Seite:Grundgleichungen (Minkowski).djvu/50

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(4) dJ_{n}=\frac{1}{\sqrt{1-\mathfrak{w}^{2}}}dJ=-iw_{4}dJ=\frac{dt}{d\tau}dJ

zu rechnen sein und es möge

(5) \nu=\frac{\mu}{-iw_{4}}=\mu\sqrt{1-\mathfrak{w}^{2}}=\mu\frac{d\tau}{dt}

als Ruh-Massendichte an der Stelle x,\ y,\ z,\ t definiert werden. Alsdann kann das Prinzip von der Erhaltung der Massen auch so formuliert werden:

Für einen unendlich dünnen Raum-Zeitfaden ist das Produkt aus der Ruh-Massendichte und dem Inhalt des Normalquerschnitts an einer Stelle des Fadens stets längs des ganzen Fadens konstant.

In einem beliebigen Raum-Zeitfaden sei ein erster Querschnitt Q^{0} und sodann ein zweiter Querschnitt Q^{1} angebracht, der mit Q^{0} dessen Punkte auf der Begrenzung des Fadens, aber nur diese gemein hat, und die Raum-Zeitlinien innerhalb des Fadens mögen auf Q größere Werte t als auf Q^{0} zeigen. Das von Q^{0} und Q^{1} zusammen begrenzte, im Endlichen gelegene Gebiet soll dann eine Raum-Zeit-Sichel, Q^{0} die untere, Q^{1} die obere Begrenzung der Sichel heißen.

Denken wir uns den Faden in viele sehr dünne Raum-Zeitfäden zerlegt, so entspricht jedem Eintritt eines dünnen Fadens in die untere Begrenzung der Sichel ein Austritt aus der oberen, wobei für beide das im Sinne von (4) und (B) ermittelte Produkt \nu\,dJ_{n} jedesmal gleichen Wert hat. Es verschwindet daher die Differenz der zwei Integrale \int \nu\,dJ_{n}, das erste erstreckt über die obere, das zweite über die untere Begrenzung der Sichel. Diese Differenz findet sich nach einem bekannten Theoreme der Integralrechnung gleich dem Integrale

\iiiint \text{lor }\nu\overline{w}\,dx\,dy\,dz\,dt,

erstreckt über das ganze Gebiet der Sichel, wobei (vgl. (67) in § 12)

\text{lor }\nu\overline{w}\ =\frac{\partial\nu w_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial\nu w_{2}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial\nu w_{3}}{\partial x_{3}}+\frac{\partial\nu w_{4}}{\partial x_{4}}

ist. Wird die Sichel auf einen Raum-Zeitpunkt x,\ y,\ z,\ t zusammengezogen, so folgt hiernach die Differentialgleichung

(6) \text{lor }\nu\overline{w} = 0,

d. i. die Kontinuitätsbedingung

Empfohlene Zitierweise:

Hermann Minkowski: Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern. Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1908, Seite 102. Digitale Volltext-Ausgabe in Wikisource, URL: http://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Grundgleichungen_(Minkowski).djvu/50&oldid=2244545 (Version vom 28.09.2014)