Seite:RiemannPrim1859.djvu/6

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gilt, so kann man mit Hülfe des Fourier’schen Satzes die Function h durch die Function g ausdrücken. Die Gleichung zerfällt, wenn h(x)\, reell ist und

g(a+bi)=g_1(b)+ig_2(b),\,

in die beiden folgenden:

g_1(b)=\int\limits_0^\infty h(x)x^{-a}\cos(b\log x)d\log x,

ig_2(b)=-i\int\limits_0^\infty h(x)x^{-a}\sin(b\log x)d\log x.

Wenn man beide Gleichungen mit \,\bigl(\cos(b\log y)+i\sin(b\log y)\bigr)db multiplicirt und von -\infty bis \infty integrirt, so erhält man in beiden auf der rechten Seite nach dem Fourier’schen Satze \,\pi h(y)y^{-a}, also, wenn man beide Gleichungen addirt und mit iy^a\, multiplicirt

2\pi ih(y)=\int\limits_{a-\infty i}^{a+\infty i}g(s)y^sds,

worin die Integration so auszuführen ist, daß der reelle Theil von s constant bleibt.

Das Integral stellt für einen Werth von y, bei welchem eine sprungweise Änderung der Function h(y)\, stattfindet, den Mittelwerth aus den Werthen der Function h zu beiden Seiten des Sprunges dar. Bei der hier vorausgesetzten Bestimmungsweise der Function f(x)\, besitzt diese dieselbe Eigenschaft, und man hat daher völlig allgemein

f(y)=\frac1{2\pi i}\int\limits_{a-\infty i}^{a+\infty i}\frac{\log\zeta(s)}sy^sds.

Für \log\zeta\, kann man nun den früher gefundenen Ausdruck

substituiren; die Integrale der einzelnen Glieder dieses Ausdrucks würden aber dann in’s Unendliche ausgedehnt nicht convergiren, weshalb es zweckmäßig ist, die Gleichung vorher durch partielle Integration in


  1. Das Manuskript (S. 4) und die Gesammelten Werke (S. 141) fügen vor dem zweitletzten Logarithmus noch ein \sum^{\alpha}\, ein. In den Monatsberichten fehlt das Summenzeichen:
    \frac s2\log\pi-\log(s-1)-\log\prod\frac s2+\log\left(1+\frac{(s-\frac12)^2}{\alpha\alpha}\right)+\log\xi(0)
Empfohlene Zitierweise:

Bernhard Riemann: Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe. Monatsberichte der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1860, Seite 676. Digitale Volltext-Ausgabe in Wikisource, URL: http://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:RiemannPrim1859.djvu/6&oldid=1874609 (Version vom 11.09.2012)