Seite:Die räumliche und zeitliche Ausbreitung der Gravitation.djvu/7

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\frac{x}{r}=\cos\vartheta und \frac{y}{r}=\sin\vartheta

in die Gleichungen für

\frac{d^{2}x}{dt^{2}} und \frac{d^{2}y}{dt^{2}}

ein, so lauten diese

d\frac{dx}{dt}=-\frac{\mu}{L}(1-F)\cos\vartheta\ d\vartheta,

d\frac{dy}{dt}=-\frac{\mu}{L}(1-F)\sin\vartheta\ d\vartheta,

Mit den Konstanten M und N wird durch Integration

\frac{dx}{dt}=-\frac{\mu}{L}\sin\vartheta+\left(M+\int\frac{\mu}{L}F\cos\vartheta\ d\vartheta\right),

\frac{dy}{dt}=\frac{\mu}{L}\cos\vartheta+\left(N+\int\frac{\mu}{L}F\sin\vartheta\ d\vartheta\right).

Da x\frac{dy}{dt}-y\frac{dx}{dt}=L ist, findet man aus den beiden letzten Gleichungen

r=\frac{L}{\frac{\mu}{L}-\left(M+\int\frac{\mu}{L}F\cos\vartheta\ d\vartheta\right)\sin\vartheta+\left(N+\int\frac{\mu}{L}F\sin\vartheta\ d\vartheta\right)\cos\vartheta}.

Die Integrale im Nenner nehmen nach und nach andere und andere Werte an, falls F nicht verschwindet. Setzt man voraus, man wisse ihren Wert zu einer bestimmten Zeit, so kann man sagen, dass der Planet sich zu dieser Zeit auf einer durch jene Gleichung beschriebenen Ellipse befinde. Ist deren halbe grosse Axe a, ihre halbe kleine Axe b, die numerische Exzentricität ε und der Winkel von a mit der positiven Abscissenaxe ω, und löst man die Gleichungen für

r = a(1-\epsilon),\ r = a(1+\epsilon)

und r=\frac{b^{2}}{a} nach

L,\ M+\int\frac{\mu}{L}F\cos\vartheta\ d\vartheta und N+\int\frac{\mu}{L}F\sin\vartheta\ d\vartheta

auf, so erhält man

L=b\sqrt{\frac{\mu}{a}},

M+\int\frac{\mu}{L}F\cos\vartheta\ d\vartheta=-\frac{\epsilon}{b}\sqrt{a\mu}\sin\omega,

N+\int\frac{\mu}{L}F\sin\vartheta\ d\vartheta=\frac{\epsilon}{b}\sqrt{a\mu}\cos\omega.

Man sieht, indem man die Unveränderlichkeit von \frac{b}{\sqrt{a}} beachtet, dass sich die Bewegung des Planeten so deuten lässt, wie wenn er