Seite:Grundgleichungen (Minkowski).djvu/30

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über, wobei

a_{hk} = \alpha_{1h}\alpha_{1k} + \alpha_{2h}\alpha_{2k} + \alpha_{3h}\alpha_{3k} + \alpha_{4h}\alpha_{4k}

wird, d.h. die 4\times 4-reihige (symmetrische) Matrix der Koeffizienten a_{hk} dieser Form wird das Produkt \mathsf{\bar{A}A} der transponierten Matrix von \mathsf{A} in die Matrix \mathsf{A}. Soll also durch die Transformation der neue Ausdruck

x^{'2}_{1} + x^{'2}_{2} + x^{'2}_{3} + x^{'2}_{4}

hervorgehen, so muß

(39) \mathsf{\bar{A}A}=1

die Matrix 1 werden. Dieser Relation hat demnach \mathsf{A} zu entsprechen, wenn die Transformation (38) eine Lorentz-Transformation sein soll. Für die Determinante von \mathsf{A} folgt aus (39): (Det \mathsf{A})^{2} = 1, Det \mathsf{A} = \pm 1. Die Bedingung (39) kommt zugleich auf

(40) \mathsf{A}^{-1}=\mathsf{\overline{A}}

hinaus, d. h. die reziproke Matrix von \mathsf{A} muß sich mit der transponierten von \mathsf{A} decken.

Für \mathsf{A} als Lorentz-Transformation haben wir noch weiter die Bestimmungen getroffen, daß Det \mathsf{A} = + 1 sei, daß jede der Größen \alpha_{14},\ \alpha_{24},\ \alpha_{34},\ \alpha_{41},\ \alpha_{42},\ \alpha_{43} rein imaginär (bez. Null), die anderen Koeffizienten in \mathsf{A} reell seien und endlich noch \alpha_{44}>0 sei.

5°. Ein Raum-Zeit-Vektor I. Art s_{1},\ s_{2},\ s_{3},\ s_{4} soll durch die 1 \times 4-reihige Matrix seiner 4 Komponenten:

(41) s=| s_{1},\ s_{2},\ s_{3},\ s_{4} |

repräsentiert werden und ist bei einer Lorentz-Transformation \mathsf{A} durch s\mathsf{A} zu ersetzen.

Ein Raum-Zeit-Vektor II. Art mit den Komponenten f_{23},\ f_{31},\ f_{12},\ f_{14},\ f_{24},\ f_{34}, soll durch die alternierende Matrix

(42) f=\left|\begin{array}{cccc}
0, & f_{12}, & f_{13}, & f_{14}\\
f_{21}, & 0, & f_{23}, & f_{24}\\
f_{31}, & f_{32}, & 0, & f_{34}\\
f_{41}, & f_{42}, & f_{43}, & 0\end{array}\right|

repräsentiert werden und ist (s. die in § 5 (23) und (24) festgesetzte Regel) bei einer Lorentz-Transformation \mathsf{A} durch \mathsf{\overline{A}}f\mathsf{A}=\mathsf{A}^{-1}f\mathsf{A} zu ersetzen. Dabei gilt in Bezug auf den Ausdruck

Empfohlene Zitierweise:

Hermann Minkowski: Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern. Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1908, Seite 82. Digitale Volltext-Ausgabe in Wikisource, URL: http://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Grundgleichungen_(Minkowski).djvu/30&oldid=1294807 (Version vom 19.10.2010)