Seite:Die räumliche und zeitliche Ausbreitung der Gravitation.djvu/3

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\overset{+\infty}{\underset{-\infty}{\int\int\int}}\left(\frac{df}{dx}h+\frac{df}{dy}k+\frac{df}{dz}l\right)\varphi\left(\sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}}\right)dh\ dk\ dl=0,

\overset{+\infty}{\underset{-\infty}{\int\int\int}}\left(\frac{df}{dx}\frac{df}{dy}hk+\frac{df}{dx}\frac{df}{dz}hl+\frac{df}{dy}\frac{df}{dz}kl\right)\varphi\left(\sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}}\right)dh\ dk\ dl=0,

\overset{+\infty}{\underset{-\infty}{\int\int\int}}\varphi\left(\sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}}\right)h^{2}dh\ dk\ dl=\overset{+\infty}{\underset{-\infty}{\int\int\int}}\varphi\left(\sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}}\right)k^{2}dh\ dk\ dl

=\overset{+\infty}{\underset{-\infty}{\int\int\int}}\varphi\left(\sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}}\right)l^{2}dh\ dk\ dl.

Es bleibt, wenn man

\frac{\overset{+\infty}{\underset{-\infty}{\int\int\int}}\varphi\left(\sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}}\right)h^{2}dh\ dk\ dl}{\overset{+\infty}{\underset{-\infty}{\int\int\int}}\varphi\left(\sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}}\right)dh\ dk\ dl}=n

setzt,

V=V+\frac{n}{2}\left(\frac{d^{2}V}{dx^{2}}+\frac{d^{2}V}{dy^{2}}+\frac{d^{2}V}{dz^{2}}\right),

also

\frac{d^{2}V}{dx^{2}}+\frac{d^{2}V}{dy^{2}}+\frac{d^{2}V}{dz^{2}}=0.

Aus dieser Gleichung folgt auf bekannte Weise, wenn μ eine Konstante bezeichnet und r der Abstand der Massen ist,

V=\frac{\mu}{r}.

Hieraus ergiebt sich das Newtonsche Gravitationsgesetz. Denn V=\frac{\mu}{r} gilt auch noch in dem Augenblick, da man die Massen loslässt. Die Zunahme von Vm stimmt mit der erscheinenden lebendigen Kraft dT überein, und darum enthält T in jenem Augenblick ebenso wenig wie V die Änderung von r in der Zeit. Folglich hat man nach den allgemeinen Lagrangeschen Bewegungsgleichungen, indem man an Stelle der äusseren auf die Masse m wirkenden Kraft den negativen Wert der von ihr ausgeübten Kraft setzt, für die Beschleunigung von m

\frac{1}{m}\frac{dT}{dr}=\frac{dV}{dr}=-\frac{\mu}{r^{2}}.

Das Newtonsche Gesetz schreibt die Potentiale vor, die die Massen in jeder Lage erreichen, wenn ihnen die zu deren Zustandekommen erforderliche Zeit zur Verfügung steht. Diese Bedingung ist immer erfüllt, sobald die Massen in ihrer gegenseitigen Entfernung festgehalten werden. Sie hört auf bei eingetretener freier, einander entgegen gerichteter Bewegung, falls jene Zeit eine endlich bemessene Grösse hat. Zwei Umstände sind dabei von Einfluss. Erstens muss