Seite:Die räumliche und zeitliche Ausbreitung der Gravitation.djvu/10

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Man multipliziere die Gleichung für \frac{d\omega}{dt} mit dt und setze im zweiten und im dritten Gliede der rechten Seite

dt=\frac{r^{2}}{L}d\vartheta=\frac{a^{\frac{3}{2}}(1-\epsilon^{2})^{\frac{3}{2}}}{\mu^{\frac{1}{2}}(1+\epsilon\cos\alpha)^{2}}(d\alpha+d\omega).

Durch passende Ordnung und Division ergiebt sich

d\omega=\frac{\frac{6\mu}{a(1-\epsilon^{2})c^{2}}(1+\epsilon\cos\alpha)\cos^{2}\alpha-\frac{3\epsilon\mu}{a(1-\epsilon^{2})c^{2}}\sin^{2}\alpha\cos\alpha}{1+\frac{6\mu}{a(1-\epsilon^{2})c^{2}}(1+\epsilon\cos\alpha)-\frac{6\mu}{a(1-\epsilon^{2})c^{2}}(1+\epsilon\cos\alpha)\cos^{2}\alpha+\frac{3\epsilon\mu}{a(1-\epsilon^{2})c^{2}}\sin^{2}\alpha\cos\alpha}d\alpha.

Dividiert man Zähler und Nenner durch

\frac{3\mu}{a(1-\epsilon^{2})c^{2}}=\frac{\gamma}{c^{2}},

ordnet man nach steigenden Potenzen von cos α, und setzt man zur Abkürzung

-\epsilon\ \cos\alpha + 2\ \cos^{2}\alpha + 3\epsilon\ \cos^{3}\alpha =v,

3\epsilon\ \cos\alpha - 2\ \cos^{2}\alpha - 3\epsilon\ \cos^{3}\alpha =w,

so wird

d\omega=\frac{v}{\frac{c^{2}}{\gamma}+2+w}d\alpha.

Angenähert erhält man

d\omega=\left[\frac{v}{\frac{c^{2}}{\gamma}+2}-\frac{vw}{\left(\frac{c^{2}}{\gamma}+2\right)^{2}}\right]d\alpha.

Für die Perihelbewegung ψ während eines Umlaufes ergiebt sich daher

\psi=\overset{2\pi}{\underset{0}{\int}}\left[\frac{v}{\frac{c^{2}}{\gamma}+2}-\frac{vw}{\left(\frac{c^{2}}{\gamma}+2\right)^{2}}\right]d\alpha

oder, weil

vw = -3\epsilon^{2}\ \cos^{2}\alpha + 8\epsilon\ \cos^{3}\alpha + 4(3\epsilon^{2}-1)\ \cos^{4}\alpha - 12 \epsilon\ \cos^{5}\alpha

-9\epsilon^{2}\ \cos^{6}\alpha,

\psi=\frac{2\pi}{\frac{c^{2}}{\gamma}+2}+\frac{3\pi(8-\epsilon^{2})}{8\left(\frac{c^{2}}{\gamma}+2\right)^{2}}.

Daraus folgt

\frac{c^{2}}{\gamma}+2=\frac{\pi}{\psi}+\sqrt{\frac{\pi^{2}}{\psi^{2}}+\frac{3\pi(8-\epsilon^{2})}{8\psi}}

Beachtet man, dass ψ sehr klein ist, so sieht man, dass das zweite Glied unter der Wurzel gegen das erste verschwindet. Der für gewählte Näherungsausdruck ist danach noch zu genau, d. h. w hätte von vornherein vernachlässigt werden dürfen. Mithin wird