Seite:K. Schwarzschild - Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie (1916).pdf/1

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Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie.


Von K. Schwarzschild.


(Vorgelegt am 13. Januar 1916 [s. oben S. 42].)


§1. Hr. Einstein hat in seiner Arbeit über die Perihelbewegung des Merkur (s. Sitzungsberichte vom 18. November 1915) folgendes Problem gestellt:

Ein Punkt bewege sich gemäß der Forderung

wobei
\begin{cases}
\delta\int ds=0,\\
\\ds=\sqrt{\sum g_{\mu\nu}dx_{\mu}dx_{\nu}}\quad\mu,\ \nu=1,2,3,4\end{cases}\, (1)\,

ist, g_{\mu\nu}\, Funktionen der Variabeln x\, bedeuten und bei der Variation am Anfang und Ende des Integrationswegs die Variablen x\, festzuhalten sind. Der Punkt bewege sich also, kurz gesagt, auf einer geodätischen Linie in der durch das Linienelement ds\, charakterisierten Mannigfaltigkeit.

Die Ausführung der Variation ergibt die Bewegungsgleichungen des Punktes

\frac{d^{2}x_{\alpha}}{ds^{2}}=\underset{\mu,\ \nu}{\sum}\Gamma_{\mu\nu}^{\ \alpha}\frac{dx_{\mu}}{ds}\frac{dx_{\nu}}{ds},\ \alpha,\beta=1,2,3,4\, (2)\,

wobei

\Gamma_{\mu\nu}^{\ \alpha}=-\frac{1}{2}\underset{\beta}{\sum}g^{\alpha\beta}\left(\frac{\partial g_{\mu\beta}}{\partial x_{\nu}}+\frac{\partial g_{\nu\beta}}{\partial x_{\mu}}-\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x_{\beta}}\right)\, (3)\,

ist und g^{\alpha\beta}\, die zu g_{\alpha\beta}\, koordinierte und normierte Subdeterminante in der Determinante \left|g_{\mu\nu}\right|\, bedeutet.

Dies ist nun nach der Einsteinschen Theorie dann die Bewegung eines masselosen Punktes in dem Gravitationsfeld einer im Punkt x_{1}=x_{2}=x_{3}=0\, befindlichen Masse, wenn die »Komponenten des Gravitationsfeldes« \Gamma\, überall, mit Ausnahme des Punktes x_{1}=x_{2}=x_{3}=0\,, den »Feldgleichungen«