Seite:Grundgleichungen (Minkowski).djvu/42

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die hier rechts angegebene Größe haben. Es gelten also allgemein die Relationen

(80) S_{h1}S_{1k} + S_{h2}S_{2k} + S_{h3}S_{3k} + S_{h4}S_{4k} = 0

bei ungleichen Indizes h, k aus der Reihe 1, 2, 3, 4 und

(81) S_{h1}S_{1h} + S_{h2}S_{2h} + S_{h3}S_{3h} + S_{h4}S_{4h} = L^{2} - Det^{\frac{1}{2}}f Det^{\frac{1}{2}}F

für h = 1,2,3,4.

Indem wir jetzt anstatt F und f in den Verbindungen (72), (73) mittelst (55), (56), (57) die elektrische Ruh-Kraft \Phi, die magnetische Ruh-Kraft \Psi, den Ruh-Strahl \Omega einführen, gelangen wir zu den Ausdrücken:

(82) L=-\frac{1}{2}\epsilon\Phi\bar{\Phi}+\frac{1}{2}\mu\Psi\bar{\Psi},
(83) S_{hk}=-\frac{1}{2}\epsilon\Phi\bar{\Phi}e_{hk}-\frac{1}{2}\mu\Psi\bar{\Psi}e_{hk}

+\epsilon(\Phi_{h}\Phi_{k}-\Phi\bar{\Phi}w_{h}w_{k})+\mu(\Psi_{h}\Psi_{k}-\Psi\bar{\Psi}w_{h}w_{k})

-\Omega_{h}w_{k}-\epsilon\mu w_{h}\Omega_{k}\qquad\qquad  (h, k = 1,2,3,4)

darin sind noch einzusetzen

\Phi\bar{\Phi}=\Phi_{1}^{2}+\Phi_{2}^{2}+\Phi_{3}^{2}+\Phi_{4}^{2},\ \Psi\bar{\Psi}=\Psi_{1}^{2}+\Psi_{2}^{2}+\Psi_{3}^{2}+\Psi_{4}^{2},

e_{hh}=1,\ e_{hk}=0(h\gtrless k).

Nämlich jedenfalls ist die rechte Seite von (82) ebenso wie L eine Invariante bei den Lorentz-Transformationen und stellen die 4x4 Elemente rechts in (83) ebenso wie die S_{hk} eine Raum-Zeit-Matrix II. Art dar. Mit Rücksicht hierauf genügt es schon, um die Relationen (82), (83) allgemein behaupten zu können, sie nur für den Fall w_{1} = 0,\ w_{2} = 0,\ w_{3} = 0,\ w_{4} = i zu verifizieren. Für diesen Fall \mathfrak{w} = 0 aber kommen (83) und (82) durch (47), (51), (60) einerseits, \mathfrak{e}=\epsilon\mathfrak{E},\ \mathfrak{M}=\mu\mathfrak{m} andererseits unmittelbar auf die Gleichungen (75) und (76) hinaus.

Der Ausdruck rechts in (81), der

=\left(\frac{1}{2}(\mathfrak{mM}-\mathfrak{eE})\right)^{2}+(\mathfrak{em})(\mathfrak{EM})

ist, erweist sich durch (\mathfrak{em})=\epsilon\Phi\bar{\Psi},\ (\mathfrak{EM})=\mu\Phi\bar{\Psi}, als \geqq0; die Quadratwurzel aus ihm, \geqq0 genommen, mag im Hinblick auf (79) mit Det^{\frac{1}{2}}S bezeichnet werden.

Für \bar{S}, die transponierte Matrix von S, folgt aus (78), da \bar{f}=-f,\ \bar{F}=-F ist,

(84) Ff=\bar{S}-L,\ f^{*}F^{*}=-\bar{S}-L.

Sodann ist

Empfohlene Zitierweise:

Hermann Minkowski: Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern. Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1908, Seite 94. Digitale Volltext-Ausgabe in Wikisource, URL: http://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Grundgleichungen_(Minkowski).djvu/42&oldid=1152233 (Version vom 26.06.2010)