Seite:Die räumliche und zeitliche Ausbreitung der Gravitation.djvu/8

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auf einer Ellipse einhergehe, deren ε und ω sich stetig verändern. Nur für den Fall, dass F=0 ist, hört diese Veränderung auf. Sie ist es also, wodurch das Vorhandensein eines endlichen Wertes von c in Wirkung kommt. Man erhält für F, sobald man die beiden letzten Gleichungen nach {\vartheta} differenziert, den Wert von L einsetzt und die eine durch

\cos\vartheta\cdot\frac{\sqrt{a\mu}}{b},

die andere durch

\sin\vartheta\cdot\frac{\sqrt{a\mu}}{b},

dividiert,

F=-\frac{\sin\omega}{\cos\vartheta}\frac{d\epsilon}{dt}\frac{dt}{d\vartheta}-\frac{\epsilon\cos\omega}{\cos\vartheta}\frac{d\omega}{dt}\frac{dt}{d\vartheta},

F=\frac{\cos\omega}{\sin\vartheta}\frac{d\epsilon}{dt}\frac{dt}{d\vartheta}-\frac{\epsilon\sin\omega}{\sin\vartheta}\frac{d\omega}{dt}\frac{dt}{d\vartheta}.

Durch Gleichsetzung beider Ausdrücke ergiebt sich mit \alpha=\vartheta-\omega

\frac{d\epsilon}{dt}=-\epsilon\ \operatorname{tang}\ \alpha\frac{d\omega}{dt},

woraus rückwärts folgt

F=-\frac{\epsilon}{\cos\alpha}\frac{dt}{d\vartheta}\frac{d\omega}{dt}.

Um mittelst dieses Wertes eine nur Beobachtungsgrössen enthaltende Gleichung für \frac{d\omega}{dt} zu gewinnen, stelle man F durch die Ableitungen von r nach t dar. Man hat, wieder mit Berücksichtigung der Unveränderlichkeit von \frac{b}{\sqrt{a}}, ausserdem mit Benutzung der Formeln

\frac{d\epsilon}{dt}=-\epsilon\ tang\ \alpha\frac{d\omega}{dt},

r^{2}\frac{d\vartheta}{dt}=L und L=b\frac{\sqrt{\mu}}{\sqrt{a}}:

r=\frac{\frac{b^{2}}{a}}{1+\epsilon\cos\alpha},

\begin{array}{ll}
\frac{dr}{dt} & =-\frac{ar^{2}}{b^{2}}\left(\cos\alpha\frac{d\epsilon}{dt}-\epsilon\sin\alpha\frac{d\vartheta}{dt}+\epsilon\sin\alpha\frac{d\omega}{dt}\right)\\
\\ & =-\frac{ar^{2}}{b^{2}}\left(-\epsilon\cos\alpha\ \operatorname{tang}\ \alpha\frac{d\omega}{dt}-\epsilon\sin\alpha\frac{d\vartheta}{dt}+\epsilon\sin\alpha\frac{d\omega}{dt}\right)\\
\\ & =\frac{a\epsilon r^{2}}{b^{2}}\sin\alpha\frac{d\theta}{dt}\\
\\ & =\frac{\epsilon\sqrt{a\mu}}{b}\sin\alpha,\end{array}