Seite:Grundgleichungen (Minkowski).djvu/38

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(66) \left|\frac{\partial L}{\partial x_{1}},\ \frac{\partial L}{\partial x_{2}},\ \frac{\partial L}{\partial x_{3}},\ \frac{\partial L}{\partial x_{4}}\right|

zu verstehen sein.

Stellt s=\left|s_{1},\ s_{2},\ s_{3},\ s_{4}\right| einen Raum-Zeit-Vektor I. Art vor, so wird

(67) lor\ \bar{s}=\frac{\partial s_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial s_{2}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial s_{3}}{\partial x_{3}}+\frac{\partial s_{4}}{\partial x_{4}}

zu erklären sein. Treten bei Anwendung einer Lorentz-Transformation \mathsf{A} die Zeichen lor', s' an Stelle von lor, s, so folgt

lor'\ \bar{s}'=(lor\ \mathsf{A})(\mathsf{\bar{A}}\bar{s})=lor\ \bar{s},

d. h. lor\ \bar{s} ist eine Invariante bei den Lorentz-Transformationen.

In allen diesen Beziehungen spielt der Operator lor selbst die Rolle eines Raum-Zeit-Vektors I. Art.

Stellt f einen Raum-Zeit-Vektor II. Art vor, so hat nun -lor f den Raum-Zeit-Vektor I. Art mit den Komponenten

\begin{array}{ccccccc}
 &  & \frac{\partial f_{12}}{\partial x_{2}} & + & \frac{\partial f_{13}}{\partial x_{3}} & + & \frac{\partial f_{14}}{\partial x_{4}},\\
\\\frac{\partial f_{21}}{\partial x_{1}} &  &  & + & \frac{\partial_{23}}{\partial x_{3}} & + & \frac{\partial_{24}}{\partial x_{4}},\\
\\\frac{\partial f_{31}}{\partial x_{1}} & + & \frac{\partial_{32}}{\partial x_{2}} &  &  & + & \frac{\partial_{34}}{\partial x_{4}},\\
\\\frac{\partial f_{41}}{\partial x_{1}} & + & \frac{\partial_{42}}{\partial x_{2}} & + & \frac{\partial_{43}}{\partial x_{3}},\end{array}

zu bedeuten. Hiernach läßt sich das System der Differentialgleichungen (A) in der kurzen Form

{A} lor\ f = -s

zusammenziehen. Ganz entsprechend wird das System der Differentialgleichungen (B) zu schreiben sein:

{B} lor\ F^{*} = 0

Die im Hinblick auf die Definition (67) von lor\ \bar{s} gebildeten Verbindungen lor (\overline{lor\ f}) und lor (\overline{lor\ F^{*}}) verschwinden offenbar identisch, indem f und F* alternierende Matrizen sind. Darnach folgt aus {A} für den Strom s die Beziehung

(68) \frac{\partial s_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial s_{2}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial s_{3}}{\partial x_{3}}+\frac{\partial s_{4}}{\partial x_{4}}=0,
Empfohlene Zitierweise:

Hermann Minkowski: Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern. Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1908, Seite 90. Digitale Volltext-Ausgabe in Wikisource, URL: http://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Grundgleichungen_(Minkowski).djvu/38&oldid=1152236 (Version vom 26.06.2010)