Seite:RiemannPrim1859.djvu/3

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Größen enthält erstreckt werden, da das Integral durch Werthe mit unendlich großem Modul dann unendlich klein ist. Im Innern dieses Größengebiets aber wird die Function unter dem Integralzeichen nur unstetig, wenn x gleich einem ganzen Vielfachen von \pm2\pi i wird und das Integral ist daher gleich der Summe der Integrale negativ um diese Werthe genommen. Das Integral um den Werth n2\pi i\, aber ist \,=(-n2\pi i)^{s-1}(-2\pi i); man erhält daher

2\sin\pi s\prod(s-1)\zeta(s)=(2\pi)^s\sum n^{s-1}\bigl((-i)^{s-1}+i^{s-1}\bigr),

also eine Relation zwischen \zeta(s) und \zeta(1-s), welche sich mit Benutzung bekannter Eigenschaften der Function \prod auch so audrücken läßt:

\prod\left(\frac s2-1\right)\pi^{-\frac s2}\zeta(s)

bleibt ungeändert, wenn s in 1-s verwandelt wird.

Diese Eigenschaft der Function veranlaßte mich statt \prod(s-1) das Integral \prod\left(\frac s2-1\right) in dem allgemeinen Gliede der Reihe \sum\frac1{n^s} einzuführen, wodurch man einen sehr bequemen Ausdruck der Function \zeta(s) erhält. In der That hat man

\frac1{n^s}\prod\left(\frac s2-1\right)\pi^{-\frac s2}=\int\limits_0^\infty e^{-nn\pi x}x^{\frac s2-1}dx,

also, wenn man

\sum_1^\infty e^{-nn\pi x}=\psi(x)

setzt,

\prod\left(\frac s2-1\right)\pi^{-\frac s2}\zeta(s)=\int\limits_0^\infty\psi(x)x^{\frac s2-1}dx,

oder da 2\psi(x)+1=x^{-\frac12}\left(2\psi\left(\frac1x\right)+1\right), (Jacobi. Fund. S. 184)[1]

Anmerkungen (Wikisource)

  1. Riemann bezieht sich auf Carl Gustav Jacob Jacobi:(WP) Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum. Königsberg 1829, S. 184, § 65, Nr. 6. Die verwendete Formel ist dort allerdings nicht explizit angegeben, Jacobi folgert diese aber an anderer Stelle in seinem Aufsatz Suite des notices sur les fonctions elliptiques. In: Crelle’s Journal für die reine und angewandte Mathematik 3 (1828), S. 303-310. Digitalisat GDZ, französisch
  2. In den Monatsberichten beim ersten Integral (x)\psi\, statt \psi(x)\,:
    \prod\left(\frac s2-1\right)\pi^{-\frac s2}\zeta(s)=\int\limits_1^\infty(x)\psi x^{\frac s2-1}dx+\int\limits_0^1\psi\left(\frac1x\right)x^{\frac s2-\frac32}dx
Empfohlene Zitierweise:

Bernhard Riemann: Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe. Monatsberichte der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1860, Seite 673. Digitale Volltext-Ausgabe in Wikisource, URL: http://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:RiemannPrim1859.djvu/3&oldid=1874602 (Version vom 11.09.2012)