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Ich setze nun und

so daß

oder auch

Diese Function ist für alle endlichen Werthe von endlich, und läßt sich nach Potenzen von in eine sehr schnell convergirende Reihe entwickeln. Da für einen Werth von , dessen reeller Bestandtheil größer als 1 ist, endlich bleibt und von den Logarithmen der übrigen Factoren von dasselbe gilt, so kann die Function nur verschwinden, wenn der imaginäre Theil von zwischen und liegt. Die Anzahl der Wurzeln von , deren reeller Theil zwischen 0 und liegt, ist etwa ; denn das Integral positiv um den Inbegriff der Werthe von erstreckt, deren imaginärer Theil zwischen und und deren reeller Theil zwischen 0 und liegt, ist, (bis auf einen Bruchtheil von der Ordnung der Größe ) gleich dieses Integral aber ist gleich der Anzahl der in diesem Gebiet liegenden Wurzeln von , multiplicirt mit . Man findet nun in der That etwa so viel reelle Wurzeln innerhalb dieser Grenzen, und es ist sehr wahrscheinlich, daß alle Wurzeln reell sind. Hievon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indeß die Aufsuchung desselben, nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.

Empfohlene Zitierweise:
Bernhard Riemann: Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe. Monatsberichte der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1860, Seite 674. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:RiemannPrim1859.djvu/4&oldid=- (Version vom 1.8.2018)