Seite:Grundgleichungen (Minkowski).djvu/21

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Diese drei Axiome führen uns in der Tat von den vorhin genannten Grundgleichungen für ruhende Körper in eindeutiger Weise zu den Grundgleichungen für bewegte Körper.

Nämlich nach dem zweiten Axiom ist in jedem Raum-Zeitpunkte der Betrag des Geschwindigkeitsvektors \left|\mathfrak{w}\right|<1. Infolgedessen können wir dem Vektor \mathfrak{w} stets umkehrbar eindeutig das Quadrupel von Größen

w_{1}=\frac{\mathfrak{w}_{x}}{\sqrt{1-\mathfrak{w}^{2}}},\ w_{2}=\frac{\mathfrak{w}_{y}}{\sqrt{1-\mathfrak{w}^{2}}},\ w_{3}=\frac{\mathfrak{w}_{z}}{\sqrt{1-\mathfrak{w}^{2}}},\ w_{4}=\frac{i}{\sqrt{1-\mathfrak{w}^{2}}},

zuordnen, zwischen denen die Beziehung

(27) x^{2}_{1} + x^{2}_{2} + x^{2}_{3} + x^{2}_{4} = -1

statthat. Aus den Ausführungen am Schlüsse des § 4 ist ersichtlich, daß dieses Quadrupel sich bei Lorentz-Transformationen als Raum-Zeit-Vektor I. Art verhält, und wir wollen es den Raum-Zeit-Vektor Geschwindigkeit nennen.

Fassen wir nun eine bestimmte Stelle x, y, z der Materie zu einer bestimmten Zeit t auf. Ist in diesem Raum-Zeitpunkte \mathfrak{w}=0, so haben wir für ihn nach dem ersten Axiom unmittelbar die Gleichungen (A), (B), (V) aus § 7. Ist in ihm \mathfrak{w}\ne0, so existiert, weil \left|\mathfrak{w}\right|<1 ist, nach (16) eine spezielle Lorentz-Transformation, deren Vektor \mathfrak{v} gleich diesem Vektor \mathfrak{w}(x,\ y,\ z,\ t) ist, und wir gehen allgemein zu einem neuen Bezugsystem x', y', z', t' gemäß dieser bestimmten Transformation über. Für den betrachteten Raum-Zeitpunkt entstehen dabei, wie wir in § 4 sahen, die neuen Werte

(28) w'_{0} = 0,\ w'_{2} = 0,\ w'_{3} = 0,\ w'_{4} = i,

und also der neue Geschwindigkeitsvektor \mathfrak{w}'=0, der Raum-Zeitpunkt wird, wie wir uns dort ausdrückten, auf Ruhe transformiert. Nun sollen nach dem dritten Axiom aus den Grundgleichungen für den Raum-Zeitpunkt x, y, z, t dabei die Grundgleichungen für das entsprechende System x', y', z', t' geschrieben in den transformierten Größen \mathfrak{w}',\varrho',\mathfrak{s',e',m',E',M'} und deren Differentialquotienten nach x', y', z, t' hervorgehen. Diese letzteren Gleichungen aber müssen, nach dem ersten Axiom, weil jetzt \mathfrak{w}'=0 ist, genau sein:

1) diejenigen Differentialgleichungen (A'), (B'), die aus (A) und (B) einfach dadurch hervorgehen, daß alle Buchstaben dort mit einem oberen Strich versehen werden,

2) die Gleichungen

Empfohlene Zitierweise:

Hermann Minkowski: Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern. Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1908, Seite 73. Digitale Volltext-Ausgabe in Wikisource, URL: http://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Grundgleichungen_(Minkowski).djvu/21&oldid=1294805 (Version vom 19.10.2010)