Seite:Die räumliche und zeitliche Ausbreitung der Gravitation.djvu/9

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\begin{array}{ll}
\frac{d^{2}r}{dt^{2}} & =\frac{\sqrt{a\mu}}{b}\sin\alpha\frac{d\epsilon}{dt}+\frac{\epsilon\sqrt{a\mu}}{b}\cos\alpha\frac{d\vartheta}{dt}-\frac{\epsilon\sqrt{a\mu}}{b}\cos\alpha\frac{d\omega}{dt}\\
\\ & =-\frac{\epsilon\sqrt{a\mu}}{b}\sin\alpha\ \operatorname{tang}\ \alpha\frac{d\omega}{dt}+\frac{\epsilon\sqrt{a\mu}}{b}\cos\alpha\ \frac{d\vartheta}{dt}-\frac{\epsilon\sqrt{a\mu}}{b}\cos\alpha\ \frac{d\omega}{dt}\\
\\ & =-\frac{\epsilon\sqrt{a\mu}}{b}\sin\alpha\ \operatorname{tang}\ \alpha\frac{d\omega}{dt}+\frac{\epsilon\mu}{r^{2}}\cos\alpha-\frac{\epsilon\sqrt{a\mu}}{b}\cos\alpha\ \frac{d\omega}{dt}\\
\\ & =-\frac{\epsilon\sqrt{a\mu}}{b\cos\alpha}\frac{d\omega}{dt}+\frac{\epsilon\mu}{r^{2}}\cos\alpha.\end{array}.

Also ist

F=\frac{3\epsilon^{2}a\mu}{b^{2}c^{2}}\sin^{2}\alpha+\frac{6\epsilon r\sqrt{a\mu}}{bc^{2}\cos\alpha}\frac{d\omega}{dt}-\frac{6\epsilon\mu}{r}\cos\alpha.

Daher lautet die gesuchte Gleichung für \frac{d\omega}{dt}

\frac{\epsilon r^{2}\sqrt{a}}{b\sqrt{\mu}\cos\alpha}\frac{d\omega}{dt}=-\frac{3\epsilon^{2}a\mu}{b^{2}c^{2}}\sin^{2}\alpha-\frac{6\epsilon r\sqrt{a\mu}}{bc^{2}\cos\alpha}\frac{d\omega}{dt}+\frac{6\epsilon\mu}{r}\cos\alpha

oder nach Einsetzung von r=\frac{b^{2}}{a(1+\epsilon\cos\alpha)} und b=a\sqrt{1-\epsilon^{2}} und nach Division durch \frac{\epsilon r^{2}\sqrt{a}}{b\sqrt{\mu}\cos\alpha}

\frac{d\omega}{dt}=-\frac{6\mu}{a(1-\epsilon^{2})c^{2}}(1+\epsilon\cos\alpha)\frac{d\omega}{dt}-\frac{3\epsilon\mu^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{5}{2}}(1-\epsilon^{2})^{\frac{5}{2}}c^{2}}(1+\epsilon\cos\alpha)^{2}\sin^{2}\alpha\cos\alpha

+\frac{6\mu^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{5}{2}}(1-\epsilon^{2})^{\frac{5}{2}}c^{2}}(1+\epsilon\cos\alpha)^{3}\cos^{2}\alpha

Wenn man den so berechneten Wert der Geschwindigkeit \frac{d\omega}{dt} mit den Beobachtungen vergleichen will, hat man zu berücksichtigen, dass die Rechnung nur einen einzigen Planeten voraussetzt. Daher können allein Perihelbewegungen in Betracht kommen, die nicht aus Störungen entstehen. Solche sind bloss beim Merkur bekannt, in einem Betrage von etwa 41″ in einem Jahrhundert. Diese Kleinheit schliesst von vornherein jede erfahrungsmässige Feststellung der stetigen Veränderlichkeit von \frac{d\omega}{dt} aus. Also ist über eine längere Zeit hin zu integrieren. In der letzten Gleichung kommt nur ε, nicht auch \frac{d\epsilon}{dt} vor; und sofern die Änderungen von ε gegen ε selbst verschwinden, kann man dieses als konstant ansehen. Es genügt danach als Grenzen der Integration α=0 und α=2π zu wählen, da \frac{d\omega}{dt} bei jedem folgenden Umlauf die Werte des vorigen Umlaufes sehr annäherungsweise wiederholt.