Seite:Grundgleichungen (Minkowski).djvu/14

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von x, y, z, t in x', y', z', t' mit lauter reellen Koeffizienten, wobei das Aggregat

-x^{2} - y^{2} - z^{2} + t^{2} in -x'^{2} - y'^{2} - z'^{2} + t'^{2}

übergeht und einem jeden solchen Wertesystem x, y, z, t mit positivem t, wofür dieses Aggregat >0 ausfällt, stets auch ein positives t' entspricht; letzteres ist aus der Kontinuität des Aggregats in x, y, z, t leicht ersichtlich.

Die letzte Vertikalreihe des Koeffizientensystems von (21) hat die Bedingung

(22) \alpha^{2}_{14} + \alpha^{2}_{24} + \alpha^{2}_{34} + \alpha^{2}_{44} =1

zu erfüllen.

Sind \alpha_{14}=0,\ \alpha_{24}=0,\ \alpha_{34}=0, so ist \alpha_{44}=1 und die Lorentz-Transformation reduziert sich auf eine bloße Drehung des räumlichen Koordinatensystems um den Nullpunkt.

Sind \alpha_{14},\ \alpha_{24},\ \alpha_{34} nicht sämtlich Null und setzt man

\alpha_{14} : \alpha_{24} : \alpha_{34} : \alpha_{44} = \mathfrak{v}_{x}:\mathfrak{v}_{y}:\mathfrak{v}_{z}:i,

so folgt aus (22) der Betrag

q=\sqrt{\mathfrak{v}_{x}^{2}+\mathfrak{v}_{y}^{2}+\mathfrak{v}_{z}^{2}}<1.

Andererseits kann man zu jedem Wertesystem \alpha_{14},\ \alpha_{24},\ \alpha_{34},\ \alpha_{44} das in dieser Weise mit reellen \mathfrak{v}_{x}+\mathfrak{v}_{y}+\mathfrak{v}_{z} die Bedingung (22) erfüllt, die spezielle Lorentz-Transformation (16) mit \alpha_{14},\ \alpha_{24},\ \alpha_{34},\ \alpha_{44} als letzter Vertikalreihe konstruieren und jede Lorentz-Transformation mit der nämlichen letzten Vertikalreihe der Koeffizienten kann alsdann zusammengesetzt werden aus dieser speziellen Lorentz-Transformation und einer sich daran anschließenden Drehung des räumlichen Koordinatensystems um den Nullpunkt.

Die Gesamtheit aller Lorentz-Transformationen bildet eine Gruppe.

Unter einem Raum-Zeit-Vektor I. Art soll verstanden werden ein beliebiges System von vier Größen \varrho_{1},\ \varrho_{2},\ \varrho_{3},\ \varrho_{4} mit der Vorschrift, bei jeder Lorentz-Transformation (21) es durch dasjenige System \varrho'_{1},\ \varrho'_{2},\ \varrho'_{3},\ \varrho'_{4} zu ersetzen, das aus (21) für die Werte x'_{1},\ x'_{2},\ x'_{3},\ x'_{4} hervorgeht, wenn für x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4} die Werte \varrho_{1},\ \varrho_{2},\ \varrho_{3},\ \varrho_{4} genommen werden.

Verwenden wir neben dem variabeln Raum-Zeit-Vektor I. Art x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4} einen zweiten solchen variabeln Raum-Zeit-Vektor I. Art u_{1},\ u_{2},\ u_{3},\ u_{4} und fassen die bilineare Verbindung

Empfohlene Zitierweise:

Hermann Minkowski: Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern. Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1908, Seite 66. Digitale Volltext-Ausgabe in Wikisource, URL: http://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Grundgleichungen_(Minkowski).djvu/14&oldid=1294803 (Version vom 19.10.2010)