Seite:RiemannPrim1859.djvu/2

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wenn für p alle Primzahlen, für n alle ganzen Zahlen gesetzt werden. Die Function der complexen Veränderlichen s, welche durch diese beiden Ausdrücke, so lange sie convergiren, dargestellt wird, bezeichne ich durch \zeta(s)\,. Beide convergiren nur, so lange der reelle Theil von s größer als 1 ist; es läßt sich indeß leicht ein immer gültig bleibender Ausdruck der Function finden. Durch Anwendung der Gleichung

\int\limits_0^\infty e^{-nx}x^{s-1}dx=\frac{\prod(s-1)}{n^s}

erhält man zunächst

\prod(s-1)\zeta(s)=\int\limits_0^\infty\frac{x^{s-1}dx}{e^x-1}.

Betrachtet man nun das Integral

\int\frac{(-x)^{s-1}dx}{e^x-1},

von +\infty bis +\infty positiv um ein Größengebiet erstreckt, welches den Werth 0, aber keinen andern Unstetigkeitswerth der Function unter dem Integralzeichen im Innern enthält, so ergiebt sich dieses leicht als gleich

(e^{-\pi si}-e^{\pi si})\int\limits_0^\infty\frac{x^{s-1}dx}{e^x-1},

vorausgesetzt, daß in der vieldeutigen Function (-x)^{s-1}=e^{(s-1)\log(-x)}\, der Logarithmus von -x so bestimmt worden ist, daß er für ein negatives x reell wird. Man hat daher

2\sin\pi s\prod(s-1)\zeta(s)=i\int\limits_\infty^\infty\frac{(-x)^{s-1}dx}{e^x-1},

das Integral in der eben angegebenen Bedeutung verstanden.

Diese Gleichung giebt nun den Werth der Function \zeta(s)\, für jedes beliebige complexe s und zeigt, daß sie einwerthig und für alle endlichen Werthe von s, außer 1, endlich ist, so wie auch, daß sie verschwindet, wenn s gleich einer negativen geraden Zahl ist.

Wenn der reelle Theil von s negativ ist, kann das Integral, statt positiv um das oben angegebene Größengebiet, auch negativ um das Größengebiet welches sämmtliche übrigen complexen

Empfohlene Zitierweise:

Bernhard Riemann: Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe. Monatsberichte der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1860, Seite 672. Digitale Volltext-Ausgabe in Wikisource, URL: http://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:RiemannPrim1859.djvu/2&oldid=1874599 (Version vom 11.09.2012)