Seite:Grundgleichungen (Minkowski).djvu/29

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in welcher die Elemente die Relationen f_{kh} = -f_{hk} erfüllen, heißt eine alternierende Matrix. Diese Relationen besagen, daß die transponierte Matrix \overline{f}=-f ist. Alsdann werde mit f^* und als die duale Matrix von f die ebenfalls alternierende Matrix

(35) f^{*}=\begin{vmatrix}
0, & f_{34}, & f_{42}, & f_{23}\\
f_{43}, & 0, & f_{14}, & f_{31}\\
f_{24}, & f_{41}, & 0, & f_{12}\\
f_{32}, & f_{13}, & f_{21}, & 0\end{vmatrix}

bezeichnet. Dabei wird

(36) f^{*}f = f_{32}f_{14} + f_{13}f_{24} + f_{21}f_{34},

das soll nun heißen eine 4 \times 4-reihige Matrix, in der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonale von links oben nach rechts unten Null sind und alle Elemente in dieser Diagonale unter einander übereinstimmen und gleich der hier rechts genannten Verbindung aus den Koeffizienten von f sind. Die Determinante von f erweist sich dann als das Quadrat dieser Verbindung und wir wollen das Zeichen Det^{\frac{1}{2}}f eindeutig als die Abkürzung

(37) Det^{\frac{1}{2}}f = f_{32}f_{14} + f_{13}f_{24} + f_{21}f_{34}

erklären.

4°. Eine lineare Transformation

(38) x_{h} = \alpha_{h1}x'_{1} + \alpha_{h2}x'_{2} + \alpha_{h3}x'_{3} + \alpha_{h4}x'_{4}\qquad (h=1, 2, 3, 4)

werde auch einfach durch die 4\times 4-reihige Matrix der Koeffizienten

\mathsf{A}=\begin{vmatrix}
\alpha_{11}, & \alpha_{12}, & \alpha_{13}, & \alpha_{14}\\
\alpha_{21}, & \alpha_{22}, & \alpha_{23}, & \alpha_{24}\\
\alpha_{31}, & \alpha_{32}, & \alpha_{33}, & \alpha_{34}\\
\alpha_{41}, & \alpha_{42}, & \alpha_{43}, & \alpha_{44}\end{vmatrix},

als Transformation \mathsf{A}, bezeichnet. Durch die Transformation \mathsf{A} geht der Ausdruck

x^{2}_{1} + x^{2}_{2} + x^{2}_{3} + x^{2}_{4}

in die quadratische Form

\Sigma a_{hk}x'_{h}x'_{k}\qquad (h,k = 1, 2, 3, 4)
Empfohlene Zitierweise:

Hermann Minkowski: Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern. Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1908, Seite 81. Digitale Volltext-Ausgabe in Wikisource, URL: http://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Grundgleichungen_(Minkowski).djvu/29&oldid=2234705 (Version vom 31.08.2014)