Seite:Relativitaetsprinzip (Lorentz).djvu/45

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setzt. Es liegt nun auf der Hand, das erste Glied von (16) als die in der Zeiteinheit von der Kraft F geleistete Arbeit aufzufassen und \varepsilon\, als die Energie des materiellen Punktes. Die Gleichung (16) drückt dann das Energiegesetz aus. Natürlich kann man zu dem für \varepsilon\, angegebenen Wert eine beliebige Konstante addieren.

Im System x’, y’, z’, t’ gelten Formeln, welche die gleiche Gestalt wie die obenstehende haben; nur müssen alle Größen mit Ausnahme von c und m mit einem Strich versehen werden. Wir machen dabei auch für m eine Ausnahme, weil wir uns vorstellen, daß bei der Beschreibung in x’, y’, z’, t’ der Größe m derselbe Wert zugeschrieben wird wie bei der Beschreibung in x, y, z, t.

Was nun die Transformationsformeln betrifft, erinnern wir erstens daran, daß zwischen den gleichzeitigen Änderungen von x, y, z, t und von x’, y’, z’, t’ die folgenden Beziehungen bestehen:

(17) \begin{cases}
dx'=dx,\ dy'=dy,\ dz'=adz-bcdt,\\
dt'=adt-\frac{b}{c}dz=\left(a-\frac{b\mathbf{v}_{z}}{c}\right)dt=\omega dt,\end{cases}

aus denen die früher angegebenen Transformationsformeln für die Geschwindigkeitskomponenten folgen. Aus diesen kann man weiter die Beziehung

\sqrt{1-\frac{v'^{2}}{c^{2}}}=\frac{1}{\omega}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}\,

ableiten. Beachtet man diese Beziehung sowie die Gleichungen (14) und die entsprechenden für \mathbf{G'}_{x}, \mathbf{G}'_{y}, \mathbf{G}'_{z}\,, so findet man leicht aus den Transformationsformeln für die Geschwindigkeiten

\mathbf{G}'_{x}=\mathbf{G}_{x},\ \mathbf{G}'_{y}=\mathbf{G}_{y},\ \mathbf{G}'_{z}=a\mathbf{G}_{z}-\frac{b}{c}\varepsilon.\,

Dieses gibt, falls man mit der Bezeichnung d die Zuwächse während des Zeitintervalls dt vorstellt,

\begin{align}
d\mathbf{G}'_{x}=& d\mathbf{G}_{x},\ d\mathbf{G}'_{y}=d\mathbf{G}_{y},\\
d\mathbf{G}'_{z}=ad\mathbf{G}_{z}-\frac{b}{c}d\varepsilon=& ad\mathbf{G}_{z}-\frac{b}{c}(\mathbf{v}_{x}\mathbf{F}_{x}+\mathbf{v}_{y}\mathbf{F}_{y}+\mathbf{v_{z}}\mathbf{F}_{z})dt.\end{align}\,

Um die Transformationsformeln für die Kraftkomponenten zu erhalten, haben wir nur diese Gleichung durch die letzte der Gleichungen (17) zu dividieren. Dieses gibt

(18) \begin{cases}
\qquad \mathbf{F}'_{x}=\frac{1}{\omega}\mathbf{F}_{x},\ \mathbf{F}'_{y}=\frac{1}{\omega}\mathbf{F}_{y},\\
\mathbf{F}'_{z}=\frac{a}{\omega}\mathbf{F}_{z}-\frac{b}{c\omega}(\mathbf{v}_{x}\mathbf{F}_{x}+\mathbf{v}_{y}\mathbf{F}_{y}+\mathbf{v_{z}}\mathbf{F}_{z}).\end{cases}

Es sei bemerkt, daß auch alle Beziehungen gelten, die man aus den obenstehenden Formeln erhält, falls man die Größen ohne Strich

Empfohlene Zitierweise:

Hendrik Antoon Lorentz: Das Relativitätsprinzip. B.G. Teubner, Leipzig und Berlin 1914, Seite 43. Digitale Volltext-Ausgabe in Wikisource, URL: http://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Relativitaetsprinzip_(Lorentz).djvu/45&oldid=1505879 (Version vom 6.03.2011)