Seite:Grundgleichungen (Minkowski).djvu/53

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daher auch \xi_{1},\ \xi_{2},\ \xi_{3},\ \xi_{4} überall Null. Danach verwandelt sich das letzte Integral durch partielle Integration in

\iiiint\underset{h}{\sum}\xi_{h}\left(\frac{\partial \nu\, w_{h}w_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial \nu\, w_{h}w_{2}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial \nu\, w_{h}w_{3}}{\partial x_{3}}+\frac{\partial \nu\, w_{h}w_{4}}{\partial x_{4}}\right)dx\,dy\,dz\,dt.

Darin ist der Klammerausdruck

=w_{h}\underset{k}{\sum}\frac{\partial \nu\, w_{k}}{\partial x_{k}}+\nu\underset{k}{\sum}w_{k}\frac{\partial w_{h}}{\partial x_{k}}.

Die erste Summe hier verschwindet zufolge der Kontinuitätsbedingung (6), die zweite läßt sich darstellen als

\frac{\partial w_{h}}{\partial x_{1}}\frac{dx_{1}}{d\tau}+\frac{\partial w_{h}}{\partial x_{2}}\frac{dx_{2}}{d\tau}+\frac{\partial w_{h}}{\partial x_{3}}\frac{dx_{3}}{d\tau}+\frac{\partial w_{h}}{\partial x_{4}}\frac{dx_{4}}{d\tau}=\frac{dw_{h}}{d\tau}=\frac{d}{d\tau}\left(\frac{dx_{h}}{d\tau}\right)

wobei durch \frac{d}{d\tau} Differentialquotienten in Richtung der Raum-Zeitlinie einer Stelle angedeutet werden. Für den Differentialquotienten (12) resultiert damit endlich der Ausdruck

(14) \iiiint\nu\left(\frac{dw_{1}}{d\tau}\xi_{1}+\frac{dw_{2}}{d\tau}\xi_{2}+\frac{dw_{3}}{d\tau}\xi_{3}+\frac{dw_{4}}{d\tau}\xi_{4}\right)dx\,dy\,dz\,dt.

Für eine virtuelle Verrückung in der Sichel hatten wir noch die Forderung gestellt, daß die substanziell gedachten Punkte normal zu den aus ihnen hergestellten Kurven fortschreiten sollten; dies bedeutet für \vartheta=0, daß die \xi_{h} der Bedingung

(15) w_{1}\xi_{1} + w_{2}\xi_{2} + w_{3}\xi_{3} + w_{4}\xi_{4} = 0

zu entsprechen haben.

Denken wir nun an die Maxwellschen Spannungen in der Elektrodynamik ruhender Körper und betrachten wir andererseits unsere Ergebnisse in den §§ 12 und 13, so liegt eine gewisse Anpassung des Hamiltonschen Prinzipes für kontinuierlich ausgedehnte elastische Medien an das Relativitätspostulat nahe.

An jedem Raum-Zeitpunkte sei (wie in § 13) eine Raum-Zeit-Matrix II. Art

(16) S=\left|\begin{array}{cccc}
S_{11}, & S_{12}, & S_{13}, & S_{14}\\
S_{21}, & S_{22}, & S_{23}, & S_{24}\\
S_{31}, & S_{32}, & S_{33}, & S_{34}\\
S_{41}, & S_{42}, & S_{43}, & S_{44}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrrr}
X_{x}, & Y_{x}, & Z_{x}, & -iT_{x}\\
X_{y}, & Y_{y}, & Z_{y}, & -iT_{y}\\
X_{z}, & Y_{z}, & Z_{z}, & -iT_{z}\\
-iX_{t}, & -iY_{t}, & -iZ_{t}, & T_{t}\end{array}\right|

bekannt, worin X_{x}, Y_{x},\dots Z_{z}, T_{x},\dots X_{t},\dots T_{t} reelle Größen sind.

Empfohlene Zitierweise:

Hermann Minkowski: Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern. Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1908, Seite 105. Digitale Volltext-Ausgabe in Wikisource, URL: http://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Grundgleichungen_(Minkowski).djvu/53&oldid=2244548 (Version vom 28.09.2014)