Seite:Grundgleichungen (Minkowski).djvu/44

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Von ganz besonderer Bedeutung wird endlich der Raum-Zeit-Vektor I. Art

(89) K = \text{lor }S,

für den wir jetzt eine wichtige Umformung nachweisen wollen.

Nach (78) ist S = L + fF und es folgt zunächst

\text{lor }S = \text{lor }L + \text{lor }fF.

Das Symbol \text{lor} bedeutet einen Differentiationsprozeß, der in \text{lor }fF einerseits die Komponenten von f, andererseits die Komponenten von F betreffen wird. Entsprechend zerlegt sich \text{lor }fF additiv in einen ersten und einen zweiten Teil. Der erste Teil wird offenbar das Produkt der Matrizen (\text{lor }f)F sein, darin \text{lor }f als 1 \times 4-reihige Matrix für sich aufgefaßt. Der zweite Teil ist derjenige Teil von \text{lor }fF, in dem die Differentiationen nur die Komponenten von F betreffen. Nun entnehmen wir aus (78)

fF = -F^{*}f^{*} - 2L;

infolgedessen wird dieser zweite Teil von \text{lor }fF sein -(\text{lor }F^{*})f^{*} + dem Teil von -2 \text{lor }L, in dem die Differentiationen nur die Komponenten von F betreffen. Danach entsteht

(90) \text{lor }S = (\text{lor }f) F - (\text{lor }F^{*})f^{*} + N,

wo N den Vektor mit den Komponenten

\begin{array}{r}
N_{h}=\frac{1}{2}\left(\dfrac{\partial f_{23}}{\partial x_{h}}F_{23}+\dfrac{\partial f_{31}}{\partial x_{h}}F_{31}+\dfrac{\partial f_{12}}{\partial x_{h}}F_{12}+\dfrac{\partial f_{14}}{\partial x_{h}}F_{14}+\dfrac{\partial f_{24}}{\partial x_{h}}F_{24}+\dfrac{\partial f_{34}}{\partial x_{h}}F_{34}\right.\\
\\\left.-f_{23}\dfrac{\partial F_{23}}{\partial x_{h}}-f_{31}\dfrac{\partial F_{31}}{\partial x_{h}}-f_{12}\dfrac{\partial F_{12}}{\partial x_{h}}-f_{14}\dfrac{\partial F_{14}}{\partial x_{h}}-f_{24}\dfrac{\partial F_{24}}{\partial x_{h}}-\dfrac{\partial f_{34}}{\partial x_{h}}F_{34}\right)\end{array}
(h=1,2,3,4)

bedeutet. Durch Benutzung der Grundgleichungen {A} und {B} geht (90) in die fundamentale Relation

(91) \text{lor }S = - sF + N

über.

Im Grenzfalle \varepsilon = 1,\ \mu = 1, wo f = F ist, verschwindet N identisch.

Allgemein gelangen wir auf Grund von (55), (66) und im Hinblick auf den Ausdruck (82) von L und auf (57) zu folgenden Ausdrücken der Komponenten von N:

Empfohlene Zitierweise:

Hermann Minkowski: Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern. Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1908, Seite 96. Digitale Volltext-Ausgabe in Wikisource, URL: http://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Grundgleichungen_(Minkowski).djvu/44&oldid=2244539 (Version vom 28.09.2014)