Seite:RiemannPrim1859.djvu/7

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f(x)=-\frac1{2\pi i}\frac1{\log x}\int\limits_{a-\infty i}^{a+\infty i}\frac{d\frac{\log\zeta(s)}s}{ds}x^sds

umzuformen.

Da

-\log\prod\frac s2=\lim\left(\sum_{n=1}^{n=m}\log\left(1+\frac s{2n}\right)-\frac s2\log m\right),\quad\mathrm{f\ddot ur}\;m=\infty,

also

-\frac{d\frac1s\log\prod\frac s2}{ds}=\sum_1^\infty\frac{d\frac1s\log\left(1+\frac s{2n}\right)}{ds},

so erhalten dann sämmtliche Glieder des Ausdrucks für f(x)\, mit Ausnahme von

\frac1{2\pi i}\frac1{\log x}\int\limits_{a-\infty i}^{a+\infty i}\frac1{ss}\log\xi(0)x^sds=\log\xi(0)

die Form

\pm\frac1{2\pi i}\frac1{\log x}\int\limits_{a-\infty i}^{a+\infty i}\frac{d\left(\frac1s\log\left(1-\frac s\beta\right)\right)}{ds}x^sds.

Nun ist aber

\frac{d\left(\frac1s\log\left(1-\frac s\beta\right)\right)}{d\beta}=\frac1{(\beta-s)\beta}

und, wenn der reelle Theil von s größer als der reelle Theil von \beta ist,

\begin{align}
\frac1{2\pi i}\int\limits_{a-\infty i}^{a+\infty i}\frac{x^sds}{(\beta-s)\beta}
& =\frac{x^\beta}\beta &=\int\limits_\infty^x x^{\beta-1}dx, \\
& \;\text{oder} & =\int\limits_0^x x^{\beta-1}dx,
\end{align}

je nachdem der reelle Theil von \beta negativ oder positiv ist. Man hat daher

\frac1{2\pi i}\frac1{\log x}\int\limits_{a-\infty i}^{a+\infty i}\frac{d\left(\frac1s\log\left(1-\frac s\beta\right)\right)}{ds}x^sds
Empfohlene Zitierweise:

Bernhard Riemann: Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe. Monatsberichte der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1860, Seite 677. Digitale Volltext-Ausgabe in Wikisource, URL: http://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:RiemannPrim1859.djvu/7&oldid=1874611 (Version vom 11.09.2012)