Seite:K. Schwarzschild - Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie (1916).pdf/2

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\underset{\alpha}{\sum}\frac{\partial\Gamma_{\mu\nu}^{\ \alpha}}{\partial x_{\alpha}}+\underset{\alpha\beta}{\sum}\Gamma_{\mu\beta}^{\ \alpha}\Gamma_{\nu\alpha}^{\ \beta}=0\, (4)\,

genügen und wenn zugleich die »Determinantengleichung«

\left|g_{\mu\nu}\right|=-1\, (5)\,

erfüllt ist.

Die Feldgleichungen in Verbindung mit der Determinantengleichung haben die fundamentale Eigenschaft, daß sie ihre Gestalt behalten bei der Substitution beliebiger andrer Variablen an Stelle von x_1,\, x_2,\, x_3,\, x_4\,, falls nur die Substitutionsdeterminante gleich 1 ist.

Sollen x_1,\, x_2,\, x_3\, rechtwinklige Koordinaten, x_4\, die Zeit bedeuten, soll ferner die Masse im Nullpunkt zeitlich unveränderlich sein, und soll die Bewegung im Unendlichen gleichförmig gradlinig sein, so sind gemäß Hrn. Einsteins Aufzählung a. a. O. S. 833 noch folgende Forderungen zu erfüllen:

  1. Alle Komponenten sind von der Zeit x_4\, unabhängig.
  2. Die Gleichungen g_{\rho4}=g_{4\rho}=0\, gelten exakt für \rho = 1, 2, 3.\,
  3. Die Lösung ist räumlich symmetrisch um den Anfangspunkt des Koordinatensystems in dem Sinne, daß man wieder auf dieselbe Lösung stößt, wenn man x_1, x_2, x_3\, einer orthogonalen Transformation (Drehung) unterwirft.
  4. Die g_{\mu\nu}\, verschwinden im Unendlichen, mit Ausnahme folgender vier von null verschiedener Grenzwerte:
g_{44}=1,\ g_{11}=g_{22}=g_{33}=-1.\,

Das Problem ist, ein Linienelement mit solchen Koeffizienten ausfindig zu machen, daß die Feldgleichungen, die Determinantengleichung und diese vier Forderungen erfüllt werden.

§ 2. Hr. Einstein hat gezeigt, daß dies Problem in erster Näherung auf das Newtonsche Gesetz führt und daß die zweite Näherung die bekannte Anomalie in der Bewegung des Merkurperihels richtig wiedergibt. Die folgende Rechnung liefert die strenge Lösung des Problems. Es ist immer angenehm, über strenge Lösungen einfacher Form zu verfügen. Wichtiger ist, daß die Rechnung zugleich die eindeutige Bestimmtheit der Lösung ergibt, über die Hrn. Einsteins Behandlung noch Zweifel ließ, und die nach der Art, wie sie sich unten einstellt, wohl auch nur schwer durch ein solches Annäherungsverfahren erwiesen werden könnte. Die folgenden Zeilen führen also dazu, Hrn. Einsteins Resultat in vermehrter Reinheit erstrahlen zu lassen

§ 3. Nennt man die Zeit t,\, die rechtwinkligen Koordinaten x, y, z,\, so ist das allgemeinste Linienelement, welches die Forderungen 1-3 erfüllt, offenbar das folgende