Seite:Das Relativitätsprinzip und seine Anwendung.djvu/4

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Die mit Hilfe der Eigenzeit \tau gebildeten Ausdrücke

\frac{d}{d\tau}\frac{dx}{d\tau},\ \frac{d}{d\tau}\frac{dy}{d\tau},\ \frac{d}{d\tau}\frac{dz}{d\tau}{,}

lineare homogene Funktionen der gewöhnlichen Beschleunigungskomponenten, bezeichnen wir als Komponenten der „Minkowskischen Beschleunigung“. Wir beschreiben die Bewegung eines Punktes durch die Gleichungen:

m\frac{d}{d\tau}\frac{dx}{d\tau}=\mathfrak{K}_{x}\text{, usw.,}

wo m eine Konstante ist, die wir die „Minkowskische Masse“ nennen. Den Vektor \mathfrak{K} bezeichnen wir als „Minkowskische Kraft“.

Es lassen sich dann leicht die Transformationsformeln für diese Beschleunigung und Kraft ableiten; m lassen wir ungeändert. So hat man

\mathfrak{K}'_{x}=\mathfrak{K}_{x},\ \mathfrak{K}'_{y}=\mathfrak{K}_{y},\ \mathfrak{K}'_{z}=a\mathfrak{K}_{z}-\frac{b}{c}(\mathfrak{v}\cdot\mathfrak{K}).

Das Wesentliche ist nun folgendes. Das Relativitätsprinzip erfordert, daß, wenn bei einer wirklichen Erscheinung die Minkowskischen Kräfte in bestimmter Weise von den Koordinaten, Geschwindigkeiten usw. im einen Bezugssystem abhängen, die transformierten Minkowskischen Kräfte im andern Bezugssystem in derselben Weise von den transformierten Koordinaten, Geschwindigkeiten usw. abhängen. Das ist eine besondere Eigenschaft, die alle Kräfte der Natur haben müssen, wenn das Relativitätsprinzip gelten soll. Setzen wir das voraus, so kann man die auf bewegte Körper wirkenden Kräfte berechnen, wenn man sie für den Fall der Ruhe kennt. Bewegt sich z. B. ein Elektron von der Ladung e, so denken wir uns ein Bezugssystem, in dem es momentan ruht. Dann wirkt auf das Elektron in diesem System die Minkowskische Kraft

\mathfrak{K}=e\mathfrak{d};

hieraus folgt durch Anwendung der Transformationsgleichungen für \mathfrak{K} und \mathfrak{d}, daß die in einem beliebigen Koordinatensystem auf das mit der Geschwindigkeit \mathfrak{v} bewegte Elektron wirkende Minkowskische Kraft

\mathfrak{K}=e\frac{\mathfrak{d}+\frac{1}{c}[\mathfrak{v}\cdot\mathfrak{h}]}{\sqrt{1-\frac{\mathfrak{v}^{2}}{c^{2}}}}

beträgt. Diese Formel stimmt mit dem gewöhnlichen Ansatz der Elektronentheorie nicht überein infolge des Auftretens des Nenners. Der Unterschied rührt daher, daß man gewöhnlich nicht mit unserer Minkowskischen, sondern mit der „Newtonschen Kraft“ \mathfrak{F} operiert, und wir sehen, daß für ein Elektron diese beiden Kräfte folgendermaßen zusammenhängen:

\mathfrak{F}=\mathfrak{K}\sqrt{1-\frac{\mathfrak{v}^{2}}{c^{2}}}.

Man wird annehmen, daß diese Beziehung für beliebige materielle Punkte gilt.