Seite:Grundgleichungen (Minkowski).djvu/41

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(75) X_{x}=\tfrac{1}{2}(\mathfrak{m}_{x}\mathfrak{M}_{x}-\mathfrak{m}_{y}\mathfrak{M}_{y}-\mathfrak{m}_{z}\mathfrak{M}_{z}+\mathfrak{e}_{x}\mathfrak{E}_{x}-\mathfrak{e}_{y}\mathfrak{E}_{y}-\mathfrak{e}_{z}\mathfrak{E}_{z}),

X_{y}=\mathfrak{m}_{x}\mathfrak{M}_{y}+\mathfrak{e}_{y}\mathfrak{E}_{x},\quad Y_{x}=\mathfrak{m}_{y}\mathfrak{M}_{x}+\mathfrak{e}_{x}\mathfrak{E}_{y}, u. s. f.

X_{t}=\mathfrak{e}_{y}\mathfrak{M}_{z}-\mathfrak{e}_{z}\mathfrak{M}_{y},

T_{x}=\mathfrak{m}_{z}\mathfrak{E}_{y}-\mathfrak{m}_{y}\mathfrak{E}_{z}, u. s. f.

T_{t}=\tfrac{1}{2}(\mathfrak{m}_{x}\mathfrak{M}_{x}+\mathfrak{m}_{y}\mathfrak{M}_{y}+\mathfrak{m}_{z}\mathfrak{M}_{z}+\mathfrak{e}_{x}\mathfrak{E}_{x}+\mathfrak{e}_{y}\mathfrak{E}_{y}+\mathfrak{e}_{z}\mathfrak{E}_{z})

und auch

(76) L=\tfrac{1}{2}(\mathfrak{m}_{x}\mathfrak{M}_{x}+\mathfrak{m}_{y}\mathfrak{M}_{y}+\mathfrak{m}_{z}\mathfrak{M}_{z}-\mathfrak{e}_{x}\mathfrak{E}_{x}-\mathfrak{e}_{y}\mathfrak{E}_{y}-\mathfrak{e}_{z}\mathfrak{E}_{z})

sämtlich reell sind. In den Theorien für ruhende Körper kommen die Verbindungen X_{x},\ X_{y},\ X_{z},\ Y_{x},\ Y_{y},\ Y_{z},\ Z_{x},\ Z_{y},\ Z_{z} unter dem Namen „Maxwellsche Spannungen“, die Grössen T_{x},\ T_{y},\ T_{z} als „Poyntingscher Vektor“, T_{t} als „elektromagnetische Energiedichte für die Volumeneinheit“ vor und wird L als „Lagrangesche Funktion“ bezeichnet.

Wir finden nun andererseits durch Zusammensetzung der zu f und F dualen Matrizen in umgekehrter Folge sofort

(77) F^{*}f^{*}=\left|\begin{array}{llll}
-S_{11}-L, & -S_{12}, & -S_{13}, & -S_{14}\\
-S_{21}, & -S_{22}-L, & -S_{23}, & -S_{23}\\
-S_{31}, & -S_{32}, & -S_{33}-L, & -S_{34}\\
-S_{41}, & -S_{42}, & -S_{43}, & -S_{44}-L\end{array}\right|

und können hiernach setzen

(78) fF = S-L,\quad F^{*}f^{*} = -S-L,

indem wir unter L das Vielfache L.1 der Einheitsmatrix, d. h. die Matrix der Elemente

\left|Le_{hk}\right|\qquad \left(\begin{array}{c}
e_{hh}=1,\ e_{hk}=0,\ h\gtrless k\\
h,k=1,2,3,4\end{array}\right)

verstehen.

Daraus folgern wir weiter, indem hier SL = LS ist,

F^{*}f^{*}fF = (-S-L)(S-L) = -SS + L^{2},

und finden, da f^{*}f = \text{Det}^{\frac{1}{2}}f,\ F^{*}F = \text{Det}^\frac{1}{2}F ist, die interessante Beziehung:

(79) SS = L^{2} - \text{Det}^{\frac{1}{2}}f \text{Det}^{\frac{1}{2}}F,

d. h. das Produkt der Matrix S in sich selbst ist ein Vielfaches der Einheitsmatrix, eine Matrix, in welcher außerhalb der Hauptdiagonale alle Elemente Null und in der Diagonale alle Elemente gleich sind und als gemeinsamen Wert

Empfohlene Zitierweise:

Hermann Minkowski: Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern. Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1908, Seite 93. Digitale Volltext-Ausgabe in Wikisource, URL: http://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Grundgleichungen_(Minkowski).djvu/41&oldid=2239319 (Version vom 14.09.2014)