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	Hans Heinrich Euler: Über die Streuung von Licht an Licht nach der Diracschen Theorie

Darin ist im Gliede 2. Ordnung schon über die 24 Permutationen der Lichtquanten gemittelt unter Beachtung der aus dem Erhaltungssatz folgenden Relationen:

(9,3)

$\ldots =\sum \limits _{\textrm {Perm}}\left({\mathfrak {g}}^{1}{\mathfrak {g}}^{1}\right)=\sum \limits _{\textrm {Perm}}\left({\mathfrak {g}}^{2}{\mathfrak {g}}^{2}\right)=-3\sum \limits _{\textrm {Perm}}\left({\mathfrak {g}}^{1}{\mathfrak {g}}^{2}\right)=-3\sum \limits _{\textrm {Perm}}\left({\mathfrak {g}}^{1}{\mathfrak {g}}^{3}\right)=\ldots$

Die Entwicklung der reziproken Nenner $1/N_{\mu }$ (5,14), welche Energiedifferenzen der Zwischenzustände zum Anfangszustand darstellen, bis zum selben Grade wird (in der obigen Bezeichnungsweise);

(9,4)

${\begin{array}{|c|}N_{1}^{-1}\\N_{2}^{-1}+N_{3}^{-1}\\N_{4}^{-1}\\N_{5}^{-1}+N_{6}^{-1}\end{array}}={\frac {1}{{p_{0}}^{3}}}{\begin{array}{|c|}1\\2\\1\\1\end{array}}+{\frac {1}{2{p_{0}}^{5}}}\left[\left({\mathfrak {pg}}^{1}\right){\begin{array}{|c|}-2\\-6\\-4\\-3\end{array}}+\left({\mathfrak {pg}}^{2}\right){\begin{array}{|c|}-1\\-3\\-1\\-1\end{array}}+\left({\mathfrak {pg}}^{4}\right){\begin{array}{|c|}1\\3\\1\\1\end{array}}\right]+{\frac {\left({\mathfrak {g}}^{1}{\mathfrak {g}}^{1}\right)}{12{p_{0}}^{5}}}{\begin{array}{|r|}5\\0\\-1\\-3\end{array}}+{\frac {\left({\mathfrak {pg}}^{1}\right)^{2}}{2{p_{0}}^{7}}}{\begin{array}{|r|}25\\90\\55\\39\end{array}},$

wobei ebenfalls im höchsten Gliede schon über die Permutationen der Lichtquanten gemittelt wurde.

Multiplikation dieser Zähler (9,2) und reziproken Nenner (9,4) ergibt im Gliede 2. Ordnung in $g^{i}/mc$, nach Summation über die 6 Übergangsfälle $\mu =1\ldots 6$, Winkelmittlung über ${\mathfrak {p}}$ und Summation über die Permutationen der Lichtquanten unter Berücksichtigung von (9,3):

$\sum \limits _{\textrm {Perm}}\sum \limits _{\mu }{\frac {\overline {Z_{\mu }}}{N_{\mu }}}=-\sum \limits _{\textrm {Perm}}{\frac {\left({\mathfrak {g}}^{1}{\mathfrak {g}}^{1}\right)}{{p_{0}}^{5}}}\left[-36+{\frac {564}{3}}{\frac {p^{2}}{{p_{0}}^{2}}}-{\frac {3876}{3\cdot 5}}{\frac {p^{4}}{{p_{0}}^{4}}}+{\frac {3564}{5\cdot 7}}{\frac {p^{6}}{{p_{0}}^{6}}}\right]$

und nach Integration^[1] über $p$:

${\begin{aligned}\int d{\mathfrak {p}}\sum \limits _{\textrm {Perm}}\sum \limits _{\mu }{\frac {Z_{\mu }}{N_{\mu }}}&=-4\pi \sum \limits _{\textrm {Perm}}\left({\frac {g^{1}}{mc}}\right)^{2}\left[-{\frac {36}{3}}+{\frac {564}{3\cdot 5}}-{\frac {3876}{3\cdot 5\cdot 7}}+{\frac {3564}{5\cdot 7\cdot 9}}\right]\\&=0.\end{aligned}}$

Tatsächlich verschwindet also bei beliebigen Impulsen das Glied 2. Ordnung in $g^{i}/mc$ des Diracschen Matrixelements für Streuung von Licht an Licht paralleler Polarisationen.

Die entsprechende 2. Ordnung nichtparalleler Polarisation soll nur am oben behandelten ganz speziellen Fall (8,2b) senkrechter Polarisation und paralleler Impulse gleichen Betrags untersucht werden.

Hier erhält man für das Glied 2. Ordnung des Diracschen Matrixelements, wenn man die im § 6 berechneten Spalten der Zähler (8,15) mit den Spalten der reziproken Nenner (8,9) multipliziert, die zu Gliedern 2. Ordnung in $g^{i}/mc$ führen, und über die Positronenrichtung ${\mathfrak {p}}$ mittelt:

$\sum \limits _{\textrm {Perm}}\sum \limits _{\mu }{\frac {\overline {Z_{\mu }}}{N_{\mu }}}=4{\frac {|g|^{2}}{{p_{0}}^{5}}}\left[44-{\frac {332}{3}}{\frac {p^{2}}{{p_{0}}^{2}}}-{\frac {1180}{3\cdot 5}}{\frac {p^{4}}{{p_{0}}^{4}}}-{\frac {3564}{3\cdot 5\cdot 7}}{\frac {p^{6}}{{p_{0}}^{6}}}\right]$

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1. $\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {p^{n}}{p_{0}^{n+5}}}p^{2}dp={\frac {1}{(mc)^{2}}}{\frac {1}{n+3}}$

Empfohlene Zitierweise:
Hans Heinrich Euler: Über die Streuung von Licht an Licht nach der Diracschen Theorie. , 1936, Seite 438. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Hans_Euler_%C3%9Cber_die_Streuung_von_Licht_an_Licht_nach_der_Diracschen_Theorie_1936.pdf/41&oldid=- (Version vom 1.8.2018)