Seite:Einfluss der Erdbewegung (Bucherer).djvu/5

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(5) \begin{cases}
E_{x}=\frac{\partial^{2}A}{\partial x\ \partial z},\ E_{y}=-\frac{\partial^{2}A}{\partial y\ \partial z},\ E_{z}=\frac{\partial^{2}A}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}A}{\partial y^{2}}.\\
\\H_{x}=K\frac{\partial^{2}A}{\partial y\ \partial t},\ H_{y}=-K\frac{\partial^{2}A}{\partial x\ \partial t},\ H_{z}=0.\end{cases}

Wir setzen als partikuläre Lösung für \mathfrak{A}:

(6) \mathfrak{A}=\frac{\mathfrak{a}}{r}\sin\ n\left(\frac{r}{v}-t\right),

wo n/2π die Anzahl von Schwingungen bedeutet, welche der Oszillator in der Zeiteinheit erregt; t ist die Zeit, r der Abstand vom Anfangspunkt, \mathfrak{a} ist ein konstanter Vektor in der Richtung der zunehmenden z, dessen Zahlenwert von den Dimensionen des Oszillators abhängt.

Wir betrachten nun das Kraftfeld in einem Punkte auf der X-Achse, welcher sehr weit vom Anfangspunkte entfernt ist. Dann werden höhere Potenzen von 1/r zu vernachlässigen sein gegen niedrige und eine Wellenlänge wird gegen r verschwindend klein sein.

Für Punkte auf der X-Achse ist

(6a) \mathfrak{A}=\frac{\mathfrak{a}}{x}\sin\ n\left(\frac{x}{v}-t\right).

\mathfrak{A} ist also nur noch Funktion von x und von t. Folglich gemäß den Gleichungen (5)

(7) E_{x} = E_{y} = 0,\quad E_{z}=\frac{\partial^{2}A}{\partial x^{2}},
(8) H_{x} = H_{z} = 0,\quad H_{y}=-K\frac{\partial^{2}A}{\partial x\ \partial t}.

Durch Einsetzen von (6a) wird:

(9) E_{z}=-\frac{an^{2}}{xv^{2}}\sin\ n\left(\frac{x}{v}-t\right),
(10) H_{y}=\frac{an^{2}K}{xv}\sin\ n\left(\frac{x}{v}-t\right),

Nach dem Poyntingschen Theorem strömt durch eine in dem Punkte konstruierte der yz-Ebene parallele Einheitsfläche ein Energiestrom \mathfrak{W}:

\mathfrak{W}=\frac{1}{4\pi}\left[\mathfrak{EH}\right].

und da nach (9) und (10) \mathfrak{E} senkrecht zu \mathfrak{H}, so wird:

(11) W=\frac{a^{2}n^{4}K}{4\pi x^{2}v^{3}}\sin^{2}n\left(\frac{x}{v}-t\right).