Seite:Grundgleichungen (Minkowski).djvu/12

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Indem wir \varrho_{1},\ \varrho_{2},\ \varrho_{3},\ \varrho_{4} durch diese Größe dividieren, entstehen die 4 Werte

w_{1}=\frac{\mathfrak{w}_{x}}{\sqrt{1-\mathfrak{w}^{2}}},\ w_{2}=\frac{\mathfrak{w}_{y}}{\sqrt{1-\mathfrak{w}^{2}}},\ w_{3}=\frac{\mathfrak{w}_{z}}{\sqrt{1-\mathfrak{w}^{2}}},\ w_{4}=\frac{i}{\sqrt{1-\mathfrak{w}^{2}}},

zwischen welchen die Beziehung

(19) w^{2}_{1} + w^{2}_{2} + w^{2}_{3} + w^{2}_{4} = -1

besteht. Offenbar sind diese 4 Werte eindeutig durch den Vektor \mathfrak{w} bestimmt, und umgekehrt folgt aus irgend 4 Werten w_{1},\ w_{2},\ w_{3},\ w_{4}, wobei w_{1},\ w_{2},\ w_{3} reell, -iw_{4} reell und positiv ist und die Bedingung (19) statthat, rückwärts gemäß diesen Gleichungen eindeutig ein Vektor \mathfrak{w} von einem Betrage < 1.

Die Bedeutung von w_{1},\ w_{2},\ w_{3},\ w_{4} hier ist, daß sie die Verhältnisse von dx_{1},\ dx_{2},\ dx_{3},\ dx_{4} zu

(20) \sqrt{-(dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}+dx_{4}^{2})}=dt\sqrt{1-\mathfrak{w}^{2}}

für die im Raum-Zeitpunkte x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4} befindliche Materie beim Übergang zu zeitlich benachbarten Zuständen derselben Stelle der Materie sind. Nun übertragen sich die Gleichungen (10), (11), (12) sofort auf die zusammengehörigen Differentiale dx, dy, dz, dt und dx', dy', dz', dt' und insbesondere wird daher für sie

-(dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}+dx_{4}^{2})=-(dx_{1}^{'2}+dx_{2}^{'2}+dx_{3}^{'2}+dx_{4}^{'2})

sein. Nach Ausführung der Lorentz-Transformation ist im neuen Bezugsystem als Geschwindigkeit der Materie im nämlichen Raum-Zeitpunkte x', y', z', t' der Vektor \mathfrak{w}' mit den Verhältnissen \frac{dx'}{dt'},\ \frac{dy'}{dt'},\ \frac{dz'}{dt'} als Komponenten auszulegen.

Nunmehr ist ersichtlich, daß das Wertsystem

x_{1} = w_{1},\ x_{2} = w_{2},\ x_{3} = w_{3},\ x_{4} = w_{4}

vermöge der Lorentz-Transformation (10), (11), (12) eben in dasjenige neue Wertsystem

x'_{1} = w'_{1},\ x'_{2} = w'_{2},\ x'_{3} = w'_{3},\ x'_{4} = w'_{4}

übergeht, das für die Geschwindigkeit \mathfrak{w}' nach der Transformation genau die Bedeutung hat wie das erstere Wertsystem für die Geschwindigkeit vor der Transformation.

Empfohlene Zitierweise:

Hermann Minkowski: Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern. Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1908, Seite 64. Digitale Volltext-Ausgabe in Wikisource, URL: http://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Grundgleichungen_(Minkowski).djvu/12&oldid=1152319 (Version vom 26.06.2010)