Seite:Grundgleichungen (Minkowski).djvu/15

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(23) \begin{array}{c}
f_{23}(x_{2}u_{3}-x_{3}u_{2})+f_{31}(x_{3}u_{1}-x_{1}u_{3})+f_{12}(x_{1}u_{2}-x_{2}u_{1})\\
\\+f_{14}(x_{1}u_{4}-x_{4}u_{1})+f_{24}(x_{2}u_{4}-x_{4}u_{2})+f_{34}(x_{3}u_{4}-x_{4}u_{3})\end{array}

mit sechs Koeffizienten f_{23},\dots f_{34} auf. Wir bemerken, daß diese einerseits sich in vektorieller Schreibweise aus den 4 Vektoren

x_{1},\ x_{2},\ x_{3};\quad u_{1},\ u_{2},\ u_{3};\quad f_{23},\ f_{31},\ f_{12};\quad f_{14},\ f_{24},\ f_{34}

und den Konstanten x_{4} und u_{4} aufbauen läßt, andererseits symmetrisch in den Indizes 1, 2, 3, 4 ist. Indem wir x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4} und u_{1},\ u_{2},\ u_{3},\ u_{4} gleichzeitig gemäß der Lorentz-Transformation (21) substituieren, geht (23) in eine Verbindung

(24) \begin{array}{c}
f'_{23}(x'_{2}u'_{3}-x'_{3}u'_{2})+f'_{31}(x'_{3}u'_{1}-x'_{1}u'_{3})+f'_{12}(x'_{1}u'_{2}-x'_{2}u'_{1})\\
\\+f'_{14}(x'_{1}u'_{4}-x'_{4}u'_{1})+f'_{24}(x'_{2}u'_{4}-x'_{4}u'_{2})+f'_{34}(x'_{3}u'_{4}-x'_{4}u'_{3})\end{array}

mit gewissen allein von den 6 Größen f_{23},\dots f_{34} und den 16 Koeffizienten \alpha_{11},\ \alpha_{12},\dots \alpha_{44} abhängenden 6 Koeffizienten f'_{23},\dots f'_{34} über.

Einen Raum-Zeit-Vektor II. Art definieren wir als ein System von sechs Größen f_{23},\ f_{31},\ f_{12},\ f_{14},\ f_{24},\ f_{34} mit der Vorschrift, es bei jeder Lorentz-Transformation durch dasjenige neue System f'_{23},\ f'_{31},\ f'_{12},\ f'_{14},\ f'_{24},\ f'_{34} zu ersetzen, das dem eben erörterten Zusammenhange der Form (23) mit der Form (24) entspricht.

Das allgemeine Theorem der Relativität betreffend die Gleichungen (I)—(IV), die „Grundgleichungen für den Äther“, spreche ich nunmehr folgendermaßen aus.

Werden x,\ y,\ z,\ it (Raumkoordinaten und Zeit \times i) einer beliebigen Lorentz-Transformation unterworfen und gleichzeitig \varrho\,\mathfrak{w}_{x},\ \varrho\,\mathfrak{w}_{y},\ \varrho\,\mathfrak{w}_{z},\ i\varrho (Konvektionsstrom und Ladungsdichte \times i) als Raum-Zeit-Vektor I. Art, ferner \mathfrak{m}_{x},\ \mathfrak{m}_{y},\ \mathfrak{m}_{z},\ -i\mathfrak{e}_{x},\ -i\mathfrak{e}_{y},\ -i\mathfrak{e}_{z} (magnetische Kraft und elektrische Erregung \times i) als Raum-Zeit-Vektor II. Art transformiert, so geht das System der Gleichungen (I), (II) und das System der Gleichungen (III), (IV) je in das System der entsprechend lautenden Beziehungen zwischen den entsprechenden neu eingeführten Größen über.

Kürzer mag diese Tatsache auch mit den Worten angedeutet werden: Das System der Gleichungen (I), (II) wie das System der Gleichungen (III), (IV) ist kovariant bei jeder Lorentz-Transformation, wobei \varrho\,\mathfrak{w},\ i\varrho als Raum-Zeit-Vektor I. Art, \mathfrak{m},\ -i\mathfrak{e} als Raum-Zeit-Vektor II. Art zu transformieren ist. Oder noch prägnanter:

\varrho\,\mathfrak{w},\ i\varrho ist ein Raum-Zeit-Vektor I. Art, \mathfrak{m},\ -i\mathfrak{e} ist ein Raum-Zeit-Vektor II. Art.

Empfohlene Zitierweise:

Hermann Minkowski: Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern. Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1908, Seite 67. Digitale Volltext-Ausgabe in Wikisource, URL: http://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Grundgleichungen_(Minkowski).djvu/15&oldid=2232159 (Version vom 24.08.2014)