfrak{D}}{\delta t}+\mathfrak{H}'\frac{\delta\mathfrak{B}}{\delta t}-\frac{1}{2}[\mathfrak{E'D+H'B}\}\mathrm{div}\mathfrak{w}

Diese Beziehung dient zur Ermittelung der Dichten der Energie und der Bewegungsgrösse in ihrer Abhängigkeit von den elektromagnetischen Vektoren.

Mit Rücksicht auf (2a) lautet sie

(15a) \dot{\psi}=\mathfrak{w\dot{g}}+(\psi-\mathfrak{wg})\mathrm{div}\mathfrak{w}=\mathfrak{E'\dot{D}+H'\dot{B}}+\frac{1}{2}[\mathfrak{E'D+H'B}\}\mathrm{div}\mathfrak{w}

Da die nunmehr verwandte Art der Zeitdifferentiation den gewöhnlichen Rechnungsregeln genügt, so folgt, wenn abkürzungsweise gesetzt wird

(16) \psi-\mathfrak{wg}=\varphi
(17) \dot{\varphi}+\mathfrak{g\dot{w}}-\mathfrak{E'\dot{D}-H'\dot{B}}+\left\{ \varphi-\frac{1}{2}\mathfrak{E'D}-\frac{1}{2}\mathfrak{H'B}\right\} \mathrm{div}\mathfrak{w}=0

Wie im Eingange dieses Paragraphen erwähnt wurde, sollen die Beziehungen, welche \mathfrak{D,B} mit \mathfrak{E'H'} verknüpfen, zwar den Geschwindigkeitsvektor \mathfrak{w}, aber nicht dessen Differentialquotienten nach Zeit und Ort enthalten. Dasselbe wird von den Ausdrücken

Empfohlene Zitierweise:

Max Abraham: Zur Elektrodynamik bewegter Körper. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 28, Palermo 1909, Seite 9. Digitale Volltext-Ausgabe in Wikisource, URL: http://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:AbrahamMinkowski1.djvu/9&oldid=1644927 (Version vom 4.09.2011)